湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期月考(三)(11月)数学试卷

湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期月考（三）（11月）
数学试卷
一、单选题1．若复数z 满足1i
34i z
+=-，则z =（）
A B ．
25
C ．
5
D 2．已知数列{}n a 的前n 项和2
2n S n n =-，则345a a a ++等于（）
A ．12
B ．15
C ．18
D ．21
3．抛物线24y x =的焦点坐标为（）
A ．(1,0)
B ．(1,0)-
C ．1(0,)16
-
D ．1(0,
16
4．如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则函数的解析式可为（）
A ．πsin 23y x ⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
B ．πsin 3y x ⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭C ．πsin 26y x ⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭D ．5πcos 26y x ⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
5．1903年，火箭专家、航天之父康斯坦丁・齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v 满足公式：12
01
ln
m m v v m +=，其中12,m m 分别为火箭结构质量和推进剂的质量，0v 是发动机的喷气速度.已知某单级火箭结构质量是推进剂质
量的2倍，火箭的最大速度为8km /s ，则火箭发动机的喷气速度为（）（参考数据：
ln20.7≈，ln3 1.1,ln4 1.4≈≈）
A ．10km /s
B ．20km /s
C ．
80
km /s 3
D ．40km /s
6．若8
3cos 5αβ=，63sin 5αβ=，则()cos αβ+的值为（）
A ．
B
C ．
D 7．如图，一个质点从原点O 出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为
23
，向右的概率为1
3，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概率为（）
A ．
4
27
B ．
827
C ．
29
D ．
49
8．设n S 为数列的前n 项和，若121++=+n n a a n ，且存在*N k ∈，1210k k S S +==，则1a 的取值集合为（
）
A ．{}20,21-
B ．{}20,20-
C ．{}
29,11-D ．{}
20,19-二、多选题
9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为1AD ，DB 的中点，则下列说法正确的是（）
A ．直线EF 与11D
B 为异面直线B ．直线1D E 与1D
C 所成的角为60o C ．1
D F AD
⊥D ．//EF 平面11
CDD C 10．已知P 是圆22:4O x y +=上的动点，直线1:cos sin 4l x y θθ+=与2:sin cos 1l x y θθ-=交于点Q ，则（）
A ．12
l l ⊥B ．直线1l 与圆O 相切C ．直线
2l 与圆O 截得弦长为D ．OQ
11．已知三次函数()32
f x ax bx cx d =+++有三个不同的零点1x ，2x ，()3123x x x x <<，函数
()()1g x f x =-也有三个零点1t ，2t ，()3123t t t t <<，则（）
A ．23b ac
>B ．若1x ，2x ，3x 成等差数列，则23b x a
=-C ．1313
x x t t +<+D ．222222
123123
x x x t t t ++=++三、填空题
12．已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()3E X =，()2D X =，则n =
.
13．已知平面向量a ，b 满足2a = ，1= b ，
且b 在a
上的投影向量为14
a - ，则a
b + 为.
14．如图，已知四面体ABCD 的体积为32，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G ，H 分别在CD ，AD 上，且G ，H 是靠近D 点的四等分点，则多面体EFGHBD 的体积为
.
四、解答题
15．设ABC V 的内角
A ，
B ，
C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 0a B A -=.(1)求A ；
(2)若sin sin 2sin B C A +=，且ABC V
a 的值.
16．设()()2
2
1ln 2
f x x ax x x =++
，a ∈R .(1)若0a =，求()f x 在1x =处的切线方程；(2)若a ∈R ，试讨论()f x 的单调性.
17．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面
分别交,PB PD 于点,M N ，且BD ∥平面AMHN ．
(1)证明：MN PC ⊥；
(2)当
H 为PC 的中点，,PA PC PA =与平面ABCD 所成的角为60︒，求平面PAM 与平面AMN 所成的锐二面角的余弦值．18．已知双曲线2
2:13
y x Γ-=的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 与双曲线Γ交于A ，B 两点.
(1)若AB x ⊥轴，求线段AB 的长；
(2)若直线l 与双曲线的左、右两支相交，且直线1AF 交y 轴于点M ，直线1BF 交y 轴于点N .（i ）若1
1
F AB F MN S S = ，求直线l 的方程；
（ii ）若1F ，2F 恒在以MN 为直径的圆内部，求直线l 的斜率的取值范围.
19．已知{}n a 是各项均为正整数的无穷递增数列，对于*k ∈N ，设集合{}*
k i B i a k =∈<N ∣，
设k b 为集合k B 中的元素个数，当k B =∅时，规定0k b =.
(1)若2
n a n =，求1b ，2b ，17b 的值；
(2)若2n n a =，设n b 的前n 项和为n S ，求12n S +；(3)若数列{}n b 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式.。