含参导数问题

由参数引起的血案——
含参导数问题
一、已知两个函数k x x x f -+=168)(2
，x x x x g 452)(2
3
++=，按以下条件求k 的范围。

（1）对于任意的]3,3[-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立。

（构造新函数，恒成立问题） （2）若存在成立。

，使得)()(]3,3[000x g x f x ≤-∈ （与恒成立问题区别看待） （3）若对于任意的).()(]3,3[2121x g x f x x ≤-∈，都有、 （注意21,x x 可以不是同一个x ）
（4）对于任意的)()(],3,3[]3,3[1001x f x g x x =-∈-∈使得，总存在。

（注意：哪个函数的值域含于哪个函数的值域取决于：谁的x 是任意取的，谁的x 是总存在的。

）
（5）若对于任意0x []3,3∈-,总存在相应的[]12,3,3x x ∈-,使得102()()()g x f x g x ≤≤成立； （与（4）相同）
二、已知函数()2
1ln (1)2
f x a x x a x =+
-+， a R ∈ (1)函数f (x )在区间(2,﹢∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 , (2)函数f (x )在区间(2,3)上单调，则实数a 的取值范围是 .
三、设函数3()3f x x ax =- (a R ∈)，若对于任意的[]1,1-∈x 都有()1f x ≤成立，求实数a 的取值范围.
四、含参数导数问题的三个基本讨论点
一、 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。

二、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根
是否落在定义域内，从而引起讨论。

三、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落
在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

例1、设函数3221
()23()3
f x x ax a x a a R =-+-+∈.求函数)(x f 的单调区间和极值；
（可因式分解，比较两根大小，注意别丢两根相等情况)
解： 2
2
()4-3()(3)f x x ax a x a x a '=-+=--- ……………………………5分 0a =时，()0f x '≤，(,)-∞∞是函数的单调减区间；无极值；……………6分 0a >时，在区间(,),(3,)a a -∞∞上，()0f x '<； 在区间(,3)a a 上，()0f x '>， 因此(,),(3,)a a -∞∞是函数的单调减区间，(,3)a a 是函数的单调增区间， 函数的极大值是(3)f a a =；函数的极小值是3
4()3
f a a a =-
；………………8分 0a <时，在区间(,3),(,)a a -∞∞上，()0f x '<； 在区间(3,)a a 上，()0f x '>，
因此(,3),(,)a a -∞∞是函数的单调减区间，(3,)a a 是函数的单调增区间
函数的极大值是3
4()3
f a a a =-
，函数的极小值是(3)f a a = ………………10分 例1变式．若2
'()(1)f x x a x a =-++，若(0,)x ∈+∞,讨论()f x 的单调性。

（比较根大小，考虑定义域） 例2、已知a 是实数，函数()()f x x x a =
-。

（不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论）
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（主要看第一问，第二问选看） （Ⅱ）设()g a 为()f x 在区间[]0,2上的最小值。

（i ）写出()g a 的表达式；（ii ）求a 的取值范围，使得()62g a -≤≤-。

解：（Ⅰ）函数的定义域为[)0,+∞，()()'
3330222a x x a x a f x x x x x x
⎛
⎫- ⎪
--⎝⎭=+==>，由'()0f x =得3a
x =。

考虑3a 是否落在导函数'
()f x 的定义域()0,+∞内，需对参数a 的取值分0a ≤及0a >两种情况进行讨论。

（1） 当0a ≤时，则'
()0f x >在()0,+∞上恒成立，所以()f x 的单调递增区间为[)0,+∞。

（2） 当0a >时，由'
()0f x >，得3a x >
；由'
()0f x <，得03
a x <<。

因此，当0a >时，()f x 的单调递减区间为0,3a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，()f x 的单调递增区间为,3a
⎡⎫+∞⎪⎢⎣
⎭。

① 当
()0,23a ∈，即06a <<时，()f x 在0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,23a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增， 所以()2333a a a g a f ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
932a a -=。

② 当
[)2,3
a
∈+∞，即6a ≥时，()f x 在[]0,2上单调递减，所以()()()222g a f a ==-。

综上所述，()()0,02,063322,~6a a a g a a a a ⎧≤⎪
⎪=-<<⎨⎪
⎪-≥⎩
（ii ）令()62g a -≤≤-。

①若0a ≤，无解；
②若06a <<，由26233
a a
-≤-
≤-解得36a ≤<； ③ 若6a ≥，由()6222a -≤-≤-解得6232a ≤≤+。

综上所述，a 的取值范围为3232a ≤≤+。

例3已知函数()()2221
1
ax a f x x R x -+=∈+其中a R ∈。

当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。

解：由于0a ≠，所以()()()()()()
2
2
'
2222
122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛
⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++。

由()'
0f
x =，得121
,x x a a
=-
=。

这两个实根都在定义域R 内，但不知它们之间的大小。

因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。

（1） 当0a >时，则12x x <。

易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞-
⎪⎝⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
为增函数。

故函数()f x 在11x a =-
处取得极小值2
1f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。

（2） 当0a <时，则12x x >。

易得()f x 在区间),(a -∞，),1(+∞-a 内为增函数，在区间)1
,(a
a -为减函数。

故函数()f x 在11x a =-
处取得极小值2
1f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。

例4、已知函数1ln )1()(2
+++=ax x a x f 。

（I ） 讨论函数)(x f 的单调性； （*第二问选做*）
（II ） 设1-<a .如果对任意),0(,21+∞∈x x ，||4)()(|2121x x x f x f -≥-，求a 的取值范围。

解：（Ⅰ）()f x 的定义域为（0，+∞）. 2121
'()2a ax a f x ax x x
+++=+=. 当0a ≥时，'()f x ＞0，故()f x 在（0，+∞）单调增加； 当1a ≤-时，'()f x ＜0，故()f x 在（0，+∞）单调减少；
当-1＜a ＜0时，令'()f x =0，解得12a x a
+=-
. 则当1(0,)2a x a +∈-
时，'()f x ＞0；1
(,)2a x a
+∈-+∞时，'()f x ＜0.
故()f x 在1(0,)2a a +-
单调增加，在1
(,)2a a
+-+∞单调减少. （Ⅱ）不妨假设12x x ≥，而a ＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而 12,(0,)x x ∀∈+∞，1212()()4f x f x x x -≥- 等价于 12,(0,)x x ∀∈+∞，
2211()4()4f x x f x x +≥+ ①令()()4g x f x x =
+，则
1
'()
24a g x a x x
+=++①等价于()g x 在（0，+∞）单调减少，即
1
240a ax x
+++≤. 从而222
222
41(21)42(21)2212121
x x x x a x x x ------≤==-+++ 故a 的取值范围为（-∞，-2]. 例5、已知函数f (x )=In(1+x )-x +
2
2
x x (k ≥0)。

(Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(Ⅱ)求f (x )的单调区间。

解：（I ）当2k =时，2
()ln(1)f x x x x =+-+，1
'()121f x x x
=-++ 由于(1)ln 2f =，3
'(1)2
f =， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 3
ln 2(1)2y x -=
- 即 322ln 230x y -+-= （II ）(1)
'()1x kx k f x x
+-=+，(1,)x ∈-+∞.
当0k =时，'()1x
f x x
=-+. 所以，在区间(1,0)-上，'()0f x >；在区间(0,)+∞上，'()0f x <.
故()f x 得单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞.
当01k <<时，由(1)'()01x kx k f x x
+-=
=+，得10x =，210k
x k -=> 所以，在区间(1,0)-和1(,)k k -+∞上，'()0f x >；在区间1(0,)k
k
-上，'()0f x < 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-和1(,)k k -+∞，单调递减区间是1(0,)k
k
-. 当1k =时，2
'()1x f x x
=+ 故()f x 得单调递增区间是(1,)-+∞.
当1k >时，(1)'()01x kx k f x x
+-=
=+，得11(1,0)k
x k -=∈-，20x =. 所以没在区间1(1,)k k --和(0,)+∞上，'()0f x >；在区间1(,0)k
k
-上， '()0f x < 故()f x 得单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)k
k -
参数讨论流程：1.一般先去求两根，最好是将导函数因式分解，方便直接看出根。

有时甚至要考虑导函数等于零
是否有根，如二次函数判别式小于零时就没根。

2.两根大小不确定时需要对参数分情况讨论两根大小（别忽略了二次函数两根相等情况）。

3.如果原函数有定义域，或者参数有自己的取值范围，必须对这些进行考虑。

4．如果二次函数的二项式系数有参数，必须考虑二次函数的开口方向，也要小心系数为零的情况。

易错点归类：1.复合函数求导反复检查保证无误。

2.没有考虑原函数的定义域。

3.没有考虑题干中参数的取值范围。

3.把原函数图象和导函数图象弄混。

4.写结论的时候，用并集去写单调区间.。