结构动力学第6章

结构动力学
第6章分布参数体系
本次课主要内容：
振型的正交性
梁的动力反应分析
简支梁在移动荷载作用下的振动
均直梁轴向振动分析
分布参数结构振动分析(动力直接刚度法) 剪切梁振动分析
6.3
振型的正交性
6.3振型的正交性
z与多自由度体系相同，分布参数体系的振型也可以作为坐标变化的基底，以采用振型叠加法进行体系的动力反应分析，其原因同样是由于分布参数体系振型的正交性。

z本节介绍分布质量和刚度体系自振振型的正交性。

z为简便起见，仅考虑单个梁带有简支、固支或自由边界条件。

z不考虑梁中或梁端有集中质量以及支承弹簧情况，对于这些更复杂的情况也可以采用同样的方法加以分析。

6.4
梁的动力反应分析
首先进行模态分析，得到简支梁的自振频率和振型
2
sin
,EI m n x
L
π∞
LL
2
mL
dx L x =π4
4
4230)sin 2L
n x n EI dx L
L ππ=∫)(ξn )(0ξφn p =L
x
n x n πφsin
)(=
是一个单自由度体系在突加外力p 0φn (ξ)作
用下的反应，由单自由度中给出的解法可以容易求解。

)(0ξφn p =)cos 1()
(4
t n
n ωξ−
)cos t n ω−L x n x n πφsin )(=L
x
n t n πωsin
)cos 1−L
x
n t x t n n
n πωφωsin
)cos )()cos −′′
时梁的动力反应
代入相应方程可得梁中点的挠度和弯矩：
分析以上给出的位移和弯矩的级数解可以发现，位移是收敛，因此，为保证内力的有效计算精度，必须取比位移更多的项计算。

，位移可以取前3项，而对于弯矩的共性。

)2401cos 175L +−+t t ωω)49cos 125cos 75L +−+t t ωω
6.5
简支梁在移动荷载
作用下的振动
移动质量作用下的简支梁模型
当移动荷载作用下产生的变形曲率很小和移动速度较低
时，考虑移动质量的简支梁动力平衡方程为：
2
112
(,))d u x t Vt M g M dt ⎞
⎛−−⎟⎜⎝⎠
22
2
2
(,)(,)2u x t u x t V V x t x
∂∂++∂∂∂22222
(,)(,)(,)2u x t u x t u x t V V t x t x ⎤⎞∂∂++⎥⎟∂∂∂∂⎠⎦2
12
(,)()u x t x Vt M g t δ⎞
⎛∂=−−⎟⎜∂⎝⎠
6.6
均直梁轴向振动分析
注意到梁的振动是沿轴向的，振型图仅为示意图。

如果
6.6 均直梁轴向振动分析
本节讨论的是梁的轴向振动，即是杆的振动问题。

如果将弹性模量E改为剪切模量G，
则轴向振动的所有结果即变成剪切梁的相应内容。