人教A版高考数学一轮总复习课后习题 课时规范练29 两角和与差的三角函数、二倍角公式

课时规范练29 两角和与差的三角函数、二倍角公式
基础 巩固练
1.(华南师大附中校考)sin α=√33
,α∈(0,π
2
),β=π
4
,则
tan(α-β)=( ) A.2√2-1 B.2√2-3 C.2√2+3
D.3-2√2
2.(广东深圳模拟)已知tan α2
=2,则1+cosαsinα
的值是( ) A.√22
B.2
C.√2
D.1
2
3.(全国乙,文6)cos 2π12
-cos 25π12
=( ) A.1
2
B.√33
C.√22
D.√32
4.(多选题)(海南高三学业水平诊断)已知α∈(π2
,π),且cos 2α-cos 2α=1
5,则( )
A.tan α=-12
B.sin 2α=4
5
C.cos 2α=35
D.tan 2α=-3
4
5.(广东深圳中学模拟)已知cos 2x=-13
,则cos 2(x-π6
)+cos 2(x+π
6
)的值为
( ) A.9
16
B.5
6
C.13
20
D.17
24
6.(广东茂名模拟)下列四个函数中,最小正周期T 与其余三个函数不同的是( )
A.f(x)=cos 2x+sin xcos x
B.f(x)=
1-cos2x 2sinxcosx
C.f(x)=cos(x+π3)+cos(x-π3
)
D.f(x)=sin(x+π
6
)cos(x+π
6
)
7.(广东梅州模拟)在平面直角坐标系中,点A(2,1)绕着原点O 顺时针旋转60°得到点B,点B 的横坐标为 .
8.(河北邢台模拟)函数f(x)=sin 3x
2
cos x
2
-sin x
2
cos 3x
2
的最小值
为 .
9.(山东淄博模拟)若sin(θ+π
6
)=1
3,θ∈(0,π),则cos θ= .
综合 提升练
10.(福建厦门模拟)如图,cos(θ+3π
4)=( )
A.-2√5
5
B.-√55
C.-4
5
D.
2√5
5
11.(山东泰安高三期末)已知函数f(x)=2sin x+4cos x在x=φ处取得最大值,则cos φ=()
A.2√5
5B.√5
5
C.-√5
5
D.-2√5
5
12.(浙江杭州、宁波4月联考)已知tan(α+β),tan(α-β)是关于=( )
A.9
5B.4 C.-12 D.-10
3
13.(江苏南京模拟)若tan αtan βtanα
2tanβ
2
=1,则cos α+cos
β=.
创新应用练
14.(浙江镇海中学模拟)赵爽弦图是中国古代数学的重要发现,它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).已知小正
方形的面积为1,直角三角形中较小的锐角为θ,且tanθ
2=1
3
,则大正方形
的面积为( )
A.4
B.5
C.16
D.25
15.(湖南长郡中学模拟)已知α,β∈(0,π
2
),sin(2α+β)=2sin β,则tan β的最大值为( )
A.1
2B.√3
3
C.√2
2
D.√3
2
课时规范练29 两角和与差的三角函数、二倍角公式
1.B 解析由sinα=√3
3
,α∈(0,π
2
),则cosα=√1-sin 2α=
√6
3,tanα=sinαcosα
=
√2
2.∵β=π4,∴tanβ=1.∴tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ
=
√2
2-11+
√22=2√2-3.
2.D 解析由tan α2
=2,则
1+cosαsinα
=
1+2cos 2α2
-12sin α2
cos α2
=
cos 2
α2
sin α2
cos
α2
=1tan α2
=12
. 3.D 解析原式=cos 2π12
-cos 2(π2
−π12
)=cos 2π
12
-sin 2π
12
=cos π6
=
√32. 4.AC 解析cos 2α-cos2α=cos 2α-(cos 2α-sin 2α)=sin 2α=15
,因为α∈(π
2,π),所以sinα=√55
,cosα=-√1-sin 2α=-2√55
,所以
tanα=
sinαcosα
=-12
,sin2α=2sinαcosα=-45
,cos2α=1-2sin 2
α=3
5
,tan2α=
sin2αcos2α
=-43
.故选AC.
5.B 解析cos 2(x-π6
)+cos 2(x+π6
)=
1+cos(2x -π3
)
2+
1+cos(2x+π3
)
2
=
1+12
cos2x+
√3
2
sin2x 2
+
1+12cos2x -√3
2
sin2x 2
=1+12
cos2x=1+12
×(-13
)=56
.
6.C 解析对于A,f(x)=
1-cos2x
2
+12
sin2x=√22
sin(2x-π4
)+12
,∴T=π;对于
B,sinx≠0且cosx≠0,f(x)=
1-(1-2sin 2x )2sinxcosx
=
2sin 2x 2sinxcosx
=tanx,∴T=π;对于
C,f(x)=12cosx-√32
sinx+12
cosx+√32sinx=cosx,∴T=2π;对于D,f(x)=12
sin2(x+π
6
)=1
2sin(2x+π3
)∴T=π.
7.1+√32
解析由题意得|OA|=√22+12=√5,设OA 与x 轴正半轴的夹角为α,则sinα=√5
,cosα=√5
,则OB 与x 轴正半轴的夹角为α-60°,故点B
的横坐标为√5cos(α-60°)=√5×(√5
×12
+
√5
×
√32)=1+√32
. 8.-1
4 解析因为
f(x)=sin 3x 2
cos x 2
-sin x 2
cos 3x 2
=sin x 2
cos x 2
(sin 2x 2
-cos 2x 2
)=-12
sinxcosx=-1
4
sin2x,
所以当2x=π2
+2kπ,k∈Z 时,sin2x=1,此时f(x)取得最小值-1
4
.
9.
1-2√66 解析∵θ∈(0,π),∴θ+π6
∈(π6
,
7π
6
).又sin(θ+π6
)=1
3
,若
θ+π6
∈(π6,π2
),则sin(θ+π6
)>sin π6
=12
,与sin(θ+π6
)=13
矛盾,∴θ+π
6∈[π
2,π),∴cos(θ+π
6)=-√1-sin 2(θ+π
6
)=-2√23,∴cosθ=cos (θ+π6−
π6
)=cos(θ+π6
)cos π6
+sin(θ+π6
)sin π
6
=-2√2
3
×
√32
+13
×12
=1-2√66
.
10.A 解析设终边过点Q 的角为α,终边过点P 的角为β,由三角函数的定义可得sinα=
√22+22
=
√2
2,cosα=√22+2
2=
√2
2,sinβ=√22+1
2=
√5
5,cosβ=√22+1
2=
2√5
5
,所以sinθ=sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=
√22
×
2√55
−
√22
×
√55
=
√10
10,cosθ=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=√22×
2√5
5
+
√22
×√55
=
3√10
10,所以cos(θ+3π4
)cosθcos 3π4
-sinθsin
3π4
=
3√1010
×(-√22)-
√1010
×
√22=-2√55
.
11.A 解析因为f(x)=2sinx+4cosx=2√5sin(x+θ),其中sinθ=
2√5
=
√5
,cosθ=
2√5
=
√5
,因为当x=φ时,f(x)取得最大值,所以
φ+θ=π2
+2kπ,k∈Z,即φ=π2
-θ+2kπ,k∈Z,所以cosφ=cos (π
2-θ+2kπ)=sinθ=
√5
=
2√5
5
. 12.C 解析∵tan(α+β),tan(α-β)是关于
2
+16>0,tan(α+β)+tan(α-β)=-m,tan(α+β)·tan(α-β)=-4,∴
tan2α=tan[(α+β)+(α-β)]=
tan (α+β)+tan (α-β)1-tan (α+β)tan (α-β)
=-m 5
.又tan2α=
2tanα
1-tan 2α
=
43
1-
49
=
125
,∴-m 5
=
125
,解得m=-12.
13.1 解析由tanαtanβtan α2
tan β2
=1,可得
sinαsinβsin α
2
sin β
2
=cosαcosβ·cos α
2
cos β
2
,又由正弦的倍角公式,可得
4sin 2α2cos α2
sin 2β2
cos β2
=cosα·cosβcos α2
cos β
2
,即
4sin 2α2
sin 2β2
=cosαcosβ=(1-2sin 2α2
)(1-2sin 2β2
),令x=sin 2α2
,y=sin 2β
2
,则
4xy=(1-2x)(1-2y)=1-2x-2y+4xy,解得x+y=1
2
,所以
cosα+cosβ=1-2sin 2α2
+1-2sin 2β
2
=2-2(x+y)=1.
14.D 解析因为tan θ2
=1
3
,所以tanθ=
2tan
θ21-tan 2
θ
2
=
2×
13
1-(13
) 2
=3
4
,由题意小正方
形的面积为1,则小正方形的边长为1.设直角三角形较短的直角边长为a,
则较长的直角边长为a+1,所以tanθ=
a
a+1
=3
4
,解得a=3,所以大正方形的
边长为√a 2+(a +1)2
=√32+42=5,故大正方形的面积为25.
15.B 解析因为α,β∈(0,π
2
),sin(2α+β)=2sinβ,所以
sin[(α+β)+α]=2sin[(α+β)-α],sin(α+β)cosα+cos(α+β)sin α=2[sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα],即
3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα,所以tan(α+β)=3tanα,因为tanα>0,tanβ>0,所以tanβ=tan[(α+β)-α]=tan (α+β)-tanα1+tan (α+β)tanα
,所以
tanβ=
2tanα1+3tan 2α=
2
1
tanα
+3tanα≤
2√
1
tanα
·3tanα=
√3
3,当且仅当1tanα=3tanα,即tanα=√33
时,等号成立,所以tanβ的最大值为√33
.。