2019-2020高中数学必修四配套课件：1.4.1正弦函数、余弦函数的图象

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用“五点法”作三角函数图象
【例2】 用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y＝－sin x(0≤x≤2π)； (2)y＝1＋cos x(0≤x≤2π)． 【解题探究】 列表 → 描点 → 连线成图
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【解析】(1)列表
x
0
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正弦函数、余弦函数的图象
函数
y＝sin x
y＝cos x
图象
图象画法 关键五点
五点法
___(_0_,0_)，__π2_，_1_，__(π_，__0)_，___
32π，－1，(2π，0)
五点法
___(_0_,1_)，__π2_，_0__，_(_π，__－_1_)_，_
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1．下列选项中是函数 y＝－sin x，x∈π2，52π的图象上最
高点的坐标的是( )
A.π2，0
B．32π，1
C．(2π，1) 【答案】B
D．52π，1
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2．函数 y＝cos x＋|cos x|，x∈[0,2π]的大致图象为( )
【解析】列表
x
0
π 2
π
3π 2
2π
－2cos x －2 0 2 0 －2
y＝－2cos x＋3 1 3 5 3 1
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描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3在区间[0,2π]内的图 象：
由图可得，当x＝π时， 函数取得最大值，ymax＝5.
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，
即为定义域．
由定义域得12≤sin x≤1，
∴0≤ 2sin x－1≤1，即值域为{y|0≤y≤1}．
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【特别提醒】1.用三角函数的图象解sin x＞a(或cos x＞a) 的方法
(1)作出直线y＝a(或x＝a)，曲线y＝sin x(或y＝cos x)的图 象．
(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值． (3)确定sin x＞a(或cos x＞a)的解集． 2．利用三角函数线解sin x＞a(或cos x＞a)的方法 (1)找出使sin x＝a(或cos x＝a)的两个x值的终边所在的位 置． (2)根据变化趋势，确定不等式的解集．
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正、余弦函数的图象
【例1】 (1)下列叙述正确的有( )
①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；
②y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；
③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的
范围．
A．0个
B．1个
求函数的定义域问题
【例 3】 求 y＝ 2sin x－1的定义域、值域．
构造三角
求函数
【解题探究】 不等式 → 画函数图象 → 定义域
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【解析】由 2sin x－1≥0 得 sin x≥21，画出 y＝sin x 的图象．
可知 sin
x≥12的解集为xπ6＋2kπ≤x≤56π＋2kπ，k∈Z
【答案】(1)D (2)D
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【解析】(1)分别画出函数 y＝sin x，x∈[0,2π]和 y＝cos x， x∈[0,2π]的图象，由图象观察可知①②③均正确．
(2)如图所示为 y＝cos x 的图象．
可知三项描述均正确．
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【方法规律】对于正、余弦函数的图象问题，要画出正 确的正弦曲线、余弦曲线，两者的形状相同，只是在坐标系中 的位置不同，可以通过相互平移得到．
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【方法规律】作形如 y＝asin x＋b(或 y＝acoபைடு நூலகம் x＋b)，x∈ [0,2π]的图象时，可由“五点法”作出，其步骤如下：
(1)列表．取 x＝0，π2，π，23π，2π. (2)描点． (3)连线．用平滑的曲线将各点连接成图．
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作 函 数 y ＝ － 2cos x ＋ 3 在 区 间 [0,2π] 内 的 图 象．并求函数的最大值及取得最大值时x的值．
π 2
π
3π 2
2π
sin x 0 1 0 －1 0
－sin x 0 －1 0 1 0
描点作图如图所示．
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(2)列表
x
0
π 2
π
3π 2
2π
cos x 1 0 －1 0 1
1＋cos x 2 1 0 1 2
描点作图如图所示．
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以下对正弦函数y＝sin x的图象描述不正确的 是( )
A．在区间[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同 B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间 C．关于x轴对称 D．与y轴仅有一个交点 【答案】C 【解析】由正弦函数y＝sin x的图象可知，它不关于x轴 对称．
A
B
C
D
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【答案】D
【解析】y＝cos x＋|cos x|＝
20，cosx∈x，π2x，∈32π0，，π2∪32π，2π，
故选 D.
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3．函数y＝－cos x(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的
坐标为( )
A.
B．(π，1)
C．(0,1)
D．(2π，1)
【答案】B
【解析】用五点法作出函数y＝－cos x，x>0的图象如图
所示，可知选B.
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4．已知函数 f(x)＝3＋2cos x 的图象经过点π3，b，则 b＝ ________.
【答案】4 【解析】b＝fπ3＝3＋2cosπ3＝4.
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【警示】已知函数解析式作函数图象，首先要求出函数 的定义域，然后再对其进行化简，如果先进行化简，则化简前 后自变量的取值范围就发生了变化，作出的函数图象就可能与 原解析式不对应．
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“几何法”和“五点法”画正、余弦函数图象的优缺点 (1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出 正、余弦函数图象的方法．该方法作图较精确，但较为繁琐． (2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精 确度不高的情况下常用此法，要切实掌握好．
2．对于正弦函数y＝sin x的图象，下列说法错误的是 ()
A．向左右无限伸展 B．与y＝cos x的图象形状相同，只是位置不同 C．与x轴有无数个交点 D．关于y轴对称 【答案】D
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3．从函数 y＝cos x，x∈[0,2π)的图象来看，对应于 cos x
＝12的 x 有( )
你能用三角函数线求出例3函数的定义域吗？ 【解析】当 sin x≥12，如图，
所以定义域是xπ6＋2kπ≤x≤56π＋2kπ，k∈Z
.
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忽视定义域而出错
【示例】作函数 y＝ta1n x·sin x 的图象．
【错解】y＝tan1
x·sin
x＝csoins
x x ·sin
x＝cos
x.
故其图象如图所示．
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【错因】上述解法错在将函数式化简后漏掉了对自变量 范围的讨论，扩大了定义域，使化简前后不等价．
【正解】tan x≠0，即 x≠kπ(k∈Z)，此时有 y＝ta1n x·sin x ＝cos x，即 y＝cos xx≠k2π，k∈Z.其图象如下图所示．
A．1 个值
B．2 个值
C．3 个值
D．4 个值
【答案】B
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4．关于三角函数的图象，有下列说法： ①y＝sin |x|与y＝sin x的图象关于y轴对称； ②y＝cos(－x)与y＝cos |x|的图象相同； ③y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称； ④y＝cos x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称． 其中正确的序号是________． 【答案】②④
C．2个
D．3个
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析．
(2)对于余弦函数y＝cos x的图象，有以下三项描述：
①向左、向右无限延伸；
②与x轴有无数多个交点；
③与y＝sin x的图象形状一样，只是位置不同．
其中正确的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【解题探究】解答本题结合正弦曲线和余弦曲线来分
1.4 三角函数的图象与性质
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
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目标定位
重点难点
1.了解正弦函数、余弦函数的图象 重点：会用“五点法”
2.会用“五点法”画出正、余弦函数 画出正、余弦函数的图
的图象
象
3.能利用正、余弦函数的图象解简单 难点：能利用正、余弦
问题
函数的图象解简单问题
32π，0，(2π，1) 第三页，编辑于星期日：点 三十七分。
个？
1．想一想 利用五点法作出y＝sin(－x)的图象，“五点”应取哪几
【解析】分别令－x＝0，π2，π，32π，2π，求出相应的纵坐
标即得“五点”，即(0,0)，－π2，1，(－π，0)，－32π，－1， (－2π，0)这五点．
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