高中必备物理万有引力与航天技巧全解及练习题(含答案)

高中必备物理万有引力与航天技巧全解及练习题(含答案)
一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天
1．如图轨道Ⅲ为地球同步卫星轨道，发射同步卫星的过程可以筒化为以下模型：先让卫星进入一个近地圆轨道Ⅰ（离地高度可忽略不计），经过轨道上P 点时点火加速，进入椭圆形转移轨道Ⅱ．该椭圆轨道Ⅱ的近地点为圆轨道Ⅰ上的P 点，远地点为同步圆轨道Ⅲ上的
Q 点．到达远地点Q 时再次点火加速，进入同步轨道Ⅲ．已知引力常量为G ，地球质量为
M ，地球半径为R ，飞船质量为m ，同步轨道距地面高度为h ．当卫星距离地心的距离
为r 时，地球与卫星组成的系统的引力势能为p GMm
E r
=-（取无穷远处的引力势能为
零），忽略地球自转和喷气后飞船质量的変化，问：
（1）在近地轨道Ⅰ上运行时，飞船的动能是多少？
（2）若飞船在转移轨道Ⅱ上运动过程中，只有引力做功，引力势能和动能相互转化．已知飞船在椭圆轨道Ⅱ上运行中，经过P 点时的速率为1v ，则经过Q 点时的速率2v 多大？ （3）若在近地圆轨道Ⅰ上运行时，飞船上的发射装置短暂工作，将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围（即探测器可以到达离地心无穷远处），则探测器离开飞船时的速度
3v （相对于地心）至少是多少？（探测器离开地球的过程中只有引力做功，动能转化为引
力势能） 【答案】（1）2GMm R （22122GM GM v R h R +-+32GM
R
【解析】 【分析】
（1）万有引力提供向心力，求出速度，然后根据动能公式进行求解； （2）根据能量守恒进行求解即可；
（3）将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围，动能全部用来克服引力做功转化为势能； 【详解】
（1）在近地轨道（离地高度忽略不计）Ⅰ上运行时，在万有引力作用下做匀速圆周运动
即：2
2mM v G m R R
=
则飞船的动能为2122k GMm
E mv R
=
=； （2）飞船在转移轨道上运动过程中，只有引力做功，引力势能和动能相互转化．由能量守
恒可知动能的减少量等于势能的増加量：
221211()22GMm GMm mv mv R h R
-=--+ 若飞船在椭圆轨道上运行，经过P 点时速率为1v ，则经过Q 点时速率为：
22122GM GM
v v R h R
=+
-
+； （3）若近地圆轨道运行时，飞船上的发射装置短暂工作，将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围（即探测器离地心的距离无穷远），动能全部用来克服引力做功转化为势能 即：2312
Mm G
mv R = 则探测器离开飞船时的速度（相对于地心）至少是：32GM
v R
=． 【点睛】
本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供向心力，同时注意应用能量守恒定律进行求解．
2．“嫦娥一号”的成功发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要的一步．已知“嫦娥一号”绕月飞行轨道近似为圆形，距月球表面高度为H ，飞行周期为T ，月球的半径为R ，引力常量为G ．求：
(1) “嫦娥一号”绕月飞行时的线速度大小； (2)月球的质量；
(3)若发射一颗绕月球表面做匀速圆周运动的飞船，则其绕月运行的线速度应为多大． 【答案】（1）()2R H T
π+（2）
()3
22
4R H GT π+（3）
()2R H R H
T
R
π++ 【解析】
（1）“嫦娥一号”绕月飞行时的线速度大小12π()
R H v T
+=． （2）设月球质量为M ．“嫦娥一号”的质量为m ．
根据牛二定律得222
4π()()R H Mm
G m R H T +=+
解得23
2
4π()R H M GT +=
．
（3）设绕月飞船运行的线速度为V ，飞船质量为0m ，则2
002Mm V G m R
R =又
23
2
4π()R H M GT +=
． 联立得()2πR H R H
V T
R
++=
3．土星是太阳系最大的行星，也是一个气态巨行星。

图示为2017年7月13日朱诺号飞行器近距离拍摄的土星表面的气体涡旋(大红斑)，假设朱诺号绕土星做匀速圆周运动，距离土星表面高度为h 。

土星视为球体，已知土星质量为M ，半径为R ，万有引力常量为
.G 求：
()1土星表面的重力加速度g ； ()2朱诺号的运行速度v ； ()3朱诺号的运行周期T 。

【答案】()())(21?2?3?2GM GM R h
R h R R h GM
π+++【解析】 【分析】
土星表面的重力等于万有引力可求得重力加速度；由万有引力提供向心力并分别用速度与周期表示向心力可求得速度与周期。

【详解】
（1）土星表面的重力等于万有引力：2
Mm
G mg R = 可得2
GM
g R =
（2）由万有引力提供向心力：2
2()Mm mv G R h R h
=++
可得：GM
v R h
=
+（3）由万有引力提供向心力：()2
2
2()()GMm m R h R h T
π=++ 可得：(2R h T R h GM
π+=+
4．宇航员在某星球表面以初速度2.0m/s 水平抛出一小球，通过传感器得到如图所示的运动轨迹，图中O 为抛出点。

若该星球半径为4000km ，引力常量G =6.67×10﹣11N•m 2•kg ﹣
2
．试求：
(1)该行星表面处的重力加速度的大小g 行； (2)该行星的第一宇宙速度的大小v ；
(3)该行星的质量M 的大小（保留1位有效数字）。

【答案】(1)4m/s 2(2)4km/s(3)1×1024kg 【解析】 【详解】
(1)由平抛运动的分位移公式，有：
x =v 0t y =
1
2
g 行t 2 联立解得：
t =1s g 行=4m/s 2；
(2)第一宇宙速度是近地卫星的运行速度，在星球表面重力与万有引力相等，据万有引力提供向心力有：
22mM v G mg m R R
行＝＝ 可得第一宇宙速度为：
34400010m/s 4.0km/s v g R =⨯⨯=行＝
(3)据
2
mM
G
mg R 行＝ 可得：
23224
11
4400010kg 110kg 6(.)6710
g R M G -⨯⨯==≈⨯⨯行
5．我国科学家正在研究设计返回式月球软着陆器，计划在2030年前后实现航天员登月，对月球进行科学探测。

宇航员在月球上着陆后，自高h 处以初速度v 0水平抛出小球，测量
出小球的水平射程为L (这时月球表面可以看成是平坦的)，已知月球半径为R ，万有引力常量为G 。

(1)试求月球表面处的重力加速度g . (2)试求月球的质量M
(3)字航员着陆后，发射了一颗绕月球表面做匀速圆周运动的卫星，周期为T ，试求月球的平均密度ρ.
【答案】（1）2022hv g L =（2）22
02
2hv R
M GL
= （3）23GT πρ= 【解析】 【详解】
（1）根据题目可得小球做平抛运动, 水平位移: v 0t =L
竖直位移:h =
12
gt 2 联立可得:20
22hv g L
=
（2）根据万有引力黄金代换式2mM
G
mg R
＝， 可得2220
2
2hv R gR M G GL ==
（3）根据万有引力公式2224mM G m R R T π＝；可得23
2
4R M GT π=，
而星球密度M V ρ=,3
43
V R π= 联立可得23GT
πρ=
6．地球的质量M=5.98×1024kg ，地球半径R=6370km ，引力常量G=6.67×10－11N·m 2/kg 2，一颗绕地做圆周运动的卫星环绕速度为v=2100m/s ，求： （1）用题中的已知量表示此卫星距地面高度h 的表达式 （2）此高度的数值为多少？（保留3位有效数字） 【答案】（1）2GM
h R v
=-（2）h=8.41×107m 【解析】
试题分析：（1）万有引力提供向心力，则
解得：2
GM
h R v =
- （2）将（1）中结果代入数据有h=8.41×107m 考点：考查了万有引力定律的应用
7．某宇航员乘坐载人飞船登上月球后，在月球上以大小为v 0的速度竖直向上抛出一物体(视为质点)，测得物体上升的最大高度为h ，已知月球的半径为R ，引力常量为G 。

(1)求月球的质量M ；
(2)若登上月球前飞船绕月球做匀速圆周运动的周期为T ，求此时飞船距离月球表面的高度H 。

【答案】(1)2202v R M Gh = (2)H R = 【解析】 【详解】
（1）设月球表面的重力加速度为g ，在竖直上抛运动过程中有：
202v gh =
由万有引力定律可知
2
GMm
mg R
= 解得：2202v R
M Gh
=
（2）飞船绕月球做匀速圆周运动时有：
222'4'GMm r
m r T
π=
解得：r =
飞船距离月球表面的高度H R =-
8．已知地球质量为M ，万有引力常量为G 。

将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体。

忽略地球自转影响。

（1）求地面附近的重力加速度g ； （2）求地球的第一宇宙速度v ；
（3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道哪些相关数据？请分析说明。

【答案】（1）2GM g R =
（2）v =3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量。

【解析】
【详解】
（1）设地球表面的物体质量为m , 有
2
Mm
G
mg R = 解得
2
GM
g R =
（2）设地球的近地卫星质量为m '，有
22Mm G m R R
''=v 解得
v =
（3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量。

设太阳质量为M '，地球绕太阳运动的轨道半径为r 、周期为T ，根
据2
224M M G M r r T
π'=可知若知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量可求
得太阳的质量。

9．航天专家叶建培透露，中国将在2020年发射火星探测器，次年登陆火星．中国火星探测系统由环绕器和着陆巡视器组成．环绕器环绕火星的运动可看作匀速圆周运动，它距火星表面的高度为h ，火星半径为R ，引力常量为G ．
（1）着陆巡视器的主要功能为实现在火星表面开展巡视和科学探索．着陆巡视器第一次落到火星时以v 0的速度竖直弹起后经过t 0时间再次落回火星表面．求火星的密度． （2）“环绕器”绕火星运动的周期T ．
【答案】（1）0032v RGt π（2
【解析】
（1）根据竖直上抛运动的基本规律可知，火星表面重力加速度
00
0022
v v g t t =
=； 根据火星表面万有引力等于重力得2
'
'Mm G
m g R
=②， 火星密度
3
43
M M V R ρπ=
=③，由①②③解得0032v RGt ρπ=； （2）根据万有引力提供向心力公式得：2
224G
()()Mm m R h R h T
π=++
解得：2T ==
10．已知“天宫一号”在地球上空的圆轨道上运行时离地面的高度为h 。

地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，万有引力常量为G ．求： （1）“天宫一号”在该圆轨道上运行时速度v 的大小； （2）“天宫一号”在该圆轨道上运行时重力加速度g’的大小；
【答案】（1
）v =2）22
gR g R h ='+（） 【解析】 【详解】
（1）地球表面质量为m 0的物体，有：0
02
Mm G
m g R
=① “天宫一号”在该圆轨道上运行时万有引力提供向心力：
2
2
Mm v G m R h R h
=++（）②
联立①②两式得：飞船在圆轨道上运行时速度：v =（2）根据2
Mm
G
mg R h '=+（）
③ 联立①③解得：2
2
gR g R h ='+（）。