计算方法习题二答案

计算方法习题二答案
习题二
1、利用二分法求方程f(x)=x3-2x-5=0，在2,3内根的近似值，并指出误差。

解：f(2)=-1<0 f(3)=19>0 f(2).f(3)<0
f’(x)=3x2-2 在x∈2,3f’(x) >0
所以在1,2上必仅有一根
x=2 f(2)=-1 -
x=3 f(3)=16 +
x=2.5 f(2.5)=5.625 +
x=2.25 f(2.25)=1.890625 +
x=2.125 f(2.125) +
x=2.0625 f(2.0625) -
x=2.09375 f(2.09375) -
x=2.109375 f(2.109375) +
x=2.1015625 f(2.1015625) +
所以x=2.109375+201015625
2
=2.09765625
2、证明方程1-x-sinx=0在0,1内有一个根，使用二分法求误差不大于1
2
×10?4的根。

解：令f(x)=1-x-sinx
f(0)=1
f(1)=-sin1
f(0).f(1)<0
f’(x)=-1-cosx<0在0,1恒成立
所以1-x-sinx=0在0,1内恒有一个根
n≥ln1?0?ln?(1
2
×10?4)
ln2
-1≈13.289
所以n=14
n a n b n x n+1f(x n+1)符号
0 0 1 0.5 +
1 0.5 1 0.75 +
2 0.875 1 0.9375 +
.
.
14
3、能不能用迭代法求解下列方程，若不能时，将方程改写成能用迭代法的形式。

（1、）x=(cosx+sinx)/4 (2)x=4-2x
解：（1、）f(x)=x=(cosx+sinx)/4
f’(x)=?sinx+cosx
4
<1
对x任何数恒成立
所以可用迭代法
设x0=0，则
x1=0.25
x2=0.2511
x 3=0.2511
所以x=0.251
（2、）f(x)=4-2x
f’(x)=x.2x ?1<0在x 为任意数不恒成立
所以不能用迭代法
令x=log 2(4?x)
x 0=0
x 1=2
x 2=1
x 3= |φ‘(x)|=|-14?x 1ln 2|对x ∈(1,2)<12
4、为求方程x 3-x 2-1=0在x 0=1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。

（1、）x=1+1x 2，迭代公式x k+1=1+1
x k 2 （2、）x 3=1+x 2，迭代公式x k+1= 1+x k 23 (3、)x 2=1 x ?1，迭代公式x k+1= 1/（x k ?1）
试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。

解：（1、）|φ‘(x)|=|-2x |<1，在x 0=1.5附近收敛（2、）|φ‘(x)|=|3223|<1，在x 0=1.5附近收敛(3、)|φ‘(x)|=|-2
（x ?1）|>1，在x 0=1.5不满足局部收敛条件用（2）
K x k
0 1.5
1 1.48124
2 1.47271
3 1.46882
4 1.46705
5 1.46624
6 1.46588
7 1.46571
8 1.46563
9 1.46560
所以x=1.466
5、应用牛顿法解方程x 3-a=0，到处求立方根 a 3
的近似公式。

解：f(x)=x 3-a=0，则 a 3为方程f(x)=0的根，且f’(x)=3x 2
所以x n+1=x n -x n 3?a 3x n 2=2x n 3+a
3x n 2
6、用牛顿法求x 3-3x-1=0在x=2附近实根的近似值，精确到四位有效数字。

解：f(x)=x 3-3x-1=0 f’(x)=3x 2-3
x n+1=x n -x n 3?3x n ?13x n 2?3=2x n 3+1
3x n
2?3 x 0=2
x 1=1.8889
x 2=1.8795
x 3=1.8794
x 4=1.8794
所以x=1.879
7、用割线法求x 3-3x-1=0在x=2附近实根的近似值，取x 0=2，x 1=1.9，保留四位有效数字。

解：x 0=2，x 1=1.9 f(x)=x 3-3x-1
x n+1=x n -x n 3?3x n ?1
x n 3?3x n ?1?(x n ?13?3x n ?1?1)(x n ?x n ?1)
x 2=1.8811
x 3=1.8794
x 4=1.8794
所以x=1.879
8、应用牛顿迭代法于方程f(x)=1-a
x =0，到处求a 的迭代公式，并用此公式求115的值。

解：f’(x)=2a
x
x n =3ax n ?1?x n ?132a
115≈10.742
令x 0=10
x 1=10.6521 x 2=10.7231 x 3=10.7238 x 4=10.7238
所以 115近似值10.7238
9、给定函数f(x)，设对于一切x,f’(x)存在且0<θ
证明：φ(x)=x-θf’(x)
φ′(x)=1-θf’(x)
因为0<θ<2m<="" p="" ≤f’(x)≤m="">
所以-1<1-θf’(x)<1
所以|φ′(x)|≤L<1
10、研究求 a 的牛顿公式，x k+1=12(x k +a
x k ) （x 0>0,k=0,1,2…）,证明对于一切k=1,2…，x k ≥ a ，且序列是单减的，从而迭代过程收敛。

证明：x=1
2(x+a
x
)≥a
所以x k≥a
x k+1-x k=1
2(a
x
x k)
因为x k≥a
所以a
x
x k≤0
所以x k+1-x k≤0
所以序列是单减的
11、已知x=φ(x)在a,b内只有一个根，但|φ′(x)|≥k>1,?x∈(a,b),试讨论如何将x=φ(x)化为适于迭代求解的形式。

解：由x=φ(x)在a,b内只有一个根
所以起反函数必然存在
当对x∈f(φ(x))两边求导
1=φ‘（x）f′(x)
所以f′(x)=1
φ‘（x）
当x∈(a,b)时，|φ‘（x）|≥k>1所以|f′(x)|=1
|φ‘x|
<1
所以收敛。