北京市北师大二附中高三数学上学期期中试题 理 新人教

北京师大二附中2014——2015学年度第一学期期中
高三数学理科试题
一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. sin 585o 的值为 ( )
A ．2-
B ．2
C ．2-
D ．2
2. 与函数y ＝x 有相同图象的一个函数是 ( )
A.y =log a x
y a
=(a ＞0且1a ≠)
C. 2x y x
= D. log x
a y a = (a ＞0且1a ≠)
3. 在数列{}n a 中，若12a =，且对任意的正整数n 都有2
2n n a a =，则8a 的值为 （ ）
A ．256
B ．128
C ．64
D ．32
4. 预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是()01(1)n
n P P k k =+>-，其中n P 为预测人口数，0P 为初期人口数，k 为预测年内增长率，n 为预测期间隔年数．如果在
某
一
时
期
有
10
k -<<，那么这期间人口数
( )
A. 呈上升趋势
B. 呈下降趋势
C. 摆动变化
D. 不变
5. 已知抛物线2
:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且
AK =，则AFK ∆的面积为 ( )
A. 4
B. 8
C. 16
D.32
6. 若函数()y f x =的导函数．．．
在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是
( )
7.已知点),(y x P 的坐标满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≥≥0321y x x y x ，那么点P 到直线0943=--y x 的距离的最小值为 ( ) A.514 B.5
6
C.2
D.1
8. 如果对于函数()y f x =的定义域内的任意x ，都有()N f x M ≤≤
（,M N 为常数）成立，那么称)(x f 为可界定函数，M 为上界值，N 为下界值．设上界值中的最小值为m ，下界值中的最大值为n ．给出函数2()2f x x x =+，1
(,2)2
x ∈，那么n m +的值 （ ） A ．大于9 B ．等于9 C ．小于9
D ．不存在
二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9. 设集合{}1|3,|
04x A x x B x x -⎧
⎫
=>=<⎨⎬-⎩⎭
，则A B I = . 10. 命题“∃x R ∈，使得2
250x x ++=”的否定是 . 11. 若双曲线2
2
1x ky -=的一个焦点是(3,0)，则实数k = .
12.设41:<≤x α，m x ≤:β，若α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是 .
13. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
．若b =4
B π
∠=
，sin C =
c = ；a = . 14．已知两个正数,a b ,可按规则c ab a b =++扩充为一个新数c ,
,,a b c 三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下
去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.
（1）若1,3a b ==,按上述规则操作三次,扩充所得的数是__________；
（2）若0p q >>，经过6次操作后扩充所得的数为(1)(1)1m n
q p ++- （,m n 为正整数），则,m n 的值分别为 .
三．解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（本小题满分13分）已知函数x x x f 2sin 2
1
cos 3)(2+
=． （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
46ππ，上的最大值和最小值． 16．（本小题满分13分） 已知以点P 为圆心的圆经过点()1,0A -和()3,4B ，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且||410CD =. （Ⅰ）求直线CD 的方程及圆P 的方程；
（Ⅱ）设点Q 在圆P 上，试问使△QAB 的面积等于8的点Q 共有几个？证明你的结论.
17．（本小题满分13分） 已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项1a 为)(R a a ∈，且
11a ，2
1
a ，4
1
a 成等比数列． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）对*
N n ∈，试比较2322221111
...n
a a a a ++++与
1
1
a 的大小．
18．（本小题满分13分）已知函数x a x a x x f ln )2()(2
++-= (a 为实常数).
（Ⅰ）若2-=a ，求曲线 ()y f x =在1x =处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数)(x f 在[]1,e 上的单调性；
（III ）若存在[]1,x e ∈，使得()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围.
19．（本小题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于P ，
Q 两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求△POQ 的面积；
（III ）在线段OF 上是否存在点M(m ,0)，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分14分）已知有穷数列A ：12,,,n a a a L ，(2n ≥).若数列A 中各项都是集合
{|11}x x -<<的元素，则称该数列为Γ数列.对于Γ数列A ，定义如下操作过程T ：从A 中任
取两项,i j a a ，将1i j i j
a a a a ++的值作为A 的最后一项，然后删除,i j a a ,这样得到一个1n -项的
新数列1A
(约定:一个数也视作数列). 若1A 还是Γ数列，可继续实施操作过程T ，得到的新数列记作
2A ，L L ,如此经过k 次操作后得到的新数列记作k A .
（Ⅰ）设11
:0,,.23
A 请写出1A 的所有可能的结果；
（Ⅱ）求证：对于一个n 项的Γ数列A ,操作T 总可以进行1n -次；
（Ⅲ）设5111511111:,.7654623456
A ----，，，，，，，，求9A 的可能结果，并说明理由.
以下为草稿纸
北京师大二附中2014——2015学年度第一学期期中
高三数学理科答题纸
班级姓名学号成绩
一．选择题
二．填空题
9. 10.
11. 12.
13. ， 14. ，
三．解答题
北京师大二附中2014——2015学年度第一学期期中
高三数学理科标准答案
一．选择题（每题5分共40分）
二．填空题（每题5
分共30分）
9. {}34x x << 10. 2
,250x R x
x ∀∈++≠使
11. 1
8
12. 4m ≥
13. ；6 14. 255； 8,13
三．解答题 15. （本题13分）
解：（Ⅰ）x x x f 2sin 2
1
22cos 13
)(++= 2
32sin 212cos 23++=
x x 2
3
)3
2sin(+
+
=π
x π=T ……………7分
（Ⅱ）因为4
6
π
π
≤
≤-
x ，所以ππ
6
5
320≤+
≤x 当2
3
2π
π
=
+
x 时，即12
π
=
x 时，)(x f 的最大值为2
31+
当03
2=+π
x 时，即6
π
-
=x 时，)(x f 的最小值为
2
3
. ………13分
16. （本题13分）
解：⑴直线AB 的斜率1k = ，AB 中点坐标为()1,2 ，
∴直线CD 方程为()21y x -=--即x+y-3=0 （3分） 设圆心(),a b P ，则由P 在CD 上得：
30a b +-= ①
又直径||CD =
,||PA ∴=22(1)40a b ∴++=② （6分）
由①②解得
{
36a b =-=或
{
5
2a b ==-
∴圆心()3,6P - 或()5,2P -
∴圆P 的方程为()()2
2
3640x y ++-=
()()
22
5240x y -++= ……………8分
（2）
AB =
=，∴ 当△QAB 面积为8时 ，点Q 到直线AB
的距离为。

又圆心P 到直线AB
的距离为P
的半径r =且
>
∴每个圆上都有两个点Q 使 △QAB 的面积为8
所以，共有4个点满足条件 ………13分 17. （本题13分）
解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知2214
111(
)a a a =⋅ 即2
111()(3)a d a a d +=+，从而21a d d =
因为10,.d d a a ≠==所以
故通项公式.n a na = ……………5分
（Ⅱ）记22222111
,2n n
n n T a a a a a =
+++=L 因为
所以211
(1())
111111122()[1()]12222
12
n n n n T a a a -=+++=⋅=--L
从而，当0a >时，11n T a <
；当1
1
0,.n a T a <>时 ………13分
18. （本题13分）
解:(1)2-=a 时，x x x f ln 2)(2-=，0)1('
=f ，
所求切线方程为y=1. …………3分
⑵ ()()()x
x a x x a x a x x a a x x f 1222)2(2)(2'
--=++-=++-= []e x ,1∈ 当
12
≤a
即2≤a 时， []e x ,1∈，0)('≥x f ，此时，)(x f 在[]e ,1上单调增；
当e a
<<
2
1即e a 22<<时， ⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,1a x 时，0)('<x f ，)(x f ⎪⎭
⎫
⎝⎛2,1a 上单调减； ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈e a x ,2时，0)('>x f ，)(x f 在⎪⎭
⎫
⎝⎛e a ,2上单调增；
当
e a
≥2
即e a 2≥时， []e x ,1∈，0)('≤x f ，此时，)(x f 在[]e ,1上单调减； …………8分
⑶ 方法一：当2≤a 时，Θ )(x f 在[]e ,1上单调增，∴)(x f 的最小值为
1)1(--=a f 21≤≤-∴a
当e a 22<<时， )(x f 在⎪⎭
⎫
⎝⎛2,1a 上单调减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛e a ,2上单调增 ∴)(x f 的最小值为⎪⎭
⎫
⎝⎛--=+--=142ln 2ln 4)2(2a a a a a a a a f
12
ln
022<<∴<<a
e a Θ， 12
1423+<+<e
a 0142ln )2(<⎪⎭
⎫
⎝⎛--=∴a a a a f
e a 22<<∴
当e a 2≥时， )(x f 在[]e ,1上单调减，∴)(x f 的最小值为()a e a e e f ++-=2)(2
1
222-->
≥e e
e e a Θ 0)(<∴e
f e a 2≥∴
综上，1-≥a ………13分 方法二：
不等式0)(≤x f ，可化为x x x x a 2)ln (2-≥-．
∵],1[e x ∈, ∴x x ≤≤1ln 且等号不能同时取，所以x x <ln ，即0ln >-x x ，
因而x
x x x a ln 22--≥（]
,1[e x ∈）
令x
x x x x g ln 2)(2--=（],1[e x ∈），又2)ln ()ln 22)(1()(x x x x x x g --+-='，
当],1[e x ∈时，1ln ,01≤≥-x x ，0ln 22>-+x x ，
从而0)(≥'x g （仅当x=1时取等号），所以)(x g 在],1[e 上为增函数， 故)(x g 的最小值为1)1(-=g ，所以a 的取值范围是),1[+∞-．………13分
19. （本题14分）
解：(1)由已知，椭圆方程可设为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)．
∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2， ∴b ＝c ＝1，a ＝ 2.
所求椭圆方程为x 2
2＋y 2
＝1. …………4分
(2)右焦点F (1,0)，直线l 的方程为y ＝x －1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
＋2y 2
＝2y ＝x －1
得，3y 2
＋2y －1＝0，
解得y 1＝－1，y 2＝13
.
∴S △POQ ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12|y 1－y 2|＝2
3
.
(3)假设在线段OF 上存在点M (m,0)(0<m <1)，使得以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2＋2y 2
＝2y ＝k x －1可得，(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2
－2＝0.
∴x 1＋x 2＝4k 2
1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2
－21＋2k 2.
MP →
＝(x 1－m ，y 1)，MQ →＝(x 2－m ，y 2)，PQ →
＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．其中x 2－x 1≠0以MP ，MQ 为
邻边的平行四边形是菱形
⇔(MP →＋MQ →)⊥PQ →⇔(MP →＋MQ →)·PQ →
＝0
⇔(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝0 ⇔(x 1＋x 2－2m )(x 2－x 1)＋(y 1＋y 2)(y 2－y 1)＝0 ⇔(x 1＋x 2－2m )＋k (y 1＋y 2)＝0
⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 21＋2k 2－2m ＋k 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫4k 2
1＋2k 2－2＝0 ⇔2k 2
－(2＋4k 2
)m ＝0⇔m ＝k 2
1＋2k
2(k ≠0)．
∴0<m <1
2. ………14分
20. （本题14分） 解：
（Ⅰ）1A 有如下的三种可能结果：11111115:,;:,;:0,32237
A A A ………3分 （Ⅱ）∀,{|11}a b x x ∈-<<，有
(1)(1)1011a b a b ab ab +----=<++且(1)(1)
(1)0.11a b a b ab ab
+++--=>++ 所以1a b ab
++{|11}x x ∈-<<，即每次操作后新数列仍是Γ数列.
又由于每次操作中都是增加一项，删除两项，所以对Γ数列A 每操作一次，项数就减少一项，所以对n 项的Γ数列A 可进行1n -次操作（最后只剩下一项） ………………7分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知9A 中仅有一项.
对于满足,{|11)a b x x ∈-<<的实数,a b 定义运算：1a b
a b ab
+=
+:，下面证明这种运算满足交换律和结合律。

因为1a b a b ab +=
+:，且1b a
b a ba
+=+:，所以a b a b =::，即该运算满足交换律；
因为1()1111b c
a b c a b c abc bc a b c a b c bc ab bc ca
a bc ++
+++++==
=++++++⋅+::: 且1()1111a b
c
a b a b c abc ab a b c c a b ab ab bc ca c ab
+++++++===
++++++⋅+::: 所以()()a b c a b c =::::，即该运算满足结合律.
所以9A 中的项与实施的具体操作过程无关 ……………12分 选择如下操作过程求9A ：
由（Ⅰ）可知
115237=:； 易知55077-=:；11044-=:；11055-=:；11066-=:；
所以5:A 5
,0,0,0,06
；
易知5A 经过4次操作后剩下一项为
56
. 综上可知： 95:6
A .........14分。