陕西省咸阳市渭城区北杜中学2019年高三数学文月考试卷含解析

陕西省咸阳市渭城区北杜中学2019年高三数学文月考
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若二项式（）6的展开式中的常数项为m，则=（）
A．B．﹣C．D．﹣
参考答案：
C
【考点】二项式定理．
【分析】运用二项式展开式的通项公式，化简整理，令x的次数为0，求出m，再由定积分的运算法则，即可求得．
【解答】解：二项式（）6的展开式的通项公式为：T r+1=，令12﹣3r=0，则r=4．
即有m==3．
则=（x2﹣2x）dx=（x3﹣x2）=．
故选：C．
【点评】本题考查二项式定理的运用：求特定项，同时考查定积分的运算，属于基础题．
2. 已知数列{a n}的通项公式，则
（）
A. 150
B. 162
C. 180
D. 210
参考答案：
B
【分析】
由通项公式，首先判断数列的单调性，去掉要求和式的绝对值，再进行计算。

【详解】由对勾函数的性质可知：
当时，数列为递减；当时，数列为递增。

所以
=
=
=
=162
【点睛】数列问题常见的方法和注意点：
（1）求和常常要根据数列的通项公式的形式和特点，灵活选择方法，不可以用固定的思维模式去考虑问题。

如含绝对值的求和问题的关键点在于先把绝对值去掉，再求和。

（2）常见的求和方法有：倒序求和，错位相消，裂项法，分组求和法，公式法等。

3. 类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：，
，其中，且，下面正确的运算公式是
①；②；
③2；④2.
A.①②
B.③④
C.①④
D.②③
参考答案：
B
4. 已知等于（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
5. 若向量=（3，4），且存在实数x，y，使得=x，则可以是（）A． =（0，0），=（﹣1，2）B． =（﹣1，3），=（2，﹣6）
C． =（﹣1，2），=（3，﹣1）D． =（﹣，1），=（1，﹣2）
参考答案：
C
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【专题】平面向量及应用．
【分析】由平面向量基本定理便知，与不共线，这样根据共面向量基本定理容易判断A，B，D中的向量与共线，而根据共线向量的坐标关系可判断C中的不共线，从而便得出正确选项为C．
【解答】解：根据平面向量基本定理知：
不共线；
A.，共线；
B.，共线；
C.，∴﹣1×（﹣1）﹣2×3=﹣5≠0，∴与不共线，即该选项正确；
D.，∴共线．
故选：C．
【点评】考查共面向量基本定理，平面向量基本定理：，其中要求不共线，以及共线向量的坐标关系．
6. 三棱锥的四个顶点均在半径为2的球面上,且，平面
平面，则三棱锥的体积的最大值为（）
A．4 B．3
C． D．
参考答案：
B
考点：球的内接几何体.
7. 某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（）
A．B．
C．D．
参考答案：
C
由三视图可知，该几何体为放在正方体的四棱锥，如图，正方体的边长为2，该三棱锥底面为正方形，两个侧面为等腰三角形，面积分别为，另两个侧面为直角三角形面积都为，可得这个几何体的表面积为，故选C.
8. 已知双曲线+=1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于（）
A．B．5 C．7 D．
参考答案：
D
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，由双曲线焦点的位置可得，解可得a的范围，又由其焦距为4，即c=2，由双曲线的几何性质可得c2=（2﹣a）+（3﹣a）=4，解可得a的值．
【解答】解：根据题意，双曲线+=1，焦点在y轴上，
则有，解可得a＜2，
又由其焦距为4，即c=2，
则有c2=（2﹣a）+（3﹣a）=4，
解可得a=；
故选：D．
9. 已知i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于
(A)第四象限 (B)第三象限 (C)第二象
限 (D)第一象限
参考答案：
【知识点】复数运算；复数的几何意义. L4
D解析：因为=，所以
此复数在复平面内所对应的点位于第一象限.
【思路点拨】先把复数化为a+bi形式，再由复数的几何意义得结论.
10. 若复数是实数，则的值为（）
（A） (B)3 （C）0 （D）
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数在同一平面直角坐标系内的大致图象为（）
参考答案：
C
略
12. 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程是．
参考答案：
13. （5分）（2015?淄博一模）若直线y=kx+3与圆x2+y2=1相切，则k= ．
参考答案：
±2
【考点】：圆的切线方程．
【专题】：直线与圆．
【分析】：联立方程组消y的x的一元二次方程，由△=0解方程可得．
解：联立消去y并整理得（k2+1）x2+6kx+8=0，
由直线y=kx+3与圆x2+y2=1相切可得△=36k2﹣32（k2+1）=0，
解得k=±2
故答案为：±2
【点评】：本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．
14. 已知，若恒成立，则实数的取值范围是 .
参考答案：
15. 某几何体的三视图如图，都是直角边长为1的等腰直角三角形，此几何体外接球的表面积为．
参考答案：
22
略
16. 设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是．
参考答案：
1
【考点】双曲线的应用；双曲线的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】设|PF1|=x，|PF2|=y，根据根据双曲线性质可知x﹣y的值，再根据
∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，进而根据2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2求得xy，进而可求得
△F1PF2的面积．
解：设|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y）
根据双曲线性质可知x﹣y=4，
∵∠F1PF2=90°，
∴x2+y2=20
∴2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2=4
∴xy=2
∴△F1PF2的面积为xy=1
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．要灵活运用双曲线的定义及焦距、实轴、虚轴等之间的关系．
17. 若复数的实部与虚部相等，则实数a=__________.
参考答案：
-1
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在三棱锥A﹣BCD中，AD=DC=2，AD⊥DC，AC=CB，AB=4，平面ADC⊥平面ABC，M为AB的中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ADC；
（Ⅱ）求直线AD与平面DMC所成角的正弦值．
参考答案：
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）证明BC⊥AC，利用平面ABC⊥平面ADC，即可证明：BC⊥平面ADC；（Ⅱ）取AC中点N，连MN，DN．由V A﹣DMC=V D﹣AMC得点A到平面DMC的距离，即可求直线AD与平面DMC所成角的正弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：∵AD=DC=2且AD⊥DC，∴，
又AB=4，满足AC2+BC2=AB2，∴BC⊥AC…
∵平面ABC⊥平面ADC，BC?平面ABC，平面ABC∩平面ADC=AC，
∴BC⊥平面ADC…
（Ⅱ）解：取AC中点N，连MN，DN．
在Rt△ADC中，DN⊥AC且，又平面ABC⊥平面ADC，∴DN⊥平面ABC，
在△ABC中，MN∥BC且=
由（Ⅰ）知BC⊥平面ADC，则MN⊥平面ADC，
又∵DN?平面ADC，∴MN⊥DN，即，…
在△ABC中，，∴…
设点A到平面DMC的距离为h，则由V A﹣DMC=V D﹣AMC得
解得，
设AD与平面DMC所成角为θ，则，
∴直线AD与平面DMC所成角正弦值为．…
19. （本小题满分14分）
某种上市股票在30天内每股的交易价格P（元）、日交易量Q（万股）与时间t（天）的对应关系分别如下：[有序数对(t，P)落在图甲中的折线上，日交易量Q （万股）与时间t（天）的部分数据如表乙所示．]
(1)根据图甲的图象，写出该种股票每股交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；
(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t（天）的一次函数关系式；
(3)用y（万元）表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？
（注：各函数关系式都要写出定义域．）
参考答案：
解：(1)设，依题意及由图象甲可得：
及
解得：及……4分
故所求P满足的函数关系式…………5分
(2)依题意设，把前两组数据代入得：
解得：，
故Q的一次函数关系式是……8分
(3)依题意：当时，
当时，
故y关于t的函数关系式：，………12分若，则时，（万元）
若，则（万元）
∴第15天日交易额最大为125万元．……14分
20. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，M 为椭圆上任意一点，当时，的面积为1.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点，延长直线AF1，AF2分别与椭圆交于点B，D，设直线BD的斜率为k1，直线OA的斜率为k2，求证：k1·k2为定值.
参考答案：
解：
（Ⅰ）设由题，
解得，则，
椭圆的方程为.
（Ⅱ）设，，
当直线的斜率不存在时，设，则，
直线的方程为代入，可得，，，则
，
直线的斜率为，直线的斜率为，
，
当直线的斜率不存在时，同理可得.
当直线、的斜率存在时，
，
设直线的方程为，则由消去可得：
，
又，则，代入上述方程可得
，
，则
，
设直线的方程为，同理可得，直线的斜率为，
直线的斜率为，
.
所以，直线与的斜率之积为定值，即.
21. 若函数f（x）=．
（1）讨论函数f（x）=的单调性，并求其最大值；
（2）对于?x∈（0，+∞），不等式＜ax2+1恒成立，求实数a的范围．
参考答案：
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）利用导数性质判断单调性，并求其最大值．（2）由a=0，a＜0，a＞0三种情况进行分类讨论，结合导数性质能求出a的取值范围．
解答：解：（1）f′（x）==
由f′（x）＞0，得1﹣e x＞0，解得x＜0，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0，得1﹣e x＜0，解得x＞0，此时函数单调递减，
即当x=0时，函数取得极大值，同时也是最大值f（0）=1，
∴函数f（x）的增区间（﹣∞，0]，减区间[0，+∞），最大值1．
（2）当a=0时，，不等式不成立；
当a＜0时，ax2+1＜1，，不等式不成立；
当a＞0时，，等价于（ax2﹣x+1）e x﹣1＞0，
设h（x）=（ax2﹣x+1）e x﹣1，h′（x）=x（ax+2a﹣1）e x，
若，则当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，h（x）＞h（0）=0
，，h′（x）＜0，h（x）单调递减，h（x）＜h（0）=0，不合题意．
综上，a的取值范围是．
点评：本题考查的是利用导数判定函数的单调性、求最值以及不等式恒成立问题，解题时注意等价转化、分类讨论的应用．
22. 已知向量(), ,且的周期为
．
(1) 求f()的值；
(2)写出f(x)在上的单调递增区间．
参考答案：
(1) 一2分-
—2分
一2分-
一2分
一2分
(2)
当单增，一3分
即
一3分。