郑州市2018年高中毕业年级第二次质量预测 理科数学试题卷

2018年高中毕业年级第二次质量预测
理科数学试题卷
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

考试时间120分钟，满分150分。

考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。

交卷时只交答题卡。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1. 已知集合{|}P x y x ==∈ ，{|ln 1}Q x x =<，则P Q ⋂=
A. {0,1,2}
B. {1,2}
C. (0,2]
D. (0,e)
2. 若复数52i i 1
z +=-，则复数z 在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 命题“2[1,2],320x x x ∀∈-+≤”的否定为
A. 2[1,2],320x x x ∀∈-+>
B.
2[1,2],320x x x ∀∉-+> C. 2000[1,2],320x x x ∃∈-+> D. 2000[1,2],320x x x ∃∉-+>
4. 已知双曲线22
22:1x y C a b
-=的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于
A.
B. 3
5. 运行如图所示的程序框图，则输出的S 为
A. 1009
B. 1008-
C. 1007
D. 1009- 6. 已知(21)4,(1)(),(1)
x a x x f x a x -+≤⎧=⎨>⎩的定义域为 ，数列*{}()n a n ∈ 满足()n a f n =，
且{}n a 是递增数列，则a 的取值范围是
A. (1,)+∞
B. 1
(,)2
+∞
C. (1,3)
D. (3,)+∞
7. 已知平面向量a b c ，，满足||||||1a b c ===，若a b ⋅12
=，则()(2)a c b c +⋅-的最小值为
A. 2-1- D. 0
8. 《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事。

撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有
A. 240种
B. 188种
C. 156种
D. 120种
9. 已知函数())cos 22f x x x π=-
-，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数()f x 的图象
A. 向左平移
6π个单位长度 B. 向右平移6π个单位长度 C. 向左平移12π
个单位长度 D. 向右平移12
π
个单位长度 10. 函数sin (1cos 2)y x x =+在区间[,]ππ-上的大致图象为
11. 如图，已知抛物线
1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴
上，且过点(2,4)，圆222:430C x y x +-+=，过圆心2C 的直
线l 与抛物线和圆分别交于,,,P Q M N ，则||4||PN QM +的
最小值为
A. 23
B. 42
C. 12
D. 52
12. 已知{|()0}M f αα==，{|()0}N g ββ==，若存在
,M N αβ∈∈，使得||n αβ-<，则称函数()f x 与()g x 互为
“n 度零点函数”。

若2()31x f x -=-与2()e x g x x a =-互为“1
度零点函数”，则实数a 的取值范围为 A. 214(
,)e e B. 214(,]e e C. 242[,)e e D. 32
42[,)e e
第Ⅱ卷（主观题部分，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13--21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22--23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上。

）
13. 已知二项式(23)n x -的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中2x 的系数为__________。

14. 已知实数,x y 满足条件2,22,1y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则3y x +的最大值为__________。

15. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从
其中的一些数学用语可见，譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的
三棱锥。

某“憋臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）
如图所示，已知几何体高为，则该几何体外接球的表面积为
__________。

16. 已知椭圆22
22:1(0)x y a b a b τ+=>>的右焦点为(1,0)F ，且离心率为12
，ABC 的三个顶点都在椭圆τ上，设ABC 三条边AB BC AC 、、中点分别为D E M 、、，且三条边所在直线的斜率分别为213k k k 、、，且213k k k 、、均不为0。

O 为坐标原点，若直线OD OE OM 、、的
斜率之和为1，则123
111k k k ++=__________。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

）
17. （本小题满分12分）
ABC 内接于半径为R 的圆，,,a b c 分别是,,A B C 的对边，且222(sin sin )R B A -=()sin ,3b c C c -=。

(Ⅰ) 求A ；
(Ⅱ) 若AD 是BC
边上的中线，2
AD =
，求ABC 的面积。

18. （本小题满分12分）
光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位，2015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点，在某县居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表。

以样本的频率作为概率。

用电量（单位：度） (0,200](200,400](400,600](600,800] (800,1000]
户数 7 8
15 13 7
(Ⅰ) 在该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X ，求X 的数学期望；
(Ⅱ) 在总结试点经验的基础上，将村级光伏电站确定为光伏扶贫的主推方式。

已知该县某自然村有居民300户。

若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购。

经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？
19. （本小题满分12分）
如图所示四棱锥-P ABCD ，PA ⊥平面ABCD ，DAB DCB ≅ ，E 为线段BD 上的一点，且EB ED EC BC ===，连接CE 并延长交AD 于F 。

(Ⅰ) 若G 为PD 的中点，求证：平面PAD ⊥平面CGF ；
(Ⅱ) 若2,3BC PA ==，求平面BCP 与平面DCP 所成锐二面
角的余弦值。

20. （本小题满分12分）
已知圆22:4O x y +=，点(1,0)F ，P 为平面内一动点，以线段FP 为直径的圆内切于圆O ，
设动点P 的轨迹为曲线C 。

(Ⅰ) 求曲线C 的方程；
(Ⅱ) ,M N 是曲线C 上的动点，
且直线MN 经过定点1(0,2
，问在y 轴上是否存在定点Q ，使得MQO NQO ∠=∠，若存在，请求出定点Q ，若不存在，请说明理由。

21. （本小题满分12分）
已知函数2()e x f x x =-。

(Ⅰ) 求曲线()f x 在1x =处的切线方程； (Ⅱ) 求证：当0x >时，e (2e)1ln 1x x x x
+--≥+。

请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按做所的第一题计分，作答时请写清楚题号。

22. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A 的极
坐标为4π⎫⎪⎭，直线l 的极坐标方程为cos 4a πρθ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，且l 过点A ，曲线1C 的参数方程
为2cos ,,
x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）。

(Ⅰ) 求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最大值；
(Ⅱ) 过点(1,1)B -与直线l 平行的直线1l 与曲线1C 交于,M N 两点，求||||BM BN ⋅的值。

23. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数()|2||1|f x x a x =-+-，a ∈ 。

(Ⅰ) 若不等式()|1|2f x x +-≥对x ∀∈ 恒成立，求实数a 的取值范围；
(Ⅱ) 当2a <时，函数()f x 的最小值为1a -，求实数a 的值。