2019高中物理 第五章 曲线运动 微型专题3 竖直面内的圆周运动学案 新人教版必修2

微型专题3 竖直面内的圆周运动
[学习目标] 1.了解竖直面内圆周运动的两种基本模型.2.掌握轻绳(或轻杆)约束下圆周运动的两个特殊点的相关分析.3.学会分析圆周运动问题的一般方法.
一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型
如图1所示，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，二者运动规律相同，现以甲图为例.
图1
(1)最低点运动学方程：F T1－mg ＝m v 12
L
所以F T1＝mg ＋m v 12
L
(2)最高点运动学方程：F T2＋mg ＝m v 22
L
所以F T2＝m v 22
L
－mg
(3)最高点的最小速度：由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由F T2＋mg ＝mv 22
L
可知，当F T2
＝0时，v 2最小，最小速度为v 2＝gL . 讨论：当v 2＝gL 时，拉力或压力为零. 当v 2>gL 时，小球受向下的拉力或压力. 当v 2<gL 时，小球不能到达最高点.
例1 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图2所示，水的质量
m ＝0.5kg ，水的重心到转轴的距离l ＝50cm.(g 取10m/s 2)
图2
(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)
(2)若在最高点水桶的速率v ＝3m/s ，求水对桶底的压力大小. 答案 (1)2.24m/s (2)4N
解析 (1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小.
此时有：mg ＝m v 02
l
，
则所求的最小速率为：v 0＝gl ≈2.24m/s.
(2)此时桶底对水有一向下的压力，设为F N ，则由牛顿第二定律有：F N ＋mg ＝m v 2
l
，
代入数据可得：F N ＝4N.
由牛顿第三定律，水对桶底的压力大小：F N ′＝4N. 【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“绳”模型 二、竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型
如图3所示，细杆上固定的小球和管形轨道内运动的小球在重力和杆(管道)的弹力作用下做圆周运动.
图3
(1)最高点的最小速度
由于杆和管在最高处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v ＝0，此时小球受到的支持力F N ＝mg .
(2)小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况
①v >gL ，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，mg ＋F ＝m v 2L ，所以F ＝m v 2
L －mg ，F 随v 增大而增大.
②v ＝gL ，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F ＝0，mg ＝m v 2
L
.
③0<v <gL ，杆或管的内侧对球产生向上的弹力，mg －F ＝m v 2L ，所以F ＝mg －m v 2
L
，F 随v 的增大而减小.
例2 长L ＝0.5m 的轻杆，其一端连接着一个零件A ，A 的质量m ＝2kg.现让A 在竖直平面内绕O 点做匀速圆周运动，如图4所示.在A 通过最高点时，求下列两种情况下A 对杆的作用力大小(g ＝10m/s 2
).
图4
(1)A 的速率为1m/s ；
(2)A 的速率为4m/s. 答案 (1)16N (2)44N
解析 以A 为研究对象，设其受到杆的拉力为F ，
则有mg ＋F ＝m v 2
L
.
(1)代入数据v 1＝1m/s ，可得F ＝m (v 12L －g )＝2×(1
2
0.5
－10) N ＝－16N ，即A 受到杆的支持力为16N.根据牛顿第
三定律可得A 对杆的作用力为压力，大小为16N.
(2)代入数据v 2＝4m/s ，可得F ′＝m (v 22L －g )＝2×(4
20.5
－10) N ＝44N ，即A 受到杆的拉力为44N.根据牛顿第三
定律可得A 对杆的作用力为拉力，大小为44N. 【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“杆”模型
例3 (多选)如图5所示，半径为L 的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管转动，设小球经过最高点P 时的速度为v ，则( )
图5
A.v 的最小值为gL
B.v 若增大，球所需的向心力也增大
C.当v 由gL 逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小
D.当v 由gL 逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大 答案 BD
解析 由于小球在圆管中运动，在最高点速度可为零，A 错误；根据向心力公式有F n ＝m v 2
L
，v 若增大，球所需的
向心力一定增大，B 正确；因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当v ＝gL 时，圆管受力为零，故v 由gL 逐渐减小时，轨道对球的弹力增大，C 错误；v 由gL 逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大，D 正确. 【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“杆”模型
1.(轻绳作用下物体的运动)杂技演员表演“水流星”，在长为1.6m 的细绳的一端，系一个与水的总质量为m ＝0.5kg 的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图6所示，若“水流星”通过最高点时的速
率为4 m/s ，则下列说法正确的是(g ＝10 m/s 2
)( )
图6
A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5N 答案 B
解析 “水流星”在最高点的临界速度v ＝gL ＝4m/s ，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，故选B. 【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“绳”模型
2.(轨道约束下小球的运动)(多选)如图7所示，质量为m 的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动.圆环半径为R ，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是( )
图7
A.小球对圆环的压力大小等于mg
B.重力mg 充当小球做圆周运动所需的向心力
C.小球的线速度大小等于gR
D.小球的向心加速度大小等于g 答案 BCD
解析 因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A 错误；
此时小球只受重力作用，即重力mg 充当小球做圆周运动所需的向心力，满足mg ＝m v 2
R
＝ma ，即v ＝gR ，a ＝g ，
选项B 、C 、D 正确.
【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“绳”模型
3.(球在管形轨道中的运动)(多选)如图8所示，小球m 在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是( )
图8
A.小球通过最高点时的最小速度是Rg
B.小球通过最高点时的最小速度为零
C.小球在水平线ab 以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力
D.小球在水平线ab 以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力 答案 BD
解析 小球通过最高点的最小速度为0，圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力，小球在水平线ab 以下时，必须有指向圆心的力提供向心力，即外侧管壁对小球一定有作用力，故B 、D 正确. 【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“杆”模型
4.(轻杆作用下小球的运动)如图9所示，质量为m 的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O 做圆周运动.当小球运动到最高点时，瞬时速度为v ＝
1
2
Lg ，L 是球心到O 点的距离，则球对杆的作用力是( )
图9
A.1
2mg 的拉力 B.1
2mg 的压力 C.零 D.3
2
mg 的压力 答案 B
解析 当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，所以mg ＝m v ′2
L ，解得：v ′＝gL ，而
1
2
gL <gL ，故杆对球是支持力，即mg －F N ＝m v 2L ，解得F N ＝1
2
mg ，由牛顿第三定律，球对杆是压力，故选B.
【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“杆”模型
考点一 轻绳(过山车)模型
1.长为L 的细绳，一端系一质量为m 的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v 0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点.则下列说法中正确的是( ) A.小球过最高点时速度为零 B.小球过最高点时速度大小为gL
C.小球开始运动时绳对小球的拉力为m v 02
L
D.小球过最高点时绳对小球的拉力为mg 答案 B
【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“绳”模型
2.如图1所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R ，人体重为mg ，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( )
图1
A.0B.gR C.2gR D.3gR 答案 C
解析 由题意知F ＋mg ＝2mg ＝m v 2
R
，故速度大小v ＝2gR ，C 正确.
【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“绳”模型
3.某飞行员的质量为m ，驾驶飞机在竖直面内以速度v 做匀速圆周运动，圆的半径为R ，在圆周的最高点和最低点比较，飞行员对座椅的压力在最低点比最高点大(设飞行员始终垂直于座椅的表面)( ) A.mg
B.2mg
C.mg ＋mv 2
R
D.2mv 2R
答案 B
解析 在最高点有：F 1＋mg ＝m v 2R ，解得：F 1＝m v 2R －mg ；在最低点有：F 2－mg ＝m v 2R ，解得：F 2＝mg ＋m v 2
R
.所以F 2
－F 1＝2mg ，B 正确.
【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“绳”模型
4.在游乐园乘坐如图2所示的过山车时，质量为m 的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动，下列说法正确的是( )
图2
A.车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，若没有保险带，人一定会掉下去
B.人在最高点时对座位仍可能产生压力，但压力一定小于mg
C.人在最高点和最低点时的向心加速度大小相等
D.人在最低点时对座位的压力大于mg 答案 D
解析 过山车上人经最高点及最低点时，受力如图，
在最高点，由mg ＋F N ＝m v 12R ，可得：F N ＝m (v 12
R －g )①
在最低点，由F N ′－mg ＝m v 22R ，可得：F N ′＝m (v 22
R
＋g )②
由支持力(等于压力)表达式分析知：当v 1较大时，在最高点无保险带也不会掉下，且还可能会对座位有压力，大小因v 1而定，所以A 、B 错误.最高点、最低点两处向心力大小不等，向心加速度大小也不等(变速率)，所以C 错误.由②式知最低点F N ′>mg ，根据牛顿第三定律得D 正确. 【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“绳”模型 考点二 杆(管道)模型
5.长度为1m 的轻杆OA 的A 端有一质量为2kg 的小球，以O 点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图3所示，小球通过最高点时的速度为3 m/s ，g 取10 m/s 2
，则此时小球将( )
图3
A.受到18N 的拉力
B.受到38N 的支持力
C.受到2N 的拉力
D.受到2N 的支持力 答案 D
解析 设此时轻杆拉力大小为F ，根据向心力公式有F ＋mg ＝m v 2
r
，代入数值可得F ＝－2N ，表示小球受到2N 的支持力，选项D 正确.
【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“杆”模型
6.(多选)如图4所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R .现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，当小球通过最高点时速率为v 0，则下列说法中正确的是( )
图4
A.若v 0＝gR ，则小球对管内壁无压力
B.若v 0>gR ，则小球对管内上壁有压力
C.若0<v 0<gR ，则小球对管内下壁有压力
D.不论v 0多大，小球对管内下壁都有压力 答案 ABC
解析 在最高点，只有重力提供向心力时，由mg ＝m v 02
R ，解得v 0＝gR ，因此小球对管内壁无压力，选项A 正确.
若v 0＞gR ，则有mg ＋F N ＝m v 02R ，表明小球对管内上壁有压力，选项B 正确.若0＜v 0＜gR ，则有mg －F N ＝m v 02
R
，
表明小球对管内下壁有压力，选项C 正确.综上分析，选项D 错误. 【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“杆”模型
7.如图5所示，质量为m 的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径.某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R 的匀速圆周运动，已知重力加速度为g ，空气阻力不计，则( )
图5
A.若盒子在最高点时，盒子与小球之间恰好无作用力，则该盒子做匀速圆周运动的周期为2πR
g
B.若盒子以周期πR
g
做匀速圆周运动，则当盒子运动到图示球心与O 点位于同一水平面位置时，小球对盒子左侧面的力为4mg C.若盒子以角速度2
g
R
做匀速圆周运动，则当盒子运动到最高点时，小球对盒子下面的力为3mg D.盒子从最低点向最高点做匀速圆周运动的过程中，球处于超重状态；当盒子从最高点向最低点做匀速圆周运
动的过程中，球处于失重状态 答案 A 解析 由mg ＝m
4π
2
T
2
R 可得，盒子运动周期T ＝2π
R g ，A 正确.由F N1＝m 4π
2
T 12R ，T 1＝πR
g
，得F N1＝4mg ，由牛顿第三定律可知，小球对盒子右侧面的力为4mg ，B 错误.由F N2＋mg ＝m ω2
R 得，小球以ω＝2
g
R
做匀速圆周运动时，在最高点小球对盒子上面的力为3mg ，C 错误.盒子由最低点向最高点运动的过程中，小球的加速度先斜向上，后斜向下，故小球先超重后失重，D 错误. 【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“杆”模型
8.(多选)如图6甲所示，轻杆一端固定在O 点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动.小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F ，小球在最高点的速度大小为v ，其F －v 2
图象如图乙所示.则( )
图6
A.小球的质量为aR
b
B.当地的重力加速度大小为R b
C.v 2
＝c 时，小球对杆的弹力方向向上 D.v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 答案 ACD
解析 当小球受到的弹力F 方向向下时，F ＋mg ＝mv 2R ，解得F ＝m R v 2－mg ，当弹力F 方向向上时，mg －F ＝m v 2
R ，解
得F ＝mg －m v 2R ，对比F －v 2图象可知，b ＝gR ，a ＝mg ，联立解得g ＝b R ，m ＝aR b
，A 正确，B 错误.v 2
＝c 时，小球
受到的弹力方向向下，则小球对杆的弹力方向向上，C 正确.v 2
＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等，D 正确.
【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“杆”模型。