独立事件的加法公式
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计算P(A)和P(B) 和 计算 时用古典概型
甲拿到4张 ， 乙拿到4张 解：设A={甲拿到 张A}， B={乙拿到 张A} 甲拿到 乙拿到 所求为P(A+B) 所求为 2) A、B相容 相容 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
例3
对 问
某人将三封写好的信随机装入三个写 好地址的信封中， 好地址的信封中，问没有一封信装对地 址的概率是多少？ 址的概率是多少？ 封信装入第i个信封 设Ai ={第i封信装入第 个信封 i =1,2,3 第 封信装入第 个信封} A={没有一封信装对地址 没有一封信装对地址} 没有一封信装对地址 则 至少有一封信装对地址} 至少有一封信装对地址 A={至少有一封信装对地址
代入计算 P(A) 的公式中
P( A) = P( A + A2 + A ) 1 3 2! 1 1 = 3⋅ − 3⋅ + 3! 3! 3! 推广到 封信 用类似的方法可得 推广到n封信 用类似的方法可得: 封信,用类似的方法可得 1 1 2 封信随机地装入n个写好地 把n 封信随机地装入 个写好地 = 1− + = 址的信封中, 没有一封信配对的 址的信封中 2! 3! 3
概率为: 概率为
于是
P( A) = 1− P( A) 1 1 1 = − = 2! 3 3 !
1 1 n−1 1 ) 1− (1− + −L+ (−1) 2! 3 ! n! 1 1 n 1 = − +L+ (−1) 2! 3 ! n!
−
实际中的各种配对问题 学生和学习证配对; 学生和学习证配对 人和自己的帽子配对; 人和自己的帽子配对 两副扑克牌配对; 两副扑克牌配对 球箱号码配对… 球箱号码配对 你还可以举出其它配对问题， 你还可以举出其它配对问题，并提出 其中要回答的概率问题，留作课下练习. 其中要回答的概率问题，留作课下练习
−
所求概率为P(AB) 所求概率为
−− − − − − − 电容 电阻50个,
30个,电感20个
QP( AB) = 1− P( AB) − …... = 1− P( A + B) −
导出所求事件概率 的计算公式
= 1−[P( A) + P(B) − P( A B)]
从盒中任取30个元件， 从盒中任取 个元件，求所取元件中至少有 个元件 一个电阻同时至少有一个电感的概率. 一个电阻同时至少有一个电感的概率
事件互斥时的加法公式
P( A + B) = P( A) + P(B)
A
B
事件相容时的加法公式 P( A + B) = P( A) + P(B) − P( AB) B
ABA
推广到多个事件 三个事件和的概率为 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC) - P(AC) + P(ABC)
P( AB) = 1−[P( A) + P(B) − P( A B)]
50 80 + −1 30 30 = 1− 100 30 −− − …... − −− − − −
−
代入数据计算
电阻50个, 电容 30个,电感20个
乙两人先后从52张牌中各抽取 张牌中各抽取13 例2. 甲、乙两人先后从 张牌中各抽取 求甲或乙拿到4张 的概率 的概率. 求甲或乙拿到 张,求甲或乙拿到 张A的概率 1) 甲抽后不放回，乙再抽 甲抽后不放回，乙再抽; 2) 甲抽后将牌放回，乙再抽. 甲抽后将牌放回，乙再抽. 甲拿到4张 ， 乙拿到4张 解：设A={甲拿到 张A}， B={乙拿到 张A} 甲拿到 乙拿到 所求为P(A+B) 所求为 1)A、 互斥 1) 、B互斥 P(A+B)=P(A)+P(B)
n个事件和的概率为 个事件和的概率为
P(UA ) = ∑P( A ) − i i
i=1 i=1
n
n
1≤i< j≤n
∑P( A A )
i j
+
1≤i< j<k≤n
∑P( A A A )
i j k
+…+ (−1) P( A A2个电阻 个电阻， 个电感 个电感， 例1 设元件盒中装有 个电阻，20个电感， 30个电容，从盒中任取30个元件，求所取元 个电容，从盒中任取 个元件， 个电容 个元件 理解题意 理解题意, 用字母表示事件 件中至少有一个电阻同时至少有一个电感的 概率. 概率 所取元件中至少有一电阻} 解: 设A={所取元件中至少有一电阻 所取元件中至少有一电阻 B={所取元件中至少有一电感 所取元件中至少有一电感} 所取元件中至少有一电感
A = A + A2 + A 1 3
直接计算P(A)不易，我们先来计算 P(A) 不易， 直接计算 不易
A = A + A2 + A 1 3
应用加法公式
P( A) = P( A + A2 + A ) 1 3 = P( A ) + P( A ) + P( A ) − P( A A ) 1 2 3 1 2 − P( A A ) − P( A A ) + P( A A A ) 1 3 2 3 1 2 3 2! 1 其中 P( A ) = P( A2 ) = P( A ) = = 1 3 3 3 ! 1 1 P( A A ) = P( A A ) = P( A2 A ) = = 1 2 1 3 3 3 6 ! 1 1 P( A A2 A ) = = 1 3 3 6 !
请看下面的演示 配对问题 德梅尔的悖论
这一讲我们介绍了加法公式及其应用: 这一讲我们介绍了加法公式及其应用 事件互斥时的加法公式
P( A + B) = P( A) + P(B)
事件相容时的加法公式
P( A + B) = P( A) + P(B) − P( AB)
它们在计算概率中很有用，要牢固掌握 它们在计算概率中很有用，要牢固掌握.
甲拿到4张 ， 乙拿到4张 解：设A={甲拿到 张A}， B={乙拿到 张A} 甲拿到 乙拿到 所求为P(A+B) 所求为 2) A、B相容 相容 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
例3
对 问
某人将三封写好的信随机装入三个写 好地址的信封中， 好地址的信封中，问没有一封信装对地 址的概率是多少？ 址的概率是多少？ 封信装入第i个信封 设Ai ={第i封信装入第 个信封 i =1,2,3 第 封信装入第 个信封} A={没有一封信装对地址 没有一封信装对地址} 没有一封信装对地址 则 至少有一封信装对地址} 至少有一封信装对地址 A={至少有一封信装对地址
代入计算 P(A) 的公式中
P( A) = P( A + A2 + A ) 1 3 2! 1 1 = 3⋅ − 3⋅ + 3! 3! 3! 推广到 封信 用类似的方法可得 推广到n封信 用类似的方法可得: 封信,用类似的方法可得 1 1 2 封信随机地装入n个写好地 把n 封信随机地装入 个写好地 = 1− + = 址的信封中, 没有一封信配对的 址的信封中 2! 3! 3
概率为: 概率为
于是
P( A) = 1− P( A) 1 1 1 = − = 2! 3 3 !
1 1 n−1 1 ) 1− (1− + −L+ (−1) 2! 3 ! n! 1 1 n 1 = − +L+ (−1) 2! 3 ! n!
−
实际中的各种配对问题 学生和学习证配对; 学生和学习证配对 人和自己的帽子配对; 人和自己的帽子配对 两副扑克牌配对; 两副扑克牌配对 球箱号码配对… 球箱号码配对 你还可以举出其它配对问题， 你还可以举出其它配对问题，并提出 其中要回答的概率问题，留作课下练习. 其中要回答的概率问题，留作课下练习
−
所求概率为P(AB) 所求概率为
−− − − − − − 电容 电阻50个,
30个,电感20个
QP( AB) = 1− P( AB) − …... = 1− P( A + B) −
导出所求事件概率 的计算公式
= 1−[P( A) + P(B) − P( A B)]
从盒中任取30个元件， 从盒中任取 个元件，求所取元件中至少有 个元件 一个电阻同时至少有一个电感的概率. 一个电阻同时至少有一个电感的概率
事件互斥时的加法公式
P( A + B) = P( A) + P(B)
A
B
事件相容时的加法公式 P( A + B) = P( A) + P(B) − P( AB) B
ABA
推广到多个事件 三个事件和的概率为 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC) - P(AC) + P(ABC)
P( AB) = 1−[P( A) + P(B) − P( A B)]
50 80 + −1 30 30 = 1− 100 30 −− − …... − −− − − −
−
代入数据计算
电阻50个, 电容 30个,电感20个
乙两人先后从52张牌中各抽取 张牌中各抽取13 例2. 甲、乙两人先后从 张牌中各抽取 求甲或乙拿到4张 的概率 的概率. 求甲或乙拿到 张,求甲或乙拿到 张A的概率 1) 甲抽后不放回，乙再抽 甲抽后不放回，乙再抽; 2) 甲抽后将牌放回，乙再抽. 甲抽后将牌放回，乙再抽. 甲拿到4张 ， 乙拿到4张 解：设A={甲拿到 张A}， B={乙拿到 张A} 甲拿到 乙拿到 所求为P(A+B) 所求为 1)A、 互斥 1) 、B互斥 P(A+B)=P(A)+P(B)
n个事件和的概率为 个事件和的概率为
P(UA ) = ∑P( A ) − i i
i=1 i=1
n
n
1≤i< j≤n
∑P( A A )
i j
+
1≤i< j<k≤n
∑P( A A A )
i j k
+…+ (−1) P( A A2个电阻 个电阻， 个电感 个电感， 例1 设元件盒中装有 个电阻，20个电感， 30个电容，从盒中任取30个元件，求所取元 个电容，从盒中任取 个元件， 个电容 个元件 理解题意 理解题意, 用字母表示事件 件中至少有一个电阻同时至少有一个电感的 概率. 概率 所取元件中至少有一电阻} 解: 设A={所取元件中至少有一电阻 所取元件中至少有一电阻 B={所取元件中至少有一电感 所取元件中至少有一电感} 所取元件中至少有一电感
A = A + A2 + A 1 3
直接计算P(A)不易，我们先来计算 P(A) 不易， 直接计算 不易
A = A + A2 + A 1 3
应用加法公式
P( A) = P( A + A2 + A ) 1 3 = P( A ) + P( A ) + P( A ) − P( A A ) 1 2 3 1 2 − P( A A ) − P( A A ) + P( A A A ) 1 3 2 3 1 2 3 2! 1 其中 P( A ) = P( A2 ) = P( A ) = = 1 3 3 3 ! 1 1 P( A A ) = P( A A ) = P( A2 A ) = = 1 2 1 3 3 3 6 ! 1 1 P( A A2 A ) = = 1 3 3 6 !
请看下面的演示 配对问题 德梅尔的悖论
这一讲我们介绍了加法公式及其应用: 这一讲我们介绍了加法公式及其应用 事件互斥时的加法公式
P( A + B) = P( A) + P(B)
事件相容时的加法公式
P( A + B) = P( A) + P(B) − P( AB)
它们在计算概率中很有用，要牢固掌握 它们在计算概率中很有用，要牢固掌握.