2019-2020学年江西省宜春市上高二中高三(上)第三次月考数学试卷(理科)(Word版 含解析)

2019-2020学年江西省宜春市上高二中高三（上）
第三次月考数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．设集合A＝{x|log2（x+1）＜2}，B＝{y|y}，则（∁R A）∩B＝（）A．（0，3）B．[0，4]C．[3，4）D．（﹣1，3）2．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（）
A．B．C．D．
3．在△ABC中，，，M是AB的中点，N是CM的中点，则（）A．B．C．D．
4．下列四个结论：
①命题“∃x0∈R，sin x0+cos x0＜1”的否定是“∀x∈R，sin x+cos x≥1”；
②若p∧q是真命题，则￢p可能是真命题；
③“a＞5且b＞﹣5”是“a+b＞0”的充要条件；
④当a＜0时，幂函数y＝x a在区间（0，+∞）上单调递减
其中正确的是（）
A．①④B．②③C．①③D．②④
5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数y＝cos（sin|x|）的图象大致是（）
A．B．
C．D．
6．已知，则tan2α＝（）
A．B．C．D．
7．函数y（sin2x cos cos2x sin）的单调递减区间是（）
A．（kπ ，kπ ），k∈Z B．（kπ ，kπ ），k∈Z
C．（kπ ，kπ ），k∈Z D．（kπ ，kπ ），k∈Z
8．若α、β∈[，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的是（）A．α＞βB．α+β＞0C．α＜βD．α2＞β2
9．如图是函数y＝A sin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）在区间，上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y＝sin x（x∈R）的图象上的所有的点（）
A．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
B．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
D．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变10．在边长为1的正三角形ABC中，x，y，x＞0，y＞0，且x+y＝1，则•的最大值为（）
A．B．C．D．
＜
11．设函数f（x）
，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f
＞
（c），则af（a）+bf（b）+cf（c）的取值范围是（）
A．（1，]B．[1，2）C．（2，]D．（1，]
12．已知函数f（x）＝ax﹣x2﹣lnx存在极值，若这些极值的和大于5+ln2，则实数a的取值范围为（）
A．（﹣∞，4）B．（4，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数f（x）＝x+sin x，若正实数a，b满足f（4a）+f（b﹣9）＝0，则的最小值为．
14．若，则实数m的值为．
15．已知0＜＜＜α＜π且cos（），sin（），则cos（α+β）＝16．若函数f（x）是R上的单调函数，且对任意的实数x都有，则f（log22019）＝．
三、解答题（70分）
17．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣1|﹣2|x+1|．
（1）当m＝5时，求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若二次函数y＝x2+2x+3与函数y＝f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．
18．据《中国新闻网》10月21日报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查，就是否“取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：
已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05．
（Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持
“无所谓”态度的人中抽取多少人？
（Ⅱ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．
19．已知函数．
（1）若对任意∈，，都有f（x）≥a成立，求a的取值范围；
（2）若先将y＝f（x）的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，求函数在区间[﹣π，3π]内的所有零点之和．
20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别为AA1、B1C的中点．
（1）正明：DE⊥平面BCC1B1；
（2）已知B1C与平面BCD所成的角为30°，求二面角D﹣BC﹣B1的余弦值．
21．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°．
（1）若BC＝2，求∠CBD的大小；
（2）设△BCD的面积为S，求S的取值范围．
22．已知函数f（x）＝xlnx﹣2ax2+x，a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）内单调递减，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，证明：x1+x2＞．
2019-2020学年江西省宜春市上高二中高三（上）第三次月考数
学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．设集合A＝{x|log2（x+1）＜2}，B＝{y|y}，则（∁R A）∩B＝（）A．（0，3）B．[0，4]C．[3，4）D．（﹣1，3）
【解答】解：A＝{x|log2（x+1）＜2}＝{x|0＜x+1＜4}＝{x|﹣1＜x＜3}，
则∁R A＝{x|x≥3或x≤﹣1}，
B＝{y|y}＝{y|0≤y＜4}，
则（∁R A）∩B＝{x|3≤x＜4}＝[3，4），
故选：C．
2．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意知，S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，
设S1与S2所在扇形圆心角分别为α，β，
则，
又α+β＝2π，
解得．
故选：A．
3．在△ABC中，，，M是AB的中点，N是CM的中点，则（）A．B．C．D．
【解答】解：如图，
∵，，M是AB的中点，N是CM的中点；
∴．
故选：D．
4．下列四个结论：
①命题“∃x0∈R，sin x0+cos x0＜1”的否定是“∀x∈R，sin x+cos x≥1”；
②若p∧q是真命题，则￢p可能是真命题；
③“a＞5且b＞﹣5”是“a+b＞0”的充要条件；
④当a＜0时，幂函数y＝x a在区间（0，+∞）上单调递减
其中正确的是（）
A．①④B．②③C．①③D．②④
【解答】解：①命题“∃x0∈R，sin x0+cos x0＜1”的否定是“∀x∈R，sin x+cos x≥1”；满足命题的否定形式，正确；
②若p∧q是真命题，p是真命题，则￢p是假命题；所以②不正确；
③“a＞5且b＞﹣5”可得“a+b＞0”成立，“a+b＞0”得不到“a＞5且b＞﹣5”所以
③不正确；
④当a＜0时，幂函数y＝x a在区间（0，+∞）上单调递减，正确，反例：y，可知：
x∈（﹣∞，0）时，函数是增函数，在（0，+∞）上单调递减，所以④正确；
故选：A．
5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数y＝cos（sin|x|）的图象大致是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：f（﹣x）＝cos（sin|﹣x|）＝cos（sin|x|）＝f（x），
即函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除D，
∵﹣1≤sin|x|≤1，∴y＝cos（sin|x|）＞0，排除A，
在x＝0的右侧，t＝sin x为增函数，y＝cos t为减函数，此时函数f（x）为减函数，排除C，故选：B．
6．已知，则tan2α＝（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵已知，即sinα cosα＝﹣3（cosα sinα），求得tanα ，
则tan2α 4，
故选：A．
7．函数y（sin2x cos cos2x sin）的单调递减区间是（）
A．（kπ ，kπ ），k∈Z B．（kπ ，kπ ），k∈Z
C．（kπ ，kπ ），k∈Z D．（kπ ，kπ ），k∈Z
【解答】解：∵sin2x cos cos2x sin sin（2x）＞0，∴2kπ+π＞2x＞2kπ，
又∵函数y（sin2x cos cos2x sin）单调递减，
∴由2kπ＜2x＜2kπ ，k∈Z可解得函数y（sin2x cos cos2x sin）的单调递减区间是：（kπ ，kπ ），k∈Z
故选：B．
8．若α、β∈[，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的是（）A．α＞βB．α+β＞0C．α＜βD．α2＞β2
【解答】解：y＝x sin x是偶函数且在（0，）上递增，
∵、∈，，
∴αsinα，βsinβ皆为非负数，
∵αsinα﹣βsinβ＞0，
∴αsinα＞βsinβ
∴|α|＞|β|，
∴α2＞β2
故选：D．
9．如图是函数y＝A sin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）在区间，上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y＝sin x（x∈R）的图象上的所有的点（）
A．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
B．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
D．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
【解答】解：由图可知A＝1，T＝π，
∴ω＝2，
又ω+φ＝2kπ（k∈Z），
∴φ＝2kπ （k∈Z），又0＜ϕ＜，
∴φ ，
∴y＝sin（2x）．
∴为了得到这个函数的图象，只需将y＝sin x（x∈R）的图象上的所有向左平移个长度单位，得到y＝sin（x）的图象，再将y＝sin（x）的图象上各点的横坐标变为原来的
（纵坐标不变）即可．
故选：A．
10．在边长为1的正三角形ABC中，x，y，x＞0，y＞0，且x+y＝1，则•的最大值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意，
∵，
∴1
∵x＞0，y＞0，且x+y＝1
∴xy
∴﹣11
当且仅当x＝y时，取等号
∴当x＝y时，的最大值为
故选：B．
＜
，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f 11．设函数f（x）
＞
（c），则af（a）+bf（b）+cf（c）的取值范围是（）
A．（1，]B．[1，2）C．（2，]D．（1，]
＜
的图象如下图所示：
【解答】解：函数f（x）
＞
若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），
不妨令a＜b＜c，
则a，b互为相反数，即af（a）+bf（b）＝0，
c∈（1，2），
则af（a）+bf（b）+cf（c）＝cf（c）＝c（3﹣c）＝﹣（c）2，
当c时，取最大值，
又由c＝1或c＝2时，c（3﹣c）＝2，
故af（a）+bf（b）+cf（c）的取值范围是（2，]，
故选：C．
12．已知函数f（x）＝ax﹣x2﹣lnx存在极值，若这些极值的和大于5+ln2，则实数a的取值范围为（）
A．（﹣∞，4）B．（4，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）
【解答】解：f（x）＝ax﹣x2﹣lnx，x∈（0，+∞），
则f′（x）＝a﹣2x，
∵函数f（x）存在极值，∴f′（x）＝0在（0，+∞）上有根，
即2x2﹣ax+1＝0在（0，+∞）上有根，∴△＝a2﹣8≥0，
显然当△＝0时，F（x）无极值，不合题意；
∴方程必有两个不等正根，记方程2x2﹣ax+1＝0的两根为x1，x2，x1+x2，x1x2，f（x1），f（x2）是函数F（x）的两个极值，
由题意得，f（x1）+f（x2）＝a（x1+x2）﹣（x12+x22）﹣（lnx1+lnx2）
1﹣ln＞5﹣ln，
化简解得，a2＞16，满足△＞0，
又x1+x2＞0，即a＞0，
∴∴a的取值范围是（4，+∞），
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数f（x）＝x+sin x，若正实数a，b满足f（4a）+f（b﹣9）＝0，则的最小值为1．
【解答】解：f′（x）＝1+cos x≥0，
∴f（x）是增函数，且f（x）是奇函数，
∴由f（4a）+f（b﹣9）＝0得，f（4a）＝f（9﹣b），
∴4a＝9﹣b，
∴，且a，b都为正数，
∴，当且仅当，即b＝2a＝3时取等号，
∴的最小值为1．
故答案为：1．
14．若，则实数m的值为1．
【解答】解：由于ln2+4m﹣m＝3+ln2，
整理得3m＝3，解得m＝1．
故答案为：1
15．已知0＜＜＜α＜π且cos（），sin（），则cos（α+β）＝【解答】解：∵0＜β＜＜α＜π，∴0＜＜＜＜，
则＜α ＜π，＜ β＜．
∵cos（α ），∴sin（α ），
∵sin（ β），∴cos（ β）．
∴cos（）＝cos[（α ）﹣（ β）]
＝cos（α ）•cos（ β）+sin（α ）•sin（ β）
．
cos（α+β）．
故答案为：．
16．若函数f（x）是R上的单调函数，且对任意的实数x都有，则f（log22019）＝．
【解答】解：∵f（x）是R上的单调函数，且对任意的实数x都有，∴，
∴，
∴，解得c＝1，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（70分）
17．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣1|﹣2|x+1|．
（1）当m＝5时，求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若二次函数y＝x2+2x+3与函数y＝f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）当m＝5时，，＜
，
，＞
，
由f（x）＞2结合函数的单调性易得不等式解集为，；
（2）由二次函数的解析式可得该函数在对称轴x＝﹣1处取得最小值2，
而，＜
，
，＞
在x＝﹣1处取得最大值m﹣2，
所以要使二次函数y＝x2+2x+3与函数y＝f（x）的图象恒有公共点，只需m﹣2≥2，即m≥4．
18．据《中国新闻网》10月21日报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一
时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查，就是否“取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：
已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05．
（Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？
（Ⅱ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．
【解答】解：（I）∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，
∴0.05，解得x＝60．…（2分）
∴持“无所谓”态度的人数共有3600﹣2100﹣120﹣600﹣60＝720．…（4分）
∴应在“无所谓”态度抽取72072人．…（6分）
（Ⅱ）由（I）知持“应该保留”态度的一共有180人，
∴在所抽取的6人中，在校学生为4人，社会人士为2人，
于是第一组在校学生人数ξ＝1，2，3，…（8分）
P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3）
，
即ξ的分布列为：
…
∴Eξ＝1232．…
19．已知函数．
（1）若对任意∈，，都有f（x）≥a成立，求a的取值范围；
（2）若先将y＝f（x）的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，求函数在区间[﹣π，3π]内的所有零点之和．
【解答】解：（1）函数sin x cos x（2sin2x ﹣1）sin2x cos2x＝sin（2x），
若对任意∈，，都有f（x）≥a成立，则只需f min（x）≥a即可．
∵∈，，∴2x∈[，]，故当2x时，f（x）取得最小值为﹣1，∴a≤﹣1．
（2）先将y＝f（x）的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y＝sin （x）的图象；
然后再向左平移个单位得到函数y＝g（x）＝sin x的图象．
函数在区间[﹣π，3π]内的零点，即sin x的实数根，它的实数根共计4个，设为x1、x2、x3、x4，且为x1＜x2＜x3＜x4，则根据对称性这4个根关于直线x对称，故有，
∴x1+x2+x3+x4＝6π．
20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别为AA1、B1C的中点．
（1）正明：DE⊥平面BCC1B1；
（2）已知B1C与平面BCD所成的角为30°，求二面角D﹣BC﹣B1的余弦值．
【解答】（1）证明：以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A﹣xyz．
设AB＝1，AD＝a，则B（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，0，2a），D（0，0，a），B1（1，0，2a），
，，，，，，，，，，，．∵，，∴DE⊥BC，DE⊥B1C，
又BC∩B1C＝C，∴DE⊥平面BCC1B1；
（2）解：设平面BCD的法向量（x0，y0，z0），
则，又，，，故，取x0＝1，得，，．∵B1C与平面BCD所成的角为30°，，，，
∴|cos＜，＞|，解得，
∴，，．
由（1）知平面BCB1的法向量，，，
∴cos＜，＞．
∴二面角D﹣BC﹣B1的余弦值为．
21．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°．（1）若BC＝2，求∠CBD的大小；
（2）设△BCD的面积为S，求S的取值范围．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）在△ABD中，因为AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，
则：BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD＝16+4﹣2×4×212，
所以BD＝2（3分）
在△BCD中，因为∠BCD＝120°，BC＝2，BD＝2，
由，
得：sin∠CDB，
则∠CDB＝45°…
所以∠CBD＝60°﹣∠CDB＝15°…（6分）
（2）设∠CBD＝θ，则∠CDB＝60°﹣θ．
在△BCD中，因为4，则BC＝4sin（60°﹣θ）…（8分）所以S BD•BC•sin∠CBD
＝4sin（60°﹣θ）sinθ
＝4（）sinθ
＝3sin2θ﹣2sin2θ
＝3sin2θ （1﹣cos2θ）
＝3sin2θ cos2θ
＝2sin（2θ+30°）（11分）
因为0°＜θ＜60°，则30°＜2θ+30°＜150°，＜sin（2θ+30°）≤1，所以0＜S．
故S的取值范围是（0，]…
22．已知函数f（x）＝xlnx﹣2ax2+x，a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）内单调递减，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，证明：x1+x2＞．
【解答】解：（I）f′（x）＝lnx﹣4ax+2，
若f（x）在（0，+∞）内单调递减，则f′（x）≤0恒成立，
即4a在（0，+∞）上恒成立．
令g（x），则g′（x），
∴当0＜x＜时，g′（x）＞0，当x＞时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，
∴g（x）的最大值为g（）＝e，
∴4a≥e，即a．
∴a的取值范围是[，+∞）．
（II）∵f（x）有两个极值点，
∴f′（x）＝0在（0，+∞）上有两解，
即4a有两解，由（1）可知0＜a＜．
由lnx1﹣4ax1+2＝0，lnx2﹣4ax2+2＝0，可得lnx1﹣lnx2＝4a（x1﹣x2），不妨设0＜x1＜x2，
要证明x1+x2＞，只需证明＜，
即证明＞lnx1﹣lnx2，
只需证明＞ln，
令h（x）lnx（0＜x＜1），
则h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递减，
∴h（x）＞h（1）＝0，即＞lnx在（0，1）上恒成立，
∴不等式＞ln恒成立，
综上，x1+x2＞．。