人教版数学八年级下册数学期末试卷培优测试卷

人教版数学八年级下册数学期末试卷培优测试卷 一、选择题 1．使式子1x +有意义的x 的取值范围是（ ）
A ．1x ≤-
B ．1x ≥-
C ．1x ≠-
D ．1x =- 2．下列四组线段，能构成直角三角形的是（ ） A ．1，1，2 B ．3，2，5 C ．5，6，7 D ．6，8，10 3．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A ．A
B ∥D
C ，A
D ∥BC
B ．AD ∥B
C ，AB ＝DC C ．AB ∥DC ，∠DAB ＝∠DCB
D ．AO ＝CO ，BO ＝DO 4．若a 、b 、c 的平均数为7，则1a +、2b +、3+c 的平均数为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10 5．如图所示，一个圆柱体高8cm ，底面半径2cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，要爬行的最短路程 (π取3)是（ ）
A ．12cm
B ．10cm
C ．20cm
D ．无法确定 6．如图，点D 在ABC 的BC 边上，把ADC 沿AD 折叠，点C 恰好落在直线AB 上，则
线段AD 是ABC 的（ ）
A ．中线
B ．角平分线
C ．高线
D ．垂直平分线 7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 ，BC ＝2．以AB 为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A ．5
B ．6
C ．12
D ．13
8．对于实数
,a b ，定义符号{},min a b 其意义为：当a b ≥时，{},min a b b =；当a b <时，{},min a b a =．例如：21{},1min -=-，若关于x 的函数2{}1,3y min x x =--+，则该函数的最大值是（ ）
A ．1
B ．43
C ．53
D ．2
二、填空题
9．函数19
y x =+自变量的取值范围是______． 10．已知菱形的两条对角线长分别为4cm 和6cm ，则这个菱形的面积为______cm 2． 11．如图一根竹子长为8米，折断后竹子顶端落在离竹子底端4米处，折断处离地面高度是________米．
12．如图，在矩形ABCD 中，点E 是对角线AC 上一点，CB ＝CE ，∠ACB ＝30°，则∠ABE ＝_____°．
13．1y kx =+过点()2,3，则k =______． 14．在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，添加一个条件（不再添加辅助线和字母），使得平行四边形ABCD 变成菱形，你添加的条件是：_____________ ． 15．如图①，在平面直角坐标系中，等腰ABC 在第一象限，且//AC x 轴．直线y x =从原点O 出发沿x 轴正方向平移．在平移过程中，直线被ABC 截得的线段长度n 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图②所示，那么ABC 的面积为__________．
16．在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，将ABD △沿对角线BD 对折得到EBD △，DE 与BC 交于F ，则EF 等于________．
三、解答题
17．计算：
（1）02(52)()π++-；
（2）3127683
-+-． 18．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A 放在距离墙根C 点0.7米处，另一头B 点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，则梯子的底部向外滑多少米？
19．如图，网格中的ABC ，若小方格边长为1，请你根据所学的知识，
（1）判断ABC 是什么形状？并说明理由；
（2）求ABC 的面积．
20．如图，已知点E 是ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，连接AC ，BF ，AF BC =．
（1）求证：四边形ABFC 为矩形；
（2）若AFD ∆是等边三角形，且边长为6，求四边形ABFC 的面积．
21．在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知123a =+，求2a 2﹣8a +1的值．他是这样解答的：
∵1232323(23)(23)
a -===-++-， ∴23a -=-．
∴（a ﹣2）2＝3，即a 2﹣4a +4＝3．
∴a 2﹣4a ＝﹣1．
∴2a 2﹣8a +1＝2（a 2﹣4a ）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：
（1）试化简
132+和253+； （2）化简
111121324320222021++++++++； （3）若121
a ，求4a 2﹣8a +1的值． 22．甲、乙两个探测气球分别从海拔高度5m 和15m 处同时出发，甲探测气球以1m/min 的速度上升，乙探测气球以0.5m/min 的速度上升，两个气球都上升了60min ．下图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔高度y （单位：m ）与气球上升时间x （单位：min ）的函数图象．
（1）分别写出表示两个气球所在位置的海拔高度y （单位：m ）关于上升时间x （单位：min ）的函数关系．
（2）当甲、乙两气球的海拔高度相差15米时，上升时间是多少?
23．图1，在正方形ABCD 中，
，P 为线段BC 上一点，连接，过点B 作，交CD 于点Q ．将沿所在直线对折得到，延长
交于点N ．
（1）求证：．
（2）若，求AN的长．
（3）如图2，延长交BA的延长线于点，若，记的面积为，求与x之间的函数关系式．
24．在平面直角坐标系中，点A坐标为（0，4），点B坐标为（﹣3，0），连接AB，过点A作AC⊥AB交x轴于点C，点E是线段AO上的一动点．
（1）如图1，当AE＝3OE时，
①求直线BE的函数表达式；
②设直线BE与直线AC交于点D，连接OD，点P是直线AC上的一动点（不与A，C，D 重合），当S△BOD＝S△PDB时，求点P的坐标；
（2）如图2，设直线BE与直线AC的交点F，在平面内是否存在点M使以点A，E，F，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请简述理由．
25．（问题情境）
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分
∠DAM．
（探究展示）
（1）请你判断AM，AD，MC三条线段的数量关系，并说明理由；
（2）AM = DE + BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（拓展延伸）
（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否仍然成立？请分别作出判断，不需要证明．
26．如图1，已知Rt ABC中，∠BAC＝90°，点D是AB上一点，且AC＝8，∠DCA＝45°，AE⊥BC于点E，交CD于点F．
(1)如图1，若AB＝2AC，求AE的长；
(2)如图2，若∠B＝30°，求CEF的面积；
(3)如图3，点P是BA延长线上一点，且AP＝BD，连接PF，求证：PF+AF＝BC．
【参考答案】
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【详解】
x+，
解：由题意得，10
x-．
解得1
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．D
解析：D
【分析】
勾股定理的逆定理：一个三角形中，如果有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，根据定理逐一判断即可.
【详解】
解：2221122,+=≠ 故A 不符合题意； ()22
2327,+=≠故B 不符合题意； 22256617,+=≠故C 不符合题意；
2226810010,+==故D 符合题意；
故选：.D
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形是解题的关键.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
依据平行四边形的定义和判定方法逐一判断即可得解；
【详解】
A 、∵A
B ∥D
C ，A
D ∥BC ，
∴四边形ABCD 是平行四边形，故选项A 不符合题意；
B 、由AD ∥B
C ，AB ＝DC ，即一组对边平行，一组对边相等，无法判断四边形ABC
D 是平行四边形，举反例如等腰梯形，故选项B 符合题意；
C 、∵AB ∥DC ，
∴∠ABC +∠DCB ＝180°，∠DAB +∠ADC ＝180°，
∵∠DAB ＝∠DCB ，
∴∠ABC ＝∠ADC ，
∴四边形ABCD 是平行四边形，故选项C 不符合题意；
D 、∵AO ＝CO ，BO ＝DO ，
∴四边形ABCD 是平行四边形，故选项D 不符合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键，同时注意一组对边平行，一组对边相等得四边形不一定是平行四边形．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据a 、b 、c 的平均数为7可得73a b c ++=，再列出计算1a +、2b +、3+c 的平均数的代数式，整理即可得出答案．
【详解】 解：∵a 、b 、c 的平均数为7，
∴73a b c ++=， ∴1232933
a b c a b c +++++++=+=， 故选：C ．
【点睛】
本题考查计算平均数．掌握平均数的计算公式是解题关键．
5．B
解析：B
【分析】
先将图形展开，根据两点之间，线段最短，利用根据勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：如图所示：沿AC 将圆柱的侧面展开，
底面半径为2cm ，
()4262
BC cm ππ∴==≈ ， 在Rt ABC 中，
8AC cm =，6BC cm =，
()22226810AB AC BC cm ∴=++= ．
故答案为：B ．
【点睛】
本题考查的是平面展开，最短路径问题，立方体的展开图，两点之间线段最短，勾股定理的应用的有关知识．解题的关键是综合运用以上知识解决问题．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据折叠前后对应角相等即可得出CAD C AD '∠=∠，从而得出结论．
【详解】
解：根据折叠的性质可得CAD C AD '∠=∠,
∴线段AD 是ABC 的角平分线，
故选：B ．
【点睛】
本题考查折叠的性质，角平分线的定义．注意折叠前后对应角相等．
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用勾股定理即可求解.
【详解】
解：∵∠C =90∘，
∴AB 2=AC 2+BC 2=32+22=13，
∴正方形面积S =AB 2=13，
故选D.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，属于基础题.
8．C
解析：C
【分析】
根据定义先列不等式：213x x --+和213x x --+，确定其{21y min x =-，3}x -+对应的函数，画图象可知其最大值．
【详解】
解：由题意得：213y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得：435
3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 当213x x --+时，43x
， ∴当43
x 时，{21y min x =-，3}3x x -+=-+， 由图象可知：此时该函数的最大值为53
； 当213x x --+时，43
x ， ∴当43
x 时，{21y min x =-，3}21x x -+=-， 由图象可知：此时该函数的最大值为53
； 综上所述，{21y min x =-，3}x -+的最大值是当43
x =所对应的y 的值，
如图所示，当43x =时，53
y =，
故选：C
【点睛】
本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题．
二、填空题
9．9x >-
【解析】
【分析】
由分式有意义的条件，二次根式有意义的条件进行计算，即可得到答案．
【详解】
解：∵9
y x =+ ∴90x +>，
∴9x >-；
故答案为：9x >-．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握所学的知识，正确的得到90x +>．
10．12
【解析】
【分析】
根据菱形的面积计算公式计算即可；
【详解】
解：由已知得，菱形的面积等于两对角线乘积的一半
即：4×6÷2＝12cm 2．
故答案为：12．
【点睛】
本题主要考查了菱形的面积计算，准确计算是解题的关键．
11．3
【解析】
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x米，则斜边为（8-x）米．利用勾股定理解题即可．
【详解】
解：设竹子折断处离地面x米，则斜边为（8-x）米，
根据勾股定理得：x2+42=（8-x）2
解得：x=3．
∴折断处离地面高度是3米，
故答案为：3．
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
12．E
解析：15
【分析】
利用等腰三角形的的性质求得∠EBC的度数，再由矩形的性质可得．
【详解】
解：∵∠ACB＝30°,CB＝CE，
∴∠EBC＝1
2（180°﹣∠ECB）＝1
2
（180°﹣30°）＝75°，
∵矩形ABCD，
∴∠ABC＝90°,
∴∠ABE＝90°﹣∠EBC＝15°,
故答案为：15°．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和等要三角形的性质，解决这类问题关键是熟练掌握矩形的性质．13．1
【分析】
把()
2,3代入函数解析式即可求解．
【详解】
()
2,3代入1
y kx
=+得3=2k+1
解得k=1
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查求一次函数的解析式，解题的关键是熟知待定系数法的运用．
14．A
解析：AB=BC
【分析】
菱形的判定方法有三种： ①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②四边相等； ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 利用菱形的判定方法可得答案．
【详解】 解： AB=BC ．平行四边形ABCD ，
ABCD ∴是菱形．
故答案为：AB=BC ．
【点睛】
此题主要考查了菱形的判定，熟练地掌握菱形的判定定理是解决问题的关键．
15．2
【分析】
过点作于，设经过点时，与的交点为，根据函数图像，找到经过点和经过点的函数值分别求得，由与轴的夹角为45°，根据勾股定理求得，根据等腰三角的性质求得，进而求得三角形的面积．
【详解】
如
解析：2
【分析】
过点B 作BH AC ⊥于H ，设y x =经过B 点时，与AC 的交点为D ，根据函数图像，找到经过A 点和经过B 点的函数值分别求得,AD DH ，由y x =与x 轴的夹角为45°，根据勾股定理求得BH ，根据等腰三角的性质求得AC ，进而求得三角形的面积．
【详解】
如图①，过点B 作BH AC ⊥于H
由图②可知，当直线y x =平移经过点A 时，1,0==m n ；
随着y x =平移，m 的值增大；
如图，当y x =经过B 点时，与AC 的交点为D ，如图
此时2,2m n ==2BD n =
//AC x ，y x =与x 轴的夹角为45°，
211,45AD BDH ∴=-=∠=︒
ABC ∴为等腰直角三角形，
即BH DH =
222BD BH DH ∴=+
1BH DH ∴==
112AH AD DH =+=+= ABC 是等腰三角形
BH AC ⊥，
12
AH CH AC ∴== 2224AC AH ∴==⨯=
1141222
ABC S AC BH ∴=⨯=⨯⨯=△ 故答案为：2．
【点睛】
本题考查了一次函数图像的平移，等腰三角形的性质，勾股定理，从函数图像上获取信息，及掌握y x =与x 轴的夹角为45°是解题的关键．
16．【分析】
根据折叠的性质和矩形的性质得到BF=DF ，设BF=DF=x ，在△CDF 中，利用勾股定理列出方程，求出x 值，得到DF ，即可计算EF 的值．
【详解】
解：由折叠可知：
AB=BE=CD=3， 解析：78
【分析】
根据折叠的性质和矩形的性质得到BF =DF ，设BF =DF =x ，在△CDF 中，利用勾股定理列出方程，求出x 值，得到DF ，即可计算EF 的值．
【详解】
解：由折叠可知：
AB =BE =CD =3，∠E =∠A =90°，DE =AD =4，∠ADB =∠EDB ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD ∥BC ，
∴∠ADB =∠CBD ，
∴∠CBD =∠EDB ，
∴BF =DF ，设BF =DF =x ，
则CF =4-x ，在△CDF 中，
222+=CD CF DF ，即()2
2234x x +-=， 解得：x =258，即DF =258
， ∴EF =DE -DF =2548-=78， 故答案为：78
． 【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，勾股定理，等角对等边，解题的关键是利用折叠的性质得到相等线段，利用勾股定理列出方程．
三、解答题
17．（1）；（2）
【分析】
（1）根据二次根式乘法法则及零指数幂计算即可；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．
【详解】
解：（1）
＝＋2＋1
＝＋3；
（2）
＝3－
解析：（13；（22
【分析】
（1）根据二次根式乘法法则及零指数幂计算即可；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．
【详解】
解：（10()π+-
2＋1
3；
（2＝
2，
2．
【点睛】
此题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算；注意乘法运算公式的运用．
18．##
【分析】
在直角三角形ABC 中运用勾股定理求出BC 的长，进而求得CE 的长，再在直角三角形EDC 中运用勾股定理求出DC 的长，最后求得AD 的长即可．
【详解】
解：∵在中，
∴
∴
∵在中
∴
∴
解析：0.8##
【分析】
在直角三角形ABC 中运用勾股定理求出BC 的长，进而求得CE 的长，再在直角三角形EDC 中运用勾股定理求出DC 的长，最后求得AD 的长即可．
【详解】
解：∵在Rt ABC 中， 2.5,0.7AB AC == ∴
2.4BC =
∴2CE BC BE =-=
∵在Rt CDE 中 2.5DE = ∴
1.5CD =
∴0.8AD CD AC =-=．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，灵活利用勾股定理解直角三角形成为解答本题的关键．
19．（1）直角三角形，理由见解析；（2）5
【解析】
【分析】
（1）根据网格及勾股定理分别求出AB2、BC2、AC2的长，得出，再根据勾股定理的逆定理判断出三角形ABC 的形状；
（2）判断出AB 和AC
解析：（1）直角三角形，理由见解析；（2）5
【解析】
【分析】
（1）根据网格及勾股定理分别求出AB 2、BC 2、AC 2的长，得出222AB AC BC +=，再根据勾股定理的逆定理判断出三角形ABC 的形状；
（2）判断出AB 和AC 分别为底和高，利用公式直接计算出面积．
【详解】
解：（1）∵222125AB =+=，
2222420AC =+=，
2223425BC =+=，
222AB AC BC ∴+=，
ABC ∴为直角三角形；
（2）由（1）可知：AB AC ==
12ABC S
AB AC = 1
2
= 5=；
ABC ∴的面积为5．
【点睛】
本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，三角形的面积，充分利用网格是解题关键． 20．（1）见解析；（2）四边形的面积．
【分析】
（1）利用平行四边形的性质先证明，可得再证明四边形是平行四边形，从而可得结论；
（2）先求解，，再利用勾股定理求解，从而可得答案.
【详解】
（1）证明
解析：（1）见解析；（2）四边形ABFC 的面积=
【分析】
（1）利用平行四边形的性质先证明ABE FCE ∆≅∆，可得,AB FC =再证明四边形ABFC 是平行四边形，从而可得结论；
（2）先求解6AF DF ==，13
2CF DF ==，再利用勾股定理求解AC =而可得答案.
【详解】
（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，
AB CD
∴=，//
AB CD，
BAE CFE
∴∠=∠，
点E是ABCD中BC边的中点，
BE CE
∴=，
AEB FEC
∠=∠，
()
ABE FCE AAS
∴∆≅∆，
,
AB FC
∴=
//
AB FC，
∴四边形ABFC是平行四边形，
又AF BC
=，
∴平行四边形ABFC为矩形；
（2）解：由（1）得：四边形ABFC为矩形，90
ACF
∴∠=︒，
AFD是等边三角形，
6 AF DF
∴==，
1
3
2
CF DF
==，
AC
∴
∴四边形ABFC的面积
3
AC CF
=⨯==．
【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质与判定，矩形的判定，熟练的使用矩形的判定定理是解题的关键.
21．（1），；（2）；（3）5
【解析】
【分析】
（1）利用分母有理化计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先将a的值化简为，进而可得到，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解
解析：（121；（3）5
【解析】
【分析】
（1）利用分母有理化计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先将a的值化简为1
a=，进而可得到1
a-=221
a a
-=，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：（1
== 2(53)5353(53)(53)，
，53- （2）原式
132-+
1=-
1；
（3）112==-a ，
1a ∴-=
2(1)2a ∴-=，
即2212a a -+=．
221a a ∴-=．
224814(2)1a a a a ∴-+=-+
411=⨯+
5=．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
22．（1），；（2）当甲、乙两气球的海拔高度相差15米时，上升时间是50min ．
【分析】
（1）分别设甲，乙气球在上升过程中的函数解析式，将（0，5），（20，25）和（0，15），（20，25）分别
解析：（1）5y x =+甲，1152
y x =
+乙；（2）当甲、乙两气球的海拔高度相差15米时，上升时间是50min ．
【分析】
（1）分别设甲，乙气球在上升过程中的函数解析式，将（0，5），（20，25）和（0，15），（20，25）分别代入其解析式中，即可得；
（2）根据初始位置及题图可知，当x 大于20时，甲、乙两气球的海拔高度相差15米，列式()15(15)152
x x +-+=即可得． 【详解】
解：（1）设甲气球在上升过程中的函数解析式为：y kx b =+，将（0，5）和（20，25）代入得，
52520b k b =⎧⎨=+⎩
， 解得：15k b =⎧⎨=⎩
， ∴甲气球在上升过程中的函数解析式为：5(0)y x x =+≥，
设乙气球在上升过程中的函数解析式为：y mx n =+，将（0，15）和（20，25）代入得， 152520n m n =⎧⎨=+⎩
， 解得：1215
m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴乙气球在上升过程中的函数解析式为：1152y x =
+， ∴综上：5y x =+甲，1152
y x =+乙； （2）由初始位置及题图可知，
当x 大于20时，甲、乙两气球的海拔高度相差15米时，15y y -=甲乙
∴()15(15)152
x x +-+=， 解得50x =，
∴当甲、乙两气球的海拔高度相差15米时，上升时间是50min ．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是设出解析式并根据题中变量之间的对应关系进行解答．
23．（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）先证，再据ASA 证明△ABP ≌△BCQ ，可证得BP=CQ ；
（2）连接，先证，得到，设AN=x ，用x 表示出ND ；再求出DQ 和的值，再在RT △NDQ
解析：（1）证明见解析；（2）
；（3）． 【分析】
（1）先证
，再据ASA 证明△ABP ≌△BCQ ，可证得BP=CQ ； （2）连接
，先证，得到，设AN=x ，用x 表示出ND ；再求出DQ 和的值，再在RT △NDQ 中用勾股定理列方程求解；
（3）作QG ⊥AB 于G ，先证MB=MQ 并设其为y ，再在RT △MGQ 中用勾股定理列出关于x 、y 的方程，并用x 表示y ；用y 表示出△MBQ 的面积，用x 表示出△
的面积．最后据
用x 、y 表示出S ，并把其中的y 用x 代换即可．
【详解】
（1）在正方形ABCD中
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）在正方形ABCD中
连接，如下图：
由折叠知BC=，
又AB=BC，∠BAN=90°
∴，，
，
，
，
，
，设，
，
，
，
，
．
（3）如下图，作，垂足为G，
由（1）知
∵∠MBQ=∠CQB=∠MQB
∴BM=MQ
设，则．
，
，
，
故．
【点睛】
此题综合考查了正方形性质、三角形全等，勾股定理等知识点，其关键是要熟练掌握相关知识，能灵活应用．
24．（1）①直线BE的解析式为；②点P坐标为（，）或（，）；（2）存在，点M坐标为（，）或（，）或（，）．
【解析】
【分析】
（1）①先求得点E坐标为（0，1），利用待定系数法即可求解；
②过点P作P
解析：（1）①直线BE的解析式为
1
1
3
y x
=+；②点P坐标为（
48
13
，
16
13
）或（
24
13
，
34 13）；（2）存在，点M坐标为（
7
6
-，
25
8
）或（3，
39
8
）或（2，0）．
【解析】
【分析】
（1）①先求得点E 坐标为（0，1），利用待定系数法即可求解；
②过点P 作PG ⊥x 轴交直线BD 于点G ，利用勾股定理及三角形面积公式求得点C 坐标为（163，0），利用待定系数法求得直线AC 的解析式以及点D 坐标，设点P 坐标为（m ，344m -+），则点G 坐标为（m ，113
m +），利用三角形面积公式即可求解； （2）分AM 为对角线、EM 为对角线、FM 为对角线三种情况讨论，求解即可．
【详解】
解：（1）∵点A 坐标为（0，4），点B 坐标为（﹣3，0），
∴OA =4，
∵AE =3OE ，
∴OE =1，
∴点E 坐标为（0，1），
①设直线BE 的解析式为1y kx =+，
∴031k =-+，
解得13
k =， ∴直线BE 的解析式为113
y x =+； ②过点P 作PG ⊥x 轴交直线BD 于点G ，
∵点A 坐标为（0，4），点B 坐标为（﹣3，0），
∴OA =4，OB =3，
∴AB 22435，
∵AC ⊥AB ，AO ⊥BC ，
由勾股定理得：22222AC BC AB AO OC =-=+，
∴()2
222354OC OC +-=+， 解得：OC =163
，
∴点C 坐标为（163
，0）， 设直线AC 的解析式为14y k x =+， ∴16043
k =+， 解得34
k =-， ∴直线AC 的解析式为344
y x =-+， 解方程314143x x -+=+，得3613
x =， 136********
y =⨯+=， ∴点D 坐标为（3613，2513
）， 设点P 坐标为（m ，344m -+），则点G 坐标为（m ，113
m +）， ∴PG =31134134312
m m m -+--=-， ∵S △BOD ＝S △PDB ， ∴()1122D D B BO y PG x x ⨯=-， 即251336333131213m ⎛⎫⨯=-+ ⎪⎝⎭，整理得133112m -= 解得：4813m =
或2413； 当4813
m =时，3164413m -+=；当2413m =时，3344413m -+=； ∴点P 坐标为（
4813，1613）或（2413，3413）； （2）存在，
当AM 为对角线时，
∵四边形AEMF 是菱形，
∴AE =AF = ME =MF ，则∠AEF =∠AFE ，
∵∠ABF +∠AFE =90°，∠EBO +∠BEO =90°，∠AEF =∠BEO ，
∴∠ABF =∠EBO ，
过点F 作FH ⊥x 轴于点H ，
则AF= FH，
∴点H与点M重合，
∴BM=BA=5，则OM=2，
∴点M坐标为（2，0）；
当EM为对角线时，
∵四边形AEFM是菱形，
∴AE=EF= FM=AM，则∠EAF=∠AFE，
∵∠ABF+∠AFE=90°，∠BAE+∠EAF=90°，∴∠ABF=∠BAE，
∴BE=EA，
设BE=EA=x，
在Rt△BEO中，EO=4-x，BO=3，
∴()222
43
x x
-+=，
解得：
25
8
x=，
即BE=EA=EF=FM=25
8
，
延长MF交x轴于点I，
则OE∥FI，即OE是△BFI的中位线，
∴FI=2EO=2(4-25
8)=
7
4
，OI=OB=3，
∴MI=25739
848
+=
∴点M坐标为（3，39
8
）；
当FM为对角线时，
∵四边形AFEM是菱形，
∴MF是线段AE的垂直平分线，AF=EF= EM=AM，MF∥BC，∴∠AFM=∠EFM，∠AFM=∠ACB，∠MFE=∠FBC，
∴∠FBC=∠FCB，
过点F作FJ⊥x轴于点J，
∴BJ=JC，
∵BC=1625
3
33
+=，
∴OJ=7
6，即点F的横坐标为
7
6
，
∴3725
4
468
y=-⨯+=，
∴点F的坐标为（7
6，
25
8
），
根据对称性，点M坐标为（
7
6
-，
25
8
）；
综上，点M坐标为（
7
6
-，
25
8
）或（3，
39
8
）或（2，0）．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象和性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
25．（1）AM=AD+MC，见解析；（2）成立，见解析；（3）结论AM=AD+MC 仍然成立，结论AM=DE+BM不成立
【分析】
（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长、交于点，如图1（1），易证，从
解析：（1）AM=AD+MC，见解析；（2）成立，见解析；（3）结论AM=AD+MC仍然成立，结论AM=DE+BM不成立
【分析】
（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE 、BC 交于点N ，如图1（1），易证ADE NCE △≌△，从而有AD CN =，只需证明AM NM =即可；
（2）作FA AE ⊥交CB 的延长线于点F ，易证AM FM =，只需证明FB DE =即可；要证FB DE =，只需证明它们所在的两个三角形全等即可；
（3）在图2（1）中，仿照（1）中的证明思路即可证到AM AD MC =+仍然成立；在图2（2）中，采用反证法，并仿照（2）中的证明思路即可证到AM DE BM =+不成立．
【详解】
解：（1）AM =AD +MC ．理由如下：
如图1（1）所示，分别延长AE ，BC 交于点N ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD //BC ，
∴∠DAE =∠ENC ，
∵AE 平分∠DAM ，
∴∠DAE =∠MAE ，
∴∠ENC =∠MAE ，
∴MA =MN ，
∵E 是CD 的中点，
∴DE =CE ， 在ADE 与NCE 中，
DAE ENC AED NEC DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ADE ≌NCE （AAS ），
∴AD =NC ，
∵MN =NC +MC ，
∴AM =AD +MC ；
（2）AM =DE +BM 成立．理由如下：
如图1（2）所示，将ADE 绕点A 顺时针旋转90°，得到ABF ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB //DC ，∠D =∠ABM =90°，
∴∠AED =∠BAE ，
∵旋转，
∴∠F =∠AED ，∠FAB =∠EAD ，BF =ED ，∠D =∠ABF =90°，
∴∠ABM ＋∠ABF =180°，
∴点F 、B 、M 在同一直线上，
∵AE 平分∠DAM ，
∴∠DAE =∠MAE ，
∴∠BAF =∠MAE ，
∵∠BAE =∠BAM +∠MAE ，
∴∠AED =∠BAM +∠BAF =∠FAM ，
∴∠F =∠FAM ，
∴AM =FM ，
∵FM =BF +BM
∴AM =DE +BM ；
（3）①结论AM =AD +MC 仍然成立，理由如下：
①如图2（1），延长AE 、BC 交于点P ，
四边形ABCD 是矩形，
//AD BC ∴．
DAE EPC ∴∠=∠．
AE ∵平分DAM ∠，
DAE MAE ∴∠=∠．
EPC MAE ∴∠=∠．
MA MP ∴=． 在ADE 与PCE 中，
DAE ENC AED PEC DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ADE ≌PCE （AAS ），
AD PC ∴=．
∵MP =PC +MC ，
∴AM =AD +MC ；
②结论AM DE BM
=+不成立，理由如下：
假设AM DE BM
=+成立．
⊥，交CB的延长线于点Q，如图2（2）所示．
过点A作AQ AE
四边形ABCD是矩形，
AB DC．
BAD D ABC
90
∴∠=∠=∠=︒，//
⊥，
AQ AE
∴∠=︒．
90
QAE
∴∠=︒-∠=∠．
QAB BAE DAE
90
Q QAB DAE AED
∴∠=︒-∠=︒-∠=∠．
9090
AB DC，
//
∴∠=∠．
AED BAE
∠=∠=∠，
QAB EAD EAM
∴∠=∠=∠+∠
AED BAE BAM EAM
=∠+∠，
BAM QAB
∴∠=∠．
Q QAM
∴=．
AM QM
∴=+．
AM QB BM
=+，
AM DE BM
QB DE
∴=．
ABQ ADE AAS
∴△≌△，
()
∴=．与条件“AB AD
AB AD
≠“矛盾，故假设不成立．
AM DE BM
∴=+不成立．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了正方形及矩形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义等知识，考查了基本模型的构造（平行加中点构造全等三角形），考查了反证法的应用，综合性比较强．添加辅助线，构造全等三角形是解决这道题的关键．
26．(1)；(2)；(3)见解析
【分析】
（1）利用勾股定理求出BC，再利用面积法求出AE即可．
（2）如图2中，过点作于点，先求得，根据含30度角的直角三角形的性质求得，设，勾股定理求得进而求得，利
解析：(1)1655；(2)1683-；(3)见解析 【分析】
（1）利用勾股定理求出BC ，再利用面积法求出AE 即可．
（2）如图2中，过点F 作FG
AC 于点G ，先求得30EAC ∠=︒，根据含30度角的直角三角形的性质求得EC ，设FG x =，勾股定理求得AF 进而求得EF ，利用三角形面积公式
即可求得CEF 的面积；
（3）如图3中，过A 点作AM ⊥CD 于点M ，与BC 交于点N ，连接DN ，证明
△AMF ≌△DMN （ASA ），推出AF ＝DN ＝CN ，再证明△APF ≌△DBN （SAS ），可得结论．
【详解】
（1）∵AB ＝2AC ，AC ＝8，
∴AB ＝16， ∵∠BAC ＝90°，
∴BC ＝222281685AC AB +=+=， ∵AE ⊥BC ，
∴S △ABC ＝1122BC AE AC AB ⨯⨯＝， ∴AE ＝816165585
⨯＝． （2）如图，过点F 作FG AC 于点G ，则90FGC ∠=︒，
∠B ＝30°，90BAC ∠=︒，8AC =,
60ACB ∠=︒∴，216BC AC ==,
2283AB BC AC ∴-=
∴1432
AE AB == AE ⊥BC ，
30EAC ∴∠=︒，
142
EC AC ∴== 设FG x =，则2AF x =，2233AG AF FG FG x -==，
90,45FGC ACD ∠=︒∠=︒，
FG GC x ∴==，
8AC =，
8AG x ∴=-，
38x x ∴=- 解得434x =-
2838AF x ∴==-
43(838)843EF AE AF ∴=-=--=-
11(843)4168322
CEF S EF AC ∴=⋅=-⨯=-△ （3）证明：如图3中，过A 点作AM ⊥CD 于点M ，与BC 交于点N ，连接DN ．
∵∠BAC ＝90°，AC ＝AD ，
∴AM ⊥CD ，AM ＝DM ＝CM ，∠DAM ＝∠CAM ＝∠ADM ＝∠ACD ＝45°，
∴DN ＝CN ，
∴∠NDM ＝∠NCM ，
∵AE ⊥BC ，
∴∠ECF ＋∠EFC ＝∠MAF ＋∠AFM ＝90°，
∵∠AFM ＝∠EFC ，
∴∠MAF ＝∠ECF ，
∴∠MAF ＝∠MDN ，
∵∠AMF ＝∠DMN ，
∴△AMF ≌△DMN （ASA ），
∴AF ＝DN ＝CN ，
∵∠BAC ＝90°，AC ＝AD ，
∴∠DAM ＝∠CAM ＝∠ADM ＝∠ACD ＝45°，
∴∠NAP ＝∠CDB ＝135°，
∵∠MAF ＝∠MDN ，
∴∠PAF ＝∠BDN ，
∵AP ＝DB ，
∴△APF ≌△DBN （SAS ），
∴PF ＝BN ，
∵AF ＝CN ，
∴PF ＋AF ＝CN ＋BN ，
即PF ＋AF ＝BC ．
【点睛】
考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形是解题的关键．。