家庭部门决策行为模型

ht 1 B vt N g 1 et e , t
1

ht 1 h ht
(4-5)
为公共教育投入和私人教育投入， h 为人力资本的折旧率， 0,1 和 ,1
ct1 t
W t 1 t ht t Bvt 1 N g 1 et e , t Pt
w t 1
(4-12)

ht
(4-13)
Pt E t t Bvt N ge,t 1 et Pt et
N 的影响（Borcherding and Deacon，1972[4]；Bergstrom and Goodman，1973[3]）。
有效人均公共教育支出 ge,t 可以表示为：
ge,t N 1 Ge,t N ge,t
其中，有效人均公共教育支出的人口规模弹性 ge,t N N ge,t 定义为公 共教育支出的拥挤系数。当 1 时，公共教育支出具有纯公共物品的特性，其人 均公共教育支出不随人口规模变动而变化。当 0,1 时，公共教育支出表现为准 公共物品，并具有拥挤效应，即增大人口规模会减少人均公共教育支出。当 0 时，公共教育支出具有私人物品的特性，人均公共教育支出等于供给总量与人口规 模的比值。 （2）政府的行为 政府通过对居户的资本收入和劳动收入进行征税，并将税收收入用于资助教育 投入和向家庭部门的转移支付，因此，政府应满足如下收支平衡方程：
t 1 E t 1 w r P g e ,t t t t t t Wt nt ht t rt Pt kt t 0 i 1 t 0 i 1
(4-8)
其中， t [1 (1 tr ) (rt k )] 为税后的资产总回报率。 （3）企业的行为 代表性企业通过租用实物资本和雇用人力资本以生产单一产品，产品生产技术 满足 Cobb-Douglas（C-D）生产技术3：
冯晓等（2012） 出关系。
4
[38]
、Zhu and Feng（2014）[30]等已证明，C-D 形式生产函数可以恰当地描述中国经济投入产
本章主要研究家庭部门的行为决策，而将企业目标函数的分析放到第 5 章“企业部门的行为决策 分析”，因此，这里假定代表性企业的目标是利润最大化。
其中， t 和 t 是与预算约束式(4-3)和人力资本积累方程式(4-5)相对应的拉格 朗日乘子（Lagrangian multiplier），分别表示实物资本的边际效用和人力资本的影 子价格。关于居户其他消费 ct 、工作时间投入 nt 、教育支出 et 、实物资产 kt 1 和人 力资本 ht 1 的一阶必要条件分别列于式(4-12)-(4-16):
E w a P t ct P t et St 1 t Wt nt ht 1 t r t P t at t
(4-2)
其中， Pt 为 t 周期其他消费品 ct 的价格， Pt E 为 t 周期教育产品和服务 et 的价格，
rt rt k A kt nt ht
1
=A z 1

wt Wt Pt A 1 kt nt ht A 1 z
其中， zt kt nt ht 为实物资本与有效劳动力的比率。
(4-10)
4.1 数理模型构建与分析
4.1.1 模型框架
本节的理论模型考虑的是一个含有大量同质的、无限期存活的居户，代表性企 业和政府的离散时间动态封闭经济系统。假定人口增长率为 0，并且人口规模始终 保持为 N 。企业使用实物资本和人力资本作为投入要素，并生产单一产品。生产 要素是企业在竞争性市场上向家庭部门租 /雇用而来。政府对资产收入和劳动收入 进行征税，并将税收收入用于资助教育和一次性转移支付。家庭在进行最优决策时 将政府的政策视为给定的。 （1）居户的行为

ht 1 1
(4-16)
家庭最优化问题的横截性条件（transversality conditions ，TVC）为:
lim t t kt 1 0
t t
lim t t ht 1 0
(4-17)
式(4-12) 给出了家庭其他消费的最优条件，描述了 t 周期其他消费的边际效用 等于影子价格 t 。式 (4-13) 描述了家庭关于工作 - 教育时间分配的最优条件。式 (4-14)描述了家庭在教育支出和其他消费之间的权衡问题。式(4-15)给出了家庭实物 资本投资 kt 1 的欧拉方程，描述了家庭在 t 周期放弃的其他消费的边际成本等于在 t 周期投资于 1 单位实物资本后于 t 1 周期所获得的净（税后）回报贴现值的边际收 益。式(4-16) 给出了家庭人力资本的欧拉方程，该式子表明家庭在 t 周期放弃的劳 动收入的边际成本等于在 t 1 周期工作净回报贴现值的边际收益加上在 t 周期投资 于 1 单位人力资本后在 t 1 周期所获得的净回报现值的边际收益。 化简上述一阶条件，结合式(4-12)和式(4-15)可以得到消费欧拉方程：
t 0
(4-1)
其中， 为居户的时间偏好率。居户的效用函数是关于人均实际教育支出 et 和 其他人均实际消费 ct 的函数。 表示家庭教育支出与其他消费支出之间的效用评价 程度系数。 本文使用 at 来表示 t 周期期初居户的实际人均净资产存量1。居户以资本所有权 或者贷款的形式拥有资产，如果 at 0 ，则居户为净贷款者。由于假定了封闭的经 济系统，无法通过国际贸易来获得资产。资本和贷款假定为具有完全替代关系的两 种资产，因此，个体需要对其支付相同的实际收益率 rt 2。 所有的居户都面临给定的利率 rt 和给定的工资率 wt 。每个居户在每一周期都提 供 nt ht 单位的有效劳动力，并获取劳动收入。 t 周期政府征收的居户工资收入税率 为 tw ，资产收入的税率为 ta 。因此，每个居户的可支配收入等于税后劳动收入和 税后资产收入之和。在初始周期（第 0 周期），每个居户具有 h0 单位的人力资本 和 a0 单位的资产。每个居户在将可支配收入用于购买消费品、提供教育支出后和 储蓄。每一周期，居户面临如下的预算约束：


t N
(4-4)
其中， rt 为每单位实物资本的租赁价格，实物资本存量以固定比率 k 折旧。 居户持有的单位实物资本的净收益率为 rt k 。如式(4-3)所述，居户也可以向其他 居户贷出资金以获取利率 rt 。在不存在非确定因素的情况下，持有实物资本和进行 资金放贷具有相同的收益率，即 rt rt k 。 人力资本的生产技术满足：
4.1.2 家庭的最优化行为
在 给 定 居 户 初 始 实 物 资 本 存 量 Байду номын сангаас0 和 人 力 资 本 禀 赋 h0 ， 要 素 和 产 品 价 格
w r {Pt , Pt E ,Wt , rt }t 0 ，以及公共政策 {ge,t , t , t , t }t 0 ，每个居户在满足约束条件式 (4-3)
分别为人均公共教育支出和人均家庭教育支出两者均为实际量表示教育产品和服务的数量两种教育支出以cd生产技术组合为家庭投入到人力资本积累的时间为家庭进行人力资本积累时所投入人力资本数量其产出弹性为
第1章 … … 第2章 … … 第3章 … … 第 4 章 家庭部门消费、储蓄和教育支出决策研究
中国教育事业的迅速发展得益于教育投入的快速增长。关于中国财政教育支出 的大量研究发现，家庭教育支出弥补了中国政府在公共教育供给上的短缺。家庭部 门教育支出不仅对人力资本的积累起到至关重要的作用，同时还影响着家庭部门的 其他消费和储蓄决策。因此，要解释中国的教育发展和经济增长就必须从家庭部门 这一微观视角出发，了解影响家庭教育支出的决定因素。本章构建了包括家庭、企 业和政府三个部门的内生经济增长模型，在给定政府政策行为的条件下，家庭根据 效用最大化原则选择最优的消费、储蓄和教育支出。此外，从局部均衡的角度分析 了家庭教育支出的影响机制。最后，为验证数理模型的有效性，本章利用宏观数据 对数理模型进行了实证分析。
和(4-5)的条件下，选择 {ct , et , nt , vt , at 1 , ht 1}t 0 以最大化其效用函数式(4-1)。 构造如下的拉格朗日方程（Lagrangian equation）：
t w Wt = nt ht 1 1 tr rt k kt t 0 (ln ct ln et ) t 1 t Pt PN t 0 t
r t t 1 1 1 t 1 rt 1 k
1

1
ht 1 1 et 1 (4-14)
(4-15)
1
t t 1 Bvt N g 1 et 1 e , t 1 Wt 1 1 h t 1 1 tw nt 1 1 Pt 1
假定居户以实物资本 kt 1 的形式持有资产，则式(4-3)可以改写为：


t N
(4-3)
1 2
居户资产按实际值计量，即使用消费品单位进行计量。 允许居户之间存在借贷，但均衡状态下，居户最终的净贷款必须为零。
Pt ct Pt E et Pt kt 1 1 tw Wt nt ht 1 1 tr rt k Pt kt
其中， B 0 为效率参数， v t 为用于人力资本积累的时间投入， ge,t 和 et 分别
分别为公共教育投入和私人教育投入之间的分配系数和替代系数。两种教育投入以 CES 生产技术结合，其产出弹性为 1 。 和 分别为时间投入和当期人力资本 的产出弹性。 公共教育支出虽然是政府提供的一种公共服务，但并非是纯公共物品，因此每 个个体实际享有的公共教育支出水平同时受到公共教育支出总规模 Ge,t 和人口规模
yt A kt nt ht
1
， A 0, 0,1
(4-9)
其中， kt 为 t 周期的人均实物资本存量， nt ht 为 t 周期每个居户用于生产活动的 有效劳动力。 和 1 分别为实物资本和有效劳动力的产出弹性。这里假定代表 性企业的目标是利润最大化4，由利润最大化可以得到要素的需求函数：
tw Wt nt ht tr rt Pt kt Pt E ge,t t
假定政府的公共教育支出占总产出的比重为 e,t ，则有：
(4-6)
ge,t e,t yt
(4-7)
根据非庞齐博弈条件（No-Ponzi game condition），政府收支平衡方程式(4-6) 可以表示为如下跨期预算约束：
每个居户将每期拥有的 1 单位时间禀赋在工作 nt 和学习 vt 之间进行分配（假设 不存在休闲， nt vt 1 ），无限寿命居户的目标是最大化其消费效用贴现值。居户 的效用函数满足对数效用函数：

U ct , et t ln ct ln et , 0, 0,1
t 为政府支付给居户的一次性转移支付，等号右侧为家庭可支配收入 Yt D 。
居户将储蓄用于资产购置，以期积累更多的资产：
St 1 P t at P t at 1 at
因此，式(4-2)可以整理为：
Pt ct Pt E et Pt at 1 1 tw Wt nt ht 1 1 ta rt Pt at


P ct t et kt 1 t Bvt N g 1 et e , t Pt
E
3
1

ht 1 h ht ht 1
(4-11)