最新-2018年高考数学解答题考前集训 数列2 精品

2018届高考数学解答题题考前集训：数列2
1. 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝1(3)
n n a +（n ∈N *），S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在最大的整数t ，使得任意的n 均有S n ＞
36
t 总成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．
2. （2018年廊坊一模）设向量a =（2,x ），b =（12,-+x n x ）（n N +∈），函数=y a ·b 在[0，1]上的最小值与最大值的和为n a ，又数列{n b }满足：
110
9)109()109(
2)1(21121++++=+++-+--- n n n n b b b n nb . (1)求证：1+=n a n ；
(2)求n b 的表达式； (3)n n n b a c ⋅-=，试问数列{n c }中，是否存在正整数k ，使得对于任意的正整数n ，都有n c ≤k c 成立？证明你的结论.
3. 已知数列}{n a ，其中),2(3,1111N n n a a a n n n ∈≥⋅==--, 数列}{n b 的前n 项的和)()9
(log 3*∈=N n a S n n n . (1)求数列}{n a 的通项公式;
(2) 求数列}{n b 的通项公式;
(3)求数列|}{|n b 的前n 项和n T .
参考答案
1. (1)由题意得（a 1＋d ）（a 1＋13d ）=（a 1＋4d ）2， ……………………… 2 分 整理得2a 1d ＝d 2．
∵a 1＝1，解得（d ＝0舍），d ＝2． ………………………………………… 4 分 ∴a n ＝2n －1（n ∈N *）． …………………………………………………… 6 分
(2)b n ＝1(3)
n n a +＝)1(21+n n ＝21（n 1－11+n ）， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝
21［（1－21）＋（21－31）＋…＋（n 1－11+n ）］ ＝21（1－1
1+n ）＝)1(2+n n ． …………………………………… 10 分 假设存在整数t 满足S n ＞36
t 总成立. 又S n +1－S n ＝)2(21++n n －)1(2+n n ＝)
1)(2(21++n n ＞0， ∴数列{S n }是单调递增的． ……………………………………………… 12 分 ∴S 1＝41为S n 的最小值，故36t ＜4
1，即t ＜9． 又∵t ∈N *，
∴适合条件的t 的最大值为8． ………………………………………… 14 分
2. （1）证明：=y a ·b =2)4(2-++x n x ，因为对称轴24+-
=n x ,所以在[0，1]上为增函数，∴1)3()2(+=++-=n n a n
（2）解：由1109)109()109(
2)1(21121++++=+++-+--- n n n n b b b n nb 得110
9)109()10
9()2()1(32121++++=++-+---- n n n b b n b n 两式相减得n n n n S b b b b ==++++--1121)10
9( ， 当1=n 时，111==S b
当n ≥2时，21)109(109---=-=n n n n S S b 即⎪⎩⎪⎨⎧≥=-=-21)10
9(10112n n b n n （3）解：由（1）与（2）得=⋅-=n n n b a c ⎪⎩⎪⎨⎧≥=+--21)10
9(10122n n n n 设存在正整数k ，使得对于任意的正整数n ，都有n c ≤k c 成立，
当2,1=n 时，1212010
23c c c c >⇒>=
- 当n ≥2时，1008)109(21n c c n n n -⋅=--+， 所以当8<n 时，n n c c >+1，
当8=n 时，n n c c =+1，
当8>n 时，n n c c <+1
所以存在正整数9=k ，使得对于任意的正整数n ，都有n c ≤k c 成立.
3. （1）)1(log log 133-+=-n a a n n , 累加得2)
1()1(321log log 133-=-++++=-n n n a a n ,
∴ 2)1(log 3-=n n a n , 则2)1(3-=n n n a .(或者用累乘得 a n =
11
21n 1n 1n n a a a a a a a ---=2n n 23-.) .....4分; （2）∵ 2)1(3-=n n n a , ∴ )(25)9(log 23N n n n a S n n
n ∈-==; 而211-==S b , 当2≥n 时, 31-=-=-n S S b n n n , 1=n 时也适合, 所以数列}{n b 的通项公式为 )(3N n n b n ∈-=. ......9分;
(3) 当03≤-=n b n , 即3≤n 时, 2
52
n n S T n n -=-=, 当03>-=n b n ，即n >3时，
2
1252)()(||||||233212121+-=-=++-+++=+++=n n S S b b b b b b b b b T n n n n ,
综上所述 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧∈>+-∈≤-=).N n ,3n (212n 5n ),N n ,3n (2n n 5T 22
n 且且 . .。