人教版八年级上册数学讲义

2、性质：（1）对应边相等（2）对应角相等（3）周长相等（4）面积相等
二 、全等三角形的判定
1 全等三角形的判定方法：（SAS）,(SSS), (ASA), (AAS),(HL)
边边边（SSS） 边角边（SAS）
角边角(ASA)
角角边 AAS
直角边和斜边 （HL）
三边对应相等的 两三角形全等
有两边和它们的夹 角对应相等的两个 三角形全等
解:设 1 x0 Q 1 2,2 x0 3 1 2 2x0 又Q 3 4 4 2x0 又Q 2 4 BAC 1800 x 2x 630 1800 x 390 DAC 630 390 240 3. 已知：P 是△ABC 内任意一点. 求证：∠BPC＞∠A
4.如图，∠1=∠2， ∠3=∠4，∠A= 100°，求 x 的值
3
5.已知△ABC 的∠B、∠C 的平分线交于点 O。求证：∠BOC=90°+ ∠A (角平分线模型) 6.已知：BP、CP 是△ABC 的外角的平分线，交于点 P。 求证：∠P=90°- ∠A (角平分线模型)
7.△ABC 中，∠ABC 的平分线 BD 和△ABC 的外角平分线 CD 交于 D，求证：∠A=2∠D (角平分 线模型)
八年级数学讲义
第 11 章 三角形
一、 三角形的概念
1． 三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．
2．三角形的表示 △ABC 中，边：AB，BC，AC 或 c，a，b． 顶点：A，B，C ． 内角：∠A ，∠B ，∠C．．
证明：∵MQ 和 NR 是△MPN 的高， ∴∠MQN＝∠MRN＝90°， 又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4 ∴∠1＝∠2
1 2 在△MPQ 和△NHQ 中， MQ NQ
MQP NQH
∴△MPQ≌△NHQ（ASA） ∴PM＝HN
【例 3】已知：如图 AC⊥CD 于 C , BD⊥CD 于 D , M 是 AB 的中点 , 连结 CM 并延长交 BD 于点 F。求证：
二、三角形角有关计算 1.如图△ABC 中 AD 是高,AE、BF 是角平分线，它们相交于点 O,∠A= 50°,∠C = 70°求 ∠DAC,∠AOB 解∵AD 是△ABC 的高,∠C = 70° ∴ ∠DAC =180°-90°-70°=20° ∵ ∠BAC =50° ∴ ∠ABC =180°-50°-70°=60° ∵ AE 和 BF 是角平分线 ∴ ∠BAO =25°, ∠ABO =30° ∴ ∠AOB =180°-25°-30°=125° 2.如图, △ABC 中, D 是 BC 边上一点，∠1= ∠2, ∠3=∠4，∠BAC= 63°,求∠DAC 的度数
有两角和它们的 夹边对应相等的 两个三角形全等.
两角和及其中一 个角所对的边对 应相等的两个三 角形全等.
有一条斜边和一条 直角边对应相等的 两个直角三角形全 等(HL）
2．全等三角形证题的思路：

找夹角（SAS）
①
已知两边找直角（HL）

找第三边（SSS）

若边为角的对边，则找任意角（AAS）
AC=BF．
11
全等三角形（HL）
【知识要点】
【典型例题】
直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL”
1、如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F 是垂足， DE BF ．求证： AB∥CD ．
D
C
F
E
A
B
例 2、已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，求证：① △BEC≌△DAE；②DF⊥BC． B
6
全等三角形（SAS）
【知识要点】 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”，几何表示
如图，在 ABC 和 DEF 中，
A
D
AB DE
B E ABC ≌ DEF (SAS)
BC EF
B
CE
F
【典型例题】
【例 1】 已知：如图，AB=AC，AD=AE，求
AD
BC=EF
【例 2】如图，AB=AC， B C ，求证：AD=AE
B ECF A
D
E
B
C
【例 3】已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为 D、E，BD、CE 相交于点 F，求证：BE=CD．
C D
F
BE
A
【例 4】已知如图， 1 2, 3 4 ，点 P 在 AB 上，可以得出 PC=PD 吗？试证明之．
三条角平分线交于三角形内部一点.
A
Hale Waihona Puke 2.3 三角形的中线连结三角形一个顶点与它对边中点 的线段叫做三角形的中线。 B
A
D
C
B
D
C
三角形的三条中线交于三角形内部一点.
三、 三角形的角
1 三角形内角和定理
结论 1：△ABC 中：∠A+∠B+∠C=180°
※三角形中至少有 2 个锐角
结论 2：在直角三角形中，两个锐角互余．
※三角形中至多有 1 个钝角
注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角
如：在△ABC 中，∠C=180°－（∠A+∠B）
②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．
如：△ABC 中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C 的度数
2 三角形外角和定理
2.1 外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的
证：BE=CD.
证明：在△ABE 和△ACD 中，
A
AB=AC，
∠BAE=∠CAD AD=AE
D
E
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴BE=CD.
B C
【例 4】如图，点 A、F、C、D 在同一直线上， 点 B 和点 E 分别在直线 AD 的两侧，AB∥DE 且 AB＝DE，AF＝DC。求证：BC∥EF。
B
E
B
C
E
D
O
A
F
C
7
全等三角形（SSS）
【知识要点】
三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”， 几何表示
【典型例题】
【例 1】如图，在 ABC 中，M 在 BC 上，D
在 AM 上，AB=AC , DB=DC 求证：AM 是
ABC 的角平分线
证明:在△ABD 和△ACD 中， AB=AC DB=DC AD=AD
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.
①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点； ②直角三角形三条高线交于直角顶点； ③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点
2.2 三角形的角平分线 三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
【考点三】判断三角形的形状 8、若△ABC 的三边 a、b、c 满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，试判断△ABC 的形状。 9、已知 a，b，c 是△ABC 的三边，且满足 a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断△ABC 的形状。
2
10、若△ABC 的三边为 a、b、c（a 与 b 不相等），且满足 a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0，试判断△ABC 的 形状。
角．
2.2 性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补
2.3 外角个数：
过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有 6 个外角
四、 三角形的分类
(1) 按角分：①锐角三角形 ②直角三角形 ③钝角三角形 (2) 按边分：①不等边三角形 ②底与腰不等的等腰三角形 ③等边三角形
二、 三角形的边 1. 三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法） (1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a (2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-c<a 1.1 判断三条已知线段 a、b、c 能否组成三角形.
当 a 最长，且有 b+c>a 时,就可构成三角形. 1.2 确定三角形第三边的取值范围: 两边之差<第三边<两边之和. 2. 三角形的主要线段 2.1 三角形的高线
4、n 边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n 是正整数)。任意凸形多边形的外角和等于 360°
※多边形外角和恒等于 360°，与边数的多少无关. ※多边形最多有 3 个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）； ※多边形的外角中最多有 3 个钝角，最少没有钝角. 5、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于 360°；相邻的多边形有公共边。
例 4. 如图，在 ABC 中, C 90o ，D、E 分
别为 AC、AB 上的点，且 AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证：DE⊥AB。
8
9
全等三角形（AAS）
【知识要点】 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“AAS”，
【典型例题】
【例 1】已知如图， A D, AB DE, AB // DE ，求证：
∴△ABD≌△ACD (SSS)
∴∠BAD=∠CAD
又∵AB=AC
∴MB=MC
∴AM 是 ABC 的角平分线(三线合一)
【例 2】如图：在△ABC 中，BA=BC，D 是 AC 的中点。求证：BD⊥AC。
A
D B
C
例 3. 如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：
∠B=∠C。
A
B
F
E
C
D 图 图 22图
倍长中线法的过程：延长××到某点，使什么等于什么（延长的那一条），用 SAS 证全等（对顶角） 方法总结：遇中线，要倍长，倍长之后__构造全等三角形_，转移边、转移角，然后和已知条件重新组合解决问 题
【例题精讲】 例 1、如图 1，在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线．求证：AB+AC＞2AD．
五 多边形及其内角
1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
2、正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。 3、多边形的对角线
(1)从 n 边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。
(2)n 边形共有
条对角线。
①
已知一边一角边为角的邻边找 找已 已知 知边 角的 的对 另角 一（ 边（ AASSA）S）


找夹已知边的另一角（ASA）


①
找两角的夹边（ASA） 已知两角
找任意一边（AAS）
3 全等三角形的隐含条件：①公共边（或公共角）相等 ②对顶角相等 ③利用等边（等角）加（或减）等边（等角），其和（或差）仍相等 ④利用平行线的性质得出同位角、内错角相等
【例 2】 如图，已知：点 D、E 在 BC 上，且
BD=CE，AD=AE，∠1=∠2
，由此你能得出哪些结论？
A
给出证明.
B
12 DE
C 【例 5】如图，已知△ABC、△BDE 均为等边三
角形。求证：BD＋CD=AD。 A
【例 3】 如图已知：AE=AF，AB=AC，∠A=60°， ∠B=24°，求∠BOE 的度数.
FA
CE
D
例 3、如图：在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，过点 C 在△ABC 外作直线 MN，AM⊥MN 于 M，BN⊥MN 于 N。（1）求证：MN=AM+BN。
M C N
A
B
12
全等三角形常见辅助线的作法
一 倍长中线法
倍长中线法:就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问 题的方法．
4
8.△AOB 中，∠AOB=90°,∠OAB 的平分线和△ABC 的外角∠OBD 平分线交于 P，求∠P 的度数 9.如图：求证：∠A+∠B+∠C=∠ADC (飞镖模型)
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第 12 章 全等三角形
一、全等三角形的概念与性质
1、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 。
（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，记作 ABC ≌ DEF
B
12
D
C
P
34
A
10
全等三角形（ASA）
【知识要点】 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“AAS”，
【典型例题】 【例 1】如图，已知 ABC 中， AB AC ， BE 、 CD 分别是 ABC 及 ACB 平分线．求证： CD BE ．
A
D
E
B
C
【例 2】如图，在△MPN 中，H 是高 MQ 和 NR 的交点，且 MQ＝NQ．求证：HN＝PM.
分析：①因为 AD 为中线，延长 AD 至点 E，使 DE=AD，连接 CE； ②进而利用全等三角形的判定（SAS）△ABD≌△ECD；③由全等可得_AB=EC__；