多元复合函数的微分法-ch8.5解读

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例21 (1) 设z uv, u e x , v sin x, 求 dz (2) 设z f ( x, e ), 求 . dx
x
dz ; dx
解
dz z du z dv dx u dx v x u cos x
ex (sin x cos x). (2) 令y e x , 则z f ( x, y)
z
u
v
x y
u v 2 x, y; x x
2 z 2 x y v 1 v 2 2 vu 2 x u ln u y ( x 2 y 2 ) xy [ 2 y ln( x y )] 2 x x y 4
z z u z v ， y u y v y
dz f f dy f x e x f y. dx x y dx
z
x y
x
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2.只有一个中间变量的情形 若ƒ与φ可微,且z=ƒ(u), u=φ(x,y)可导,则z=ƒ(φ(x,y))是x,y 的二元函数.此时z对x与y的导数为偏导数, 为
z u fu ; x x
u v 而 2 y, x; y y
z vu v 1 2 y u v ln u x y
2 2 xy 2 2 ( x 2 y 2 ) xy [ 2 x ln( x y )] 2 x y
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u u u 例21 设u f ( x y z, x y z ), 求 , , . x y z
此写法常用于抽象函数的微分运算. z z 例20 设z ( x 2 y 2 ) xy , 求 , . x y 解 令u x2 y 2 , v xy, 则 z u v , 从而z是x, y的复合函数.
z z u z v , x u x v x z z 而 vu v 1 , u v ln v, u v
z u u v u w f (u ) f (u ) ( ) y y v y w y
1 2 2 ); f (u ) ( x1 y
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z z dz dx dy x y
1 1 2 )dx f (u ) ( x1 2 2 )dy f (u ) ( y1 y y x 1 1 )dy] f ( ( xy, )) [( y1 2 )dx ( x1 2 2 y y y
当∆x→0时,对此式两边取极限,得
z z u z v , x u x v x
同理可得
z z u z v . y u y v y
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亦可记为
z f u f v z f u f v , . x u x v x y u y v y
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注2 在计算多元复合函数的偏导数时,可不写中间变量, 而用 fi表示“函数ƒ对第i个中间变量求导”,用 fij 表示 先对第i个,后对第j个中间变量求导”.从而例22中的结果 可写为：(见上)
u f f 2 x f1 2 xf 2 x s t
f u f 2 y f1 2 yf 2 t y s
例23 设函数u u( x, y)满足方程
2u 2u u u k ( ) 0, 2 2 x y x y
试确定参数 , , 使变换u( x, y) v( x, y) e x y能将原 方程变为一个不出现一阶偏导数的新方程.
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解 因
u v x y v e v( x, y )e x y ( v)e x y x x x
§8.5多元复合函数的微分法
因多元复合函数的求导法则 在多元微积分中占有非常重要的 地位，下面将一元复合函数的求导法则推广到多元的
情形.
定义9 设z=ƒ(u,v),而u=φ(x,y),v=Ψ(x,y),z=ƒ(φ(x,y),Ψ(x,y)) 称为x,y的复合函数，并称u，v为中间变量.这类二元函 数有下面的求导法则.
u
s t
x y z
u f f 2 z f1 2 zf 2 z s t
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注3 复合函数的微分法是难点.下面对几种特殊情况给予 讨论. 1.只有一个自变量的情形 (Ⅰ).若z=ƒ(u,v)可微,u=φ(x),v=Ψ(x)可导,则z=ƒ(φ(x),Ψ(x)) 是x的一元函数.此时z对x导数是全导数,其求导法则为
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u u , 定理5 若u=φ(x,y),v=Ψ(x,y)在点(x,y)处的偏导数 x y v v 及 , 都存在,且在对应于(x,y)的点(u,v)处,函数z=ƒ(u,v) x x
可微,则复合函数z=ƒ(φ(x,y),Ψ(x,y))对x及y的偏导数都存 在,且
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
z
u v
x y
注1 此定理也可称为求导的链式法则.记忆可用上图所示
的链子来记. 定理中的等式数为自变量的个数； 每一个等 式中的项数为中间变量的个数. z到x的路径有两条,一条
是“z→u→x”, 一条是“z→v→x”; z到y路径也有两条,
z
u
x y
z u f u . y y
2 z z z 例22 (1) 设f 可微, z f ( x 2 2 y 2 ), 求 , , 2 ; x y x
解 令u x2 2 y 2，则
z
u
x
y
z f ( x 2 2 y 2 ) 2 x 2 xf ( x 2 2 y 2 ); x
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z
u
x y x y
z f ( x 2 2 y 2 ) (4 y) 4 yf ( x 2 2 y 2 ). y f u
z 2 2 2 2 2 f ( x 2 y ) 2 x [ f ( x 2 y )]x 2 x
2
2 f ( x2 2 y 2 ) 2xf ( x2 2 y 2 ) 2x 2 f ( x2 2 y 2 ) 4x2 f ( x2 2 y 2 )
2 2 2
解 令s x y z, t x2 y 2 z 2 ,
u
s t
x y z
则u f (s, t ), 从而u是x, y, z的复合函数.
u f s f t f f 2x x s x t x s t f f u f s f t 2y t y s y t y s u f s f t f f 2z z s z t z s t
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x (2) 设z f (u ), u ( xy, ), f 与 均可微, 求dz. y x 解 令 v xy, w , v x y u z y w z u 则 f (u ) x x
f (u ) ( u v u w 1 2 ); ) f (u ) ( y1 v x w x y
一条是“z→u→y”,一条是“z→v→y”.
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证 设y不变而x有一个改变量∆x,且u,v,z的相应改变量 分别为 xu, x v, x z, 则由z=ƒ(u,v)可微,知
z z x z x u x v o( ) 且 ( x u ) 2 ( x v ) 2 . u v x z z x u z x v o( ) x u x v x x
2u 2v v x y v x y ( ) e ( v ) e x 2 x 2 x x 2v v ( 2 2 2v)e x y x x u v x y v e v( x, y)e x y ( v)e x y y y y
2u 2v v 2 x y ( 2 v ) e 2 2 y y y
2v 2v v v 2 2 (2 k ) ( 2 k ) ) ( k k )v 0 2 2 x y x y
dz f du f dv dx u dx v dx
u z v z x y
x
x
(Ⅱ).若z=ƒ(x,y), y=φ(x), 则z=ƒ(x,φ(x))是x的一元函数,
dz f dx f dy f f dy . 其全导数为 dx x dx y dx x y dx
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要使此方程不含一阶偏导数项.则只需
2 k 0 2 k 0
k k , . 2 2
2 2 k k 0
2v 2v 2 2 0. x y
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