2021-2022学年上学期八年级期中数学试题及答案

2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．等式（x+4）0＝1成立的条件是（）
A．x为有理数B．x≠0C．x≠4D．x≠﹣4
3．下列运算中，正确的是（）
A．x6÷x2＝x3B．（﹣3x）2＝6x2C．3x3﹣2x2＝x D．（x3）2•x＝x7 4．若（2a+3b）（）＝4a2﹣9b2，则括号内应填的代数式是（）A．﹣2a﹣3b B．2a+3b C．2a﹣3b D．3b﹣2a
5．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（）
A．15°B．30°C．45°D．60°
6．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（）
A．（a﹣b）（﹣b﹣a）B．（﹣n2﹣m2）（m2+n2）
C．(−1
2
p+q)(q+12p)D．（2x﹣3y）（2x+3y）
7．下列说法错误的是（）
A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等B．轴对称图形至少有一条对称轴
C．全等三角形一定能关于某条直线对称
D．角是轴对称的图形
8．如图，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，BC ＝4，边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，则△BDC 的周长是（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
9．如果x 2﹣（m +1）x +1是完全平方式，则m 的值为（ ） A ．﹣1
B ．1
C ．1或﹣1
D ．1或﹣3
10．下列各式成立的是（ ） A ．
x−2y 2y−x
=1
B ．（﹣a ﹣b ）2＝（a +b ）2
C ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2
D ．（a +b ）2﹣（a ﹣b ）2＝2ab
11．如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为BC 上一点，且AC ＝CD ＝BD ＝BE ，∠A ＝40°，则∠CDE 的度数为（ ）
A ．50°
B ．40°
C ．60°
D ．80°
12．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共16分） 13．分解因式：a 2﹣9＝ ．
14．若（x +p ）与（x +5）的乘积中不含x 的一次项，则p ＝ ． 15．如图，AB ＝AC ＝8cm ，DB ＝DC ，若∠ABC ＝60°，则BE ＝ cm ．
16．已知：（a﹣b）2＝4，ab=1
2，则（a+b）
2＝．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD ＝1，则BD＝．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF＝2，BF＝3，则CE的长度为．
三、解答题（共66分）
19．（8分）计算：
（1）﹣12x2y3÷（﹣3xy2）•（−1
3xy）
（2）3a2（a3b2﹣2a）﹣4a（﹣a2b）2
20．（8分）因式分解：
（1）x2﹣4x﹣12
（2）a3﹣4a2+4a
21．（8分）运用乘法公式计算：（1）98×102
（2）（2x﹣3y）2+（x﹣2y）（x+2y）
22．（6分）先化简，再求值（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2，其中x=1 2．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．（1）如图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）写出点A1，B1，C1的坐标（直接写答案）．A1B1C1；
（3）求△ABC的面积．
24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．（1）求证：DE＝CE．
（2）若∠CDE＝35°，求∠A的度数．
25．（8分）如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC 于点M，PN⊥AC于点N．
（1）求证：△PMN是等边三角形；
（2）若AB＝18cm，求CM的长．
26．（8分）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝24cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N 第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M，N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
27．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D 不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
2．等式（x+4）0＝1成立的条件是（）
A．x为有理数B．x≠0C．x≠4D．x≠﹣4
【解答】解：∵（x+4）0＝1成立，
∴x+4≠0，
∴x≠﹣4．
故选：D．
3．下列运算中，正确的是（）
A．x6÷x2＝x3B．（﹣3x）2＝6x2C．3x3﹣2x2＝x D．（x3）2•x＝x7【解答】解：A、错误，应为x6÷x2＝x6﹣2＝x4；
B、错误，应为（﹣3x）2＝9x2；
C、错误，3x3与2x2不是同类项，不能合并；
D、（x3）2•x＝x6•x＝x7，正确．
故选：D．
4．若（2a+3b）（）＝4a2﹣9b2，则括号内应填的代数式是（）A．﹣2a﹣3b B．2a+3b C．2a﹣3b D．3b﹣2a
【解答】解：∵4a2﹣9b2＝（2a+3b）（2a﹣3b），
∴（2a+3b）（2a﹣3b）＝4a2﹣9b2，
故选：C．
5．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC＝45°，
∴∠ECB＝45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝15°，
故选：A．
6．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（）
A．（a﹣b）（﹣b﹣a）B．（﹣n2﹣m2）（m2+n2）
C．(−1
2
p+q)(q+12p)D．（2x﹣3y）（2x+3y）
【解答】解：A、原式＝b2﹣a2，本选项不合题意；
B、原式＝﹣（m2+n2）2，本选项符合题意；
C、原式＝q2−1
4p
2，本选项不合题意；
D、原式＝4x2﹣9y2，本选项不合题意，
故选：B．
7．下列说法错误的是（）
A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等
B．轴对称图形至少有一条对称轴
C．全等三角形一定能关于某条直线对称
D．角是轴对称的图形
【解答】解：A、关于某条直线对称的两个三角形一定全等，正确；
B、轴对称图形至少有一条对称轴，正确；
C、两全等三角形不一定关于某条直线对称，错误；
D、角是轴对称的图形，正确．
故选：C．
8．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC 的周长是（）
A．8B．9C．10D．11
【解答】解：∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵△BDC的周长＝DB+BC+CD，
∴△BDC的周长＝AD+BC+CD＝AC+BC＝6+4＝10．
故选：C．
9．如果x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，则m的值为（）
A．﹣1B．1C．1或﹣1D．1或﹣3
【解答】解：∵x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，
∴﹣（m+1）x＝±2×1•x，
解得：m＝1或m＝﹣3．
故选：D．
10．下列各式成立的是（）
A ．x−2y 2y−x =1
B ．（﹣a ﹣b ）2＝（a +b ）2
C ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2
D ．（a +b ）2﹣（a ﹣b ）2＝2ab 【解答】解：A 、x−2y 2y−x =−1，错误；
B 、（﹣a ﹣b ）2＝（a +b ）2，正确；
C 、（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2，错误；
D 、（a +b ）2﹣（a ﹣b ）2＝4ab ，错误；
故选：B ．
11．如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为BC 上一点，且AC ＝CD ＝BD ＝BE ，∠A ＝40°，
则∠CDE 的度数为（ ）
A ．50°
B ．40°
C ．60°
D ．80°
【解答】解：∵AC ＝CD ＝BD ＝BE ，∠A ＝40°，
∴∠A ＝∠CDA ＝40°，∠B ＝∠DCB ，∠BDE ＝∠BED ，
∵∠B +∠DCB ＝∠CDA ＝40°，
∴∠B ＝20°，
∵∠B +∠EDB +∠DEB ＝180°，
∴∠BDE ＝∠BED =12（180°﹣20°）＝80°，
∴∠CDE ＝180°﹣∠CDA ﹣∠EDB ＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
故选：C ．
12．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF 分别交
AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12 【解答】解：连接AD ，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，
∴S△ABC=1
2BC•AD=
1
2
×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+1
2BC＝8+
1
2
×4＝8+2＝10．
故选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共16分）
13．分解因式：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．
【解答】解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．
故答案为：（a+3）（a﹣3）．
14．若（x+p）与（x+5）的乘积中不含x的一次项，则p＝﹣5．【解答】解：（x+p）（x+5）＝x2+5x+px+5p＝x2+（5+p）x+5p，
∵乘积中不含x的一次项，
∴5+p＝0，
解得p＝﹣5，
故答案为：﹣5．
15．如图，AB＝AC＝8cm，DB＝DC，若∠ABC＝60°，则BE＝4cm．
【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，A在BC的垂直平分线上，∴BC＝AB＝8cm，
∵DB＝DC，
∴点D在BC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分BC，
∴BE=1
2BC＝4cm．
故答案为：4．
16．已知：（a﹣b）2＝4，ab=1
2，则（a+b）
2＝6．
【解答】解：∵（a﹣b）2＝4，ab=1 2，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，
＝a2+b2﹣1＝4，
∴a2+b2＝5，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝5+1＝6．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD ＝1，则BD＝2．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
AD平分∠CAB，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD＝2CD＝2，
故答案为2．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF＝2，BF＝3，则CE的长度为7．
【解答】证明：在△ABC中，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵EP⊥BC，
∴∠C+∠E＝90°，∠B+∠BFP＝90°，∴∠E＝∠BFP，
又∵∠BFP＝∠AFE，
∴∠E＝∠AFE，
∴AF＝AE，
∴△AEF是等腰三角形．
又∵AF＝2，BF＝3，
∴CA＝AB＝5，AE＝2，
∴CE＝7．
三、解答题（共66分）
19．（8分）计算：
（1）﹣12x2y3÷（﹣3xy2）•（−1
3xy）
（2）3a2（a3b2﹣2a）﹣4a（﹣a2b）2
【解答】解：（1）原式＝4x2y•（−1
3xy）=−
4
3x
2y2；
（2）原式＝3a5b2﹣6a3﹣4a5b2＝﹣a5b2﹣6a3．20．（8分）因式分解：
（1）x2﹣4x﹣12
（2）a3﹣4a2+4a
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）；
（2）a3﹣4a2+4a＝a（a2﹣4a+4）＝a（a﹣2）2．
21．（8分）运用乘法公式计算：
（1）98×102
（2）（2x﹣3y）2+（x﹣2y）（x+2y）
【解答】解：（1）98×102＝（100﹣2）（100+2）＝1002﹣22＝9996；
（2）（2x﹣3y）2+（x﹣2y）（x+2y）＝4x2﹣12xy+9y2+x2﹣4y2＝5x2﹣12xy+5y2．
22．（6分）先化简，再求值（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2，其中x=1 2．
【解答】解：（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2，＝x2﹣2x﹣x+2﹣x2﹣2x﹣1
＝﹣5x+1
当x=1
2时，
原式＝﹣5×1
2
+1
=−32．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．（1）如图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）写出点A1，B1，C1的坐标（直接写答案）．A1（﹣1，2）B1（﹣3，1）C1（2，﹣1）；
（3）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）A1（﹣1，2），B1（﹣3，1），C1（2，﹣1）．
（3）△ABC的面积＝3×5−1
2
×3×3−12×2×1−12×5×2=92．
24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．（1）求证：DE＝CE．
（2）若∠CDE＝35°，求∠A的度数．
【解答】（1）证明：∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝∠ECD．
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴DE＝CE．
（2）解：∵∠ECD＝∠EDC＝35°，
∴∠ACB＝2∠ECD＝70°．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
25．（8分）如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC 于点M，PN⊥AC于点N．
（1）求证：△PMN是等边三角形；
（2）若AB＝18cm，求CM的长．
【解答】（1）证明：∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，
∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，
∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，
∴△PMN是等边三角形；
（2）解：∵△PMN是等边三角形，
∴PM＝MN＝NP，
在△PBM、△MCN和△NAP中，{∠B=∠C=∠A
∠BPM=∠CMN=∠ANP=90°PM=MN=NP
，
∴△PBM≌△MCN≌△NAP（AAS），∴P A＝BM＝CN，PB＝CM＝AN，
∴BM+PB＝AB＝18cm，
∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴2PB＝BM，
∴2PB+PB＝18cm，
∴PB＝6cm，
∴CM＝6cm．
26．（8分）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝24cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N 第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M，N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
【解答】解：（1）设运动t秒，M、N两点重合，
根据题意得：2t﹣t＝24
∴t＝24
答：点M，N运动24秒后，M、N两点重合
（2）设点M、N运动x秒后，可得到等边三角形△AMN
∵△AMN是等边三角形
∴AN＝AM，
∴x＝24﹣2x
解得：x＝8
∴点M、N运动8秒后，可得到等边三角形△AMN．
（3）设M、N运动y秒后，得到以MN为底边的等腰三角形AMN．
∵△ABC是等边三角形
∴AB＝AC，∠C＝∠B＝60°
∵△AMN是等腰三角形
∴AM＝AN
∴∠AMN＝∠ANM，且∠B＝∠C，AC＝AB，
∴△ACN≌△ABM（AAS）
∴CN＝BM
∴CM＝BN
∴y﹣24＝72﹣2y
∴y＝32
答：当M、N运动32秒后，得到以MN为底边的等腰三角形AMN．
27．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D 不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝25°，∠DEC＝115°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
【解答】解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，
∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°，115°，小；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝2，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，理由：∵∠BDA＝110°时，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C+∠EDC＝30°+40°＝70°，
∴∠DAC＝∠AED，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC＝100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴△ADE的形状是等腰三角形．。