2019-2020高中数学必修四配套课件：2.2.1向量加法运算及其几何意义
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第九页，编辑于星期日：点 三十七分。
向量加法的运算
【例 1】 (2017 年山东济南校级月考)已知四边形 ABCD，
连接 AC，BD，则A→B＋B→C＋C→D为( )
A．A→D
B．B→D
C．A→C
D．0
第十页，编辑于星期日：点 三十七分。
【解题探究】根据平面向量的加法运算法则，进行化简即 可．
【答案】A 【解析】根据平面向量的加法运算，得A→B＋B→C＋C→D＝A→C ＋C→D＝A→D.故选 A．
第三页，编辑于星期日：点 三十七分。
三角形 图
法则 形
法 则 平行四
边形法 则
前 已知不共线的两个向量 a，b，在平面内任取 提 一点 O 作 以同一点 O 为起点的两个已知向量 a，b 为邻 法 边作平行四边形 OACB
第四页，编辑于星期日：点 三十七分。
平行 结论 对角线__O_→_C__就是 a 与 b 的和 四边 法则 形法 图形 则 规定 对于零向量与任一向量 a，都有 a＋0＝0＋a＝__a__
2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
第一页，编辑于星期日：点 三十七分。
目标定位
重点难点
1.通过实例了解向量加法定义的 重点：向量加法运算，并理 由来
解其几何意义 2.掌握向量加法运算，并理解其
难点：掌握向量加法的运算 几何意义
律，并会应用它们进行向量 3.掌握向量加法的运算律，并会
→
|A→B|＝|D→C|，A→B∥D→C
→
四边形ABCD 是平行四边形
【解析】A→B＝A→O＋O→B，D→C＝D→O＋O→C，
∵A→O＝O→C，O→B＝D→O，∴A→B＝D→C.
∴AB∥DC 且 A．
第十六页，编辑于星期日：点 三十七分。
【特别提醒】解决此类问题有两点注意 (1)注意法则的应用． (2)注意证明有向线段表示的向量相等，要说明有向线段所 在直线平行或重合且长度相等．
第二十六页，编辑于星期日：点 三十七分。
【警示】利用几何图形中线线平行，线段相等可以推出向 量共线或相等．通过相等向量的代换往往可以实现向量运算的 简化．如本例中利用正六边形的性质可以得到B→A＝D→E.
第二十七页，编辑于星期日：点 三十七分。
1．两个法则的使用条件不同．三角形法则适用于任意两个 非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求 和．
(3)当向量 a 与 b 反向且|a|≤|b|时，a＋b 与 b 方向相同(与 a
方向相反)且|a＋b|＝|b|－|a|.
第二十九页，编辑于星期日：点 三十七分。
1．下列等式中不正确的是( )
A．a＋0＝a
B．a＋b＝b＋a
C．|a＋b|＝|a|＋|b|
D．a＋b＋c＝a＋(b＋c)
【答案】C
【解析】当a与b方向不同时，|a＋b|≠|a|＋|b|.
第二十一页，编辑于星期日：点 三十七分。
【规律总结】求解与向量有关的实际问题解题步骤 弄清实际问题 → 数学问题 → 正确画出图形 → 用向量表示实际量 → 向量运算 → 回扣实际问题 → 作出解答
第二十二页，编辑于星期日：点 三十七分。
在水流向东且速度为 10 km/h 的河中，一艘船 要渡河，如果要使船实际航行速度的大小为 10 3 km/h 且方向 垂直于对岸，求船行驶速度的大小与方向．
第三十一页，编辑于星期日：点 三十七分。
3．如图，A→B＋B→C＋C→D＝(
)
A.A→E＋E→D
B．A→C＋D→C
C.C→E＋A→B
D．A→D＋D→E
【答案】A
【解析】A→B＋B→C＋C→D＝A→D，A→E＋E→D＝A→D，故选 A.
第三十二页，编辑于星期日：点 三十七分。
4．如图，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点， 下列结论正确的是( )
A.A→B＝C→D，B→C＝A→D B.A→D＋O→D＝D→A C.A→O＋O→D＝A→C＋C→D D.A→B＋B→C＋C→D＝D→A 【答案】C
【解析】A→O＋O→D＝A→D，A→C＋C→D＝A→D，故 C 正确．
第三十三页，编辑于星期日：点 三十七分。
2．当两个向量不共线时，两个法则是一致的．
第二十八页，编辑于星期日：点 三十七分。
3．向量 a＋b 与非零向量 a，b 的模及方向的联系 (1)当向量 a 与 b 不共线时，向量 a＋b 的方向与 a，b 都不 相同且|a＋b|＜|a|＋|b|，几何意义是三角形两边之和大于第三 边． (2)当向量 a 与 b 同向时，向量 a＋b 与 a(或 b)方向相同且|a ＋b|＝|a|＋|b|.
第十八页，编辑于星期日：点 三十七分。
(2)由向量加法的三角形法则得，E→A＝E→B＋B→A， 同理可得，F→B＝F→C＋C→B，D→C＝D→A＋A→C， ∴E→A＋F→B＋D→C＝E→B＋B→A＋F→C＋C→B＋D→A＋A→C＝ (B→A＋A→C＋C→B)＋(E→B＋F→C＋D→A)． ∵点 D，E，F 分别是△ABC 三边 AB，BC，CA 的中点， ∴E→B＝F→D，F→C＝A→F.∴E→B＋F→C＋D→A＝F→D＋A→F＋D→A＝0. ∴E→A＋F→B＋D→C＝0＋0＝0.
第二十四页，编辑于星期日：点 三十七分。
向量加法的应用误区
【示例】如图，正六边形 ABCDEF 中，B→A＋C→D＋E→F＝
() A．0
B．B→E
C．A→D
D．C→F
第二十五页，编辑于星期日：点 三十七分。
【错解】A或B或C 【错因】忽视利用正六边形的性质推出 BA∥DE，BA＝DE， 并根据向量相等的概念推出B→A＝D→E，从而无法简化计算而出 错． 【正解】因为 ABCDEF 是正六边形，所以 BA∥DE，BA＝ DE.所以B→A＝D→E.所以B→A＋C→D＋E→F＝D→E＋C→D＋E→F＝C→D＋D→E ＋E→F＝C→F. 【答案】D
第三十页，编辑于星期日：点 三十七分。
2．设向量 a 表示“向东走 5 km”，b 表示“向南走 5 km”，
则 a＋b 表示( )
A．向东走 10 km
B．向南走 10 km
C．向东南走 10 km
D．向东南走 5 2 km
【答案】D
【解析】作出示意图，易得 a＋b 表示“向东南走 5 2 km”．故选 D.
第十一页，编辑于星期日：点 三十七分。
【方法规律】向量加法运算的几个注意点 (1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量 的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成 0. (2)运用多边形法则进行向量加法求和时，在图中表示“首 尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向 量的终点．
第二十页，编辑于星期日：点 三十七分。
【解析】如图所示， B→C＝B→A＋A→C，∠BAC＝90°， |A→B|＝|A→C|＝300 km， 所以|B→C|＝300 2 km. 又∠ABC＝45°且 A 地在 B 地的南偏东 30°的方向处，可知 C 地在 B 地的南偏东 75°的方向上． 故飞机从 B 地向 C 地飞行的方向是南偏东 75°，B，C 两地 间的距离为 300 2 km.
第十七页，编辑于星期日：点 三十七分。
点 D，E，F 分别是△ABC 三边 AB，BC，CA 的中点，求证：
(1)A→B＋B→E＝A→C＋C→E； (2)E→A＋F→B＋D→C＝0. 【证明】(1)由向量加法的三角形法则，得A→B＋B→E＝A→E， 同理可得，A→C＋C→E＝A→E， ∴A→B＋B→E＝A→C＋C→E.
第二十三页，编辑于星期日：点 三十七分。
【解析】如图所示，O→A表示水速，O→B表示船实际航行的 速度，O→C表示船速，由O→B＝O→C＋O→A易知|B→C|＝|O→A|＝10.
又∠OBC＝90°，|O→B|＝10 3，所以|O→C|＝20，∠BOC＝30°. 所以∠AOC＝120°，即船行驶速度为 20 km/h，方向与水流方向 的夹角为 120°.
计算 应用它们进行向量计算
第二页，编辑于星期日：点 三十七分。
1．向量的加法
定义 求___两__个__向_量__和______的运算，叫做向量的加法
前提 已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A
三角 作法 作A→B＝a，B→C＝b，再作向量A→C
法则 形法
则
结论
向量A→C叫做 a 与 b 的和，记作 a＋b，即 a ＋b＝__A→_B_＋__B_→C___＝___A→_C__
第十二页，编辑于星期日：点 三十七分。
如图，E，F，G，H 分别是梯形 ABCD 的边 AB， BC，CD，DA 的中点，化简下列各式：
(1)D→G＋E→A＋C→B； (2)E→G＋C→G＋D→A＋E→B.
第十三页，编辑于星期日：点 三十七分。
【解析】(1)D→G＋E→A＋C→B＝G→C＋B→E＋C→B＝ G→C＋C→B＋B→E＝G→B＋B→E＝G→E. (2)E→G＋C→G＋D→A＋E→B＝E→G＋G→D＋D→A＋A→E＝E→D＋D→A＋ A→E＝E→A＋A→E＝0.
第十四页，编辑于星期日：点 三十七分。
向量加法与平面几何的综合应用
【例 2】 如图所示，已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O 且A→O＝O→C，D→O＝O→B.求证：四边形 ABCD 是 平行四边形．
第十五页，编辑于星期日：点 三十七分。
【 解 题 探 究 】 利用向量加法表示A→B，D→C → A→B＝D→C
)
A.A→B＋A→D
B.A→B＋D→C
C.C→D＋D→A
D.A→B＋B→C
【答案】D
第七页，编辑于星期日：点 三十七分。
2．下列式子错误的是( A．a＋0＝0＋a C．|a＋b|≤|a|＋|b|
) B．A→B＋A→C＝B→C D．A→B＋B→A＝0
【答案】B
第八页，编辑于星期日：点 三十七分。
3．在矩形 ABCD 中，A→B＋A→D＝________. 【答案】A→C 4．A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝________. 【答案】0
第十九页，编辑于星期日：点 三十七分。
向量加法的实际应用
【例3】 一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向 飞行300 km后到达B地，然后向C地飞行，已知C地在A地北偏东 60°的方向处且A，C两地相距300 km，求飞机从B地到C地飞行 的方向及B，C间的距离．
【解题探究】根据题意画出图形，利用向量加法的三角形 法则，用B→A，A→C表示出B→C，进而求解问题．
第五页，编辑于星期日：点 三十七分。
2．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝_b_＋__a__. (2)结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c_) _.
3．重要结论
|a＋b|_≤___|a|＋|b|.
第六页，编辑于星期日：点 三十七分。
1．如图，下列各式的运算结果等于A→C的是(
向量加法的运算
【例 1】 (2017 年山东济南校级月考)已知四边形 ABCD，
连接 AC，BD，则A→B＋B→C＋C→D为( )
A．A→D
B．B→D
C．A→C
D．0
第十页，编辑于星期日：点 三十七分。
【解题探究】根据平面向量的加法运算法则，进行化简即 可．
【答案】A 【解析】根据平面向量的加法运算，得A→B＋B→C＋C→D＝A→C ＋C→D＝A→D.故选 A．
第三页，编辑于星期日：点 三十七分。
三角形 图
法则 形
法 则 平行四
边形法 则
前 已知不共线的两个向量 a，b，在平面内任取 提 一点 O 作 以同一点 O 为起点的两个已知向量 a，b 为邻 法 边作平行四边形 OACB
第四页，编辑于星期日：点 三十七分。
平行 结论 对角线__O_→_C__就是 a 与 b 的和 四边 法则 形法 图形 则 规定 对于零向量与任一向量 a，都有 a＋0＝0＋a＝__a__
2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
第一页，编辑于星期日：点 三十七分。
目标定位
重点难点
1.通过实例了解向量加法定义的 重点：向量加法运算，并理 由来
解其几何意义 2.掌握向量加法运算，并理解其
难点：掌握向量加法的运算 几何意义
律，并会应用它们进行向量 3.掌握向量加法的运算律，并会
→
|A→B|＝|D→C|，A→B∥D→C
→
四边形ABCD 是平行四边形
【解析】A→B＝A→O＋O→B，D→C＝D→O＋O→C，
∵A→O＝O→C，O→B＝D→O，∴A→B＝D→C.
∴AB∥DC 且 A．
第十六页，编辑于星期日：点 三十七分。
【特别提醒】解决此类问题有两点注意 (1)注意法则的应用． (2)注意证明有向线段表示的向量相等，要说明有向线段所 在直线平行或重合且长度相等．
第二十六页，编辑于星期日：点 三十七分。
【警示】利用几何图形中线线平行，线段相等可以推出向 量共线或相等．通过相等向量的代换往往可以实现向量运算的 简化．如本例中利用正六边形的性质可以得到B→A＝D→E.
第二十七页，编辑于星期日：点 三十七分。
1．两个法则的使用条件不同．三角形法则适用于任意两个 非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求 和．
(3)当向量 a 与 b 反向且|a|≤|b|时，a＋b 与 b 方向相同(与 a
方向相反)且|a＋b|＝|b|－|a|.
第二十九页，编辑于星期日：点 三十七分。
1．下列等式中不正确的是( )
A．a＋0＝a
B．a＋b＝b＋a
C．|a＋b|＝|a|＋|b|
D．a＋b＋c＝a＋(b＋c)
【答案】C
【解析】当a与b方向不同时，|a＋b|≠|a|＋|b|.
第二十一页，编辑于星期日：点 三十七分。
【规律总结】求解与向量有关的实际问题解题步骤 弄清实际问题 → 数学问题 → 正确画出图形 → 用向量表示实际量 → 向量运算 → 回扣实际问题 → 作出解答
第二十二页，编辑于星期日：点 三十七分。
在水流向东且速度为 10 km/h 的河中，一艘船 要渡河，如果要使船实际航行速度的大小为 10 3 km/h 且方向 垂直于对岸，求船行驶速度的大小与方向．
第三十一页，编辑于星期日：点 三十七分。
3．如图，A→B＋B→C＋C→D＝(
)
A.A→E＋E→D
B．A→C＋D→C
C.C→E＋A→B
D．A→D＋D→E
【答案】A
【解析】A→B＋B→C＋C→D＝A→D，A→E＋E→D＝A→D，故选 A.
第三十二页，编辑于星期日：点 三十七分。
4．如图，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点， 下列结论正确的是( )
A.A→B＝C→D，B→C＝A→D B.A→D＋O→D＝D→A C.A→O＋O→D＝A→C＋C→D D.A→B＋B→C＋C→D＝D→A 【答案】C
【解析】A→O＋O→D＝A→D，A→C＋C→D＝A→D，故 C 正确．
第三十三页，编辑于星期日：点 三十七分。
2．当两个向量不共线时，两个法则是一致的．
第二十八页，编辑于星期日：点 三十七分。
3．向量 a＋b 与非零向量 a，b 的模及方向的联系 (1)当向量 a 与 b 不共线时，向量 a＋b 的方向与 a，b 都不 相同且|a＋b|＜|a|＋|b|，几何意义是三角形两边之和大于第三 边． (2)当向量 a 与 b 同向时，向量 a＋b 与 a(或 b)方向相同且|a ＋b|＝|a|＋|b|.
第十八页，编辑于星期日：点 三十七分。
(2)由向量加法的三角形法则得，E→A＝E→B＋B→A， 同理可得，F→B＝F→C＋C→B，D→C＝D→A＋A→C， ∴E→A＋F→B＋D→C＝E→B＋B→A＋F→C＋C→B＋D→A＋A→C＝ (B→A＋A→C＋C→B)＋(E→B＋F→C＋D→A)． ∵点 D，E，F 分别是△ABC 三边 AB，BC，CA 的中点， ∴E→B＝F→D，F→C＝A→F.∴E→B＋F→C＋D→A＝F→D＋A→F＋D→A＝0. ∴E→A＋F→B＋D→C＝0＋0＝0.
第二十四页，编辑于星期日：点 三十七分。
向量加法的应用误区
【示例】如图，正六边形 ABCDEF 中，B→A＋C→D＋E→F＝
() A．0
B．B→E
C．A→D
D．C→F
第二十五页，编辑于星期日：点 三十七分。
【错解】A或B或C 【错因】忽视利用正六边形的性质推出 BA∥DE，BA＝DE， 并根据向量相等的概念推出B→A＝D→E，从而无法简化计算而出 错． 【正解】因为 ABCDEF 是正六边形，所以 BA∥DE，BA＝ DE.所以B→A＝D→E.所以B→A＋C→D＋E→F＝D→E＋C→D＋E→F＝C→D＋D→E ＋E→F＝C→F. 【答案】D
第三十页，编辑于星期日：点 三十七分。
2．设向量 a 表示“向东走 5 km”，b 表示“向南走 5 km”，
则 a＋b 表示( )
A．向东走 10 km
B．向南走 10 km
C．向东南走 10 km
D．向东南走 5 2 km
【答案】D
【解析】作出示意图，易得 a＋b 表示“向东南走 5 2 km”．故选 D.
第十一页，编辑于星期日：点 三十七分。
【方法规律】向量加法运算的几个注意点 (1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量 的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成 0. (2)运用多边形法则进行向量加法求和时，在图中表示“首 尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向 量的终点．
第二十页，编辑于星期日：点 三十七分。
【解析】如图所示， B→C＝B→A＋A→C，∠BAC＝90°， |A→B|＝|A→C|＝300 km， 所以|B→C|＝300 2 km. 又∠ABC＝45°且 A 地在 B 地的南偏东 30°的方向处，可知 C 地在 B 地的南偏东 75°的方向上． 故飞机从 B 地向 C 地飞行的方向是南偏东 75°，B，C 两地 间的距离为 300 2 km.
第十七页，编辑于星期日：点 三十七分。
点 D，E，F 分别是△ABC 三边 AB，BC，CA 的中点，求证：
(1)A→B＋B→E＝A→C＋C→E； (2)E→A＋F→B＋D→C＝0. 【证明】(1)由向量加法的三角形法则，得A→B＋B→E＝A→E， 同理可得，A→C＋C→E＝A→E， ∴A→B＋B→E＝A→C＋C→E.
第二十三页，编辑于星期日：点 三十七分。
【解析】如图所示，O→A表示水速，O→B表示船实际航行的 速度，O→C表示船速，由O→B＝O→C＋O→A易知|B→C|＝|O→A|＝10.
又∠OBC＝90°，|O→B|＝10 3，所以|O→C|＝20，∠BOC＝30°. 所以∠AOC＝120°，即船行驶速度为 20 km/h，方向与水流方向 的夹角为 120°.
计算 应用它们进行向量计算
第二页，编辑于星期日：点 三十七分。
1．向量的加法
定义 求___两__个__向_量__和______的运算，叫做向量的加法
前提 已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A
三角 作法 作A→B＝a，B→C＝b，再作向量A→C
法则 形法
则
结论
向量A→C叫做 a 与 b 的和，记作 a＋b，即 a ＋b＝__A→_B_＋__B_→C___＝___A→_C__
第十二页，编辑于星期日：点 三十七分。
如图，E，F，G，H 分别是梯形 ABCD 的边 AB， BC，CD，DA 的中点，化简下列各式：
(1)D→G＋E→A＋C→B； (2)E→G＋C→G＋D→A＋E→B.
第十三页，编辑于星期日：点 三十七分。
【解析】(1)D→G＋E→A＋C→B＝G→C＋B→E＋C→B＝ G→C＋C→B＋B→E＝G→B＋B→E＝G→E. (2)E→G＋C→G＋D→A＋E→B＝E→G＋G→D＋D→A＋A→E＝E→D＋D→A＋ A→E＝E→A＋A→E＝0.
第十四页，编辑于星期日：点 三十七分。
向量加法与平面几何的综合应用
【例 2】 如图所示，已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O 且A→O＝O→C，D→O＝O→B.求证：四边形 ABCD 是 平行四边形．
第十五页，编辑于星期日：点 三十七分。
【 解 题 探 究 】 利用向量加法表示A→B，D→C → A→B＝D→C
)
A.A→B＋A→D
B.A→B＋D→C
C.C→D＋D→A
D.A→B＋B→C
【答案】D
第七页，编辑于星期日：点 三十七分。
2．下列式子错误的是( A．a＋0＝0＋a C．|a＋b|≤|a|＋|b|
) B．A→B＋A→C＝B→C D．A→B＋B→A＝0
【答案】B
第八页，编辑于星期日：点 三十七分。
3．在矩形 ABCD 中，A→B＋A→D＝________. 【答案】A→C 4．A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝________. 【答案】0
第十九页，编辑于星期日：点 三十七分。
向量加法的实际应用
【例3】 一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向 飞行300 km后到达B地，然后向C地飞行，已知C地在A地北偏东 60°的方向处且A，C两地相距300 km，求飞机从B地到C地飞行 的方向及B，C间的距离．
【解题探究】根据题意画出图形，利用向量加法的三角形 法则，用B→A，A→C表示出B→C，进而求解问题．
第五页，编辑于星期日：点 三十七分。
2．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝_b_＋__a__. (2)结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c_) _.
3．重要结论
|a＋b|_≤___|a|＋|b|.
第六页，编辑于星期日：点 三十七分。
1．如图，下列各式的运算结果等于A→C的是(