【数学】山东省淄博市淄川中学高二上学期期中考试试题(解析版)

山东省淄博市淄川中学 高二上学期期中考试试题
第I 卷（选择题52分)
一、单选题(共10小题,每小题4分,共40分) 1．已知a ，b ，m ∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则
＞
B ．若a ＜b ，则am 2＜bm 2
C ．若＜，则a ＞b
D ．若a 3＞b 3，则a ＞b
2．等差数列{}n a 中，3485,22a a a =+= ，则9a 的值为 ( ) A ．14
B ．17
C ．19
D ．21
3．双曲线方程为＝1，则渐近线方程为（ ） A ．y ＝±x
B ．y ＝±2x
C ．y ＝±x
D ．y ＝x
4．如图，空间四边形OABC 中，＝，
＝，
＝，点M 在线段OA 上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，则＝（ ） A ．﹣++
B ．﹣+
C ．
+﹣ D ．
+
﹣
5．在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝32，则a 2＝（ ） A ．﹣1 B ．1
C ．±1
D ．2
6．已知椭圆
+
＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴长为
，离心率
为．过点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为（ ） A ．4
B ．8
C ．16
D ．32
7．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点过F 且倾斜角为60°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，则|AB |＝（ ） A ．8
B ．
C ．16
D ．
8．设数列{}n a 的通项公式为27n a n =-，则1215a a a ++
+=（ ）
A．153B．210C．135D．120
9．已知m+n＝4，其中m＞0，n＞0，则+的最小值是（）
A．9B．4C．D．
10．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人共行走了189里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则该人第一天行走的路程为（）
A．108里B．96里C．64里D．48里
二、多选题(共3小题,每小题4分,共12分)
11．若a，b，c∈R，则下列说法正确的是（）
A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若ab＞0，则≥2
C．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则
12．设{a n}(n∈N∗)是等差数列，S n是其前项的和，且S
5<S
6
，S
6
=S
7
>S
8
，则下列结论正
确的是（）
A.d<0
B.a7=0
C.S9>S5
D.S6与S7均为S n的最大值
13．已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且＝0．双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点，若∠F1PF2＝，则正确的是（）A．＝2B．e1•e2＝
C．e＝D．e＝1
第II卷（非选择题98分)
三、填空题(共4小题,每小题4分,共16分)
14．函数y＝x+（x<3）的最大值为．
15．已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝
∠DAA1＝60°，则AC1＝．
16．已知A（2，）是椭圆＝1上一点，F是椭圆的右焦点，设点F到直线x＝4的距离为d，则m＝，＝．
17．已知双曲线的渐近线方程为，并且焦距为20，则双曲线的标准方程为．四、解答题(共6小题,共82分)
18．（12分）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）以（0，12）和（0，﹣12）为焦点，且椭圆上一点p到两焦点的距离之和为26；
（2）以椭圆7x2+3y2＝21的焦点为焦点，且经过M（2，）．
19．（14分）已知等差数列{a n}的各项为正数，其公差为1，a2•a4＝5a3﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n＝+2n﹣1，求b1+b2+…+b10．
20．（14分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1和对角线DB1的中点．（1）证明：MN∥平面ABCD；
（2）求直线MN与直线CB1所成角的大小．
21．（14分）已知数列{a n}为等差数列，a3＝5，S4＝16．
（1）求数列{a n}的公差d和通项公式a n；
（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和为T n．
22．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2n+1﹣2．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设c n＝（2n+1）a n，求数列{c n}的前n项和T n．
23．（14分）已知椭圆的离心率为，椭圆C过点．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（0，m）作圆x2+y2＝1的切线l交椭圆C于A，B两点，记△AOB（O为坐标原点）的面积为S△AOB，将S△AOB表示为m的函数，并求S△AOB的最大值．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．已知a，b，m∈R，则下列说法正确的是（）
A．若a＞b，则＞B．若a＜b，则am2＜bm2
C．若＜，则a＞b D．若a3＞b3，则a＞b
【解答】解：A．a＞b得不出，比如，a＝4，b＝﹣2时；
B．m＝0时，a＜b得不出am2＜bm2；
C.得不出a＞b，比如，a＝﹣2，b＝4；
D．∵y＝x3是增函数，∴a3＞b3得出a＞b．
故选：D．
2．等差数列{a n}中，a3＝5，a4+a8＝22，则a9的值为（）
A．14B．17C．19D．21
【解答】解：在等差数列{a n}中，由a4+a8＝22，得2a6＝22，
又a3＝5，由等差数列的性质可得：a9＝2a6﹣a3＝22﹣5＝17．
故选：B．
3．双曲线方程为＝1，则渐近线方程为（）
A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝x
【解答】解：∵双曲线方程为，则渐近线方程为，即，故选：A．
4．如图，空间四边形OABC中，＝，＝，＝，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，则＝（）
A．﹣++B．﹣+
C．+﹣D．+﹣
【解答】解：＝，
＝+﹣+，
＝++﹣，
＝﹣++，
∵＝，＝，＝，
∴＝﹣++，
故选：A．
5．在等比数列{a n}中，a2a3a4＝8，a7＝32，则a2＝（）
A．﹣1B．1C．±1D．2
【解答】解：等比数列{a n}中，a2a3a4＝8，则a33＝8，则a3＝2，
∵a7＝32，
∴q4＝＝16，
解得q＝±2，
∴a2＝±1，
故选：C．
6．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为，离心率为．过点F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（）
A．4B．8C．16D．32
【解答】解：∵＝＝1﹣＝，又b2＝12，∴a2＝16，∴a＝4，
△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝4a＝16．
故选：C．
7．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点过F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，则|AB|＝（）
A．8B．C．16D．
【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴F且倾斜角为60°的直线y＝（x﹣1），
∴，整理得3x2﹣10x+3＝0，
由韦达定理可知x1+x2＝，
由抛物线的定义可知：|AB|＝p+x1+x2＝2+，
故选：D．
8．设数列的通项公式为a n＝2n﹣7，则|a1|+|a2|+…+|a15|＝（）
A．153B．210C．135D．120
【解答】解：令a n＝2n﹣7≥0，解得．
∴从第4项开始大于0，
∴|a1|+|a2|+…+|a15|＝﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+…+a15＝5+3+1+1+3+…+（2×15﹣7）
＝9+＝153．
故选：A．
9．已知m+n＝4其中m＞0，n＞0，则+的最小值是（）
A．9B．4C．D．
【解答】解：∵函数y＝log a（x+2）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣1，﹣1），∴将点（﹣1，﹣1）代入mx+ny+4＝0，得m+n＝4，
∵m＞0，n＞0，
则+＝（m+n）（）＝＝
当且仅当且m+n＝4即n＝时取得最小值．
故选：D．
10．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人共行走了189里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则该人第一天行走的路程为（）
A．108里B．96里C．64里D．48里
【解答】解：根据题意，记该人每天走的路程里数为{a n}，则数列{a n}是以的为公比的等比数列，
又由这个人走了6天后到达目的地，即S6＝189，则有S6＝＝189，
解可得：a1＝96，
故选：B．
11．（4分）若a，b，c∈R，则下列命题中为真命题的是（）
A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若ab＞0，则≥2
C．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则
【解答】解：对于选项A，当c＝0时，若a＞b，则ac2＝bc2，故A错误，
对于选项B，因为ab＞0，所以，，所以≥2＝2，当且仅当，即a2＝b2时取等号，故B正确，
对于选项C，因为a＞|b|，由不等式的性质可得：a2＞b2，显然选项C正确，
对于选项D，取a＝1，b＝﹣1时，显然选项D错误，
综上可知：选项BC正确，
故选：BC．
12．ABD【解析】S6=S5+a6>S5，则a6>0，S7=S6+a7=S6，则a7=0，则d=a7−a6< 0，S8=S7+a8<S7，a8<0．a6+a8=a5+a9=2a7=0，∴S5=S9，
由a7=0,a6>0知S6,S7是{S n}中的最大值．
从而ABD均正确．
故选ABD．
13．（4分）已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且＝0．双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点，若∠F1PF2＝，则正确的是（）A．＝2B．e1•e2＝
C．e＝D．e＝1
【解答】解：如图所示，设双曲线的标准方程为：﹣＝1（a1，b1＞0），半焦距为c．
∵椭圆C1的上顶点为M，且＝0．
∴∠F1MF2＝，
∴b＝c，∴a2＝2c2．
∴e1＝＝．
不妨设点P在第一象限，设|PF1|＝m，|PF2|＝n．
∴m+n＝2a，m﹣n＝2a1．
∴mn＝＝a2﹣．
在△PF1F2中，由余弦定理可得：4c2＝m2+n2﹣2mn cos＝（m+n）2﹣3mn＝4a2﹣3（a2﹣）．
∴4c2＝a2+3．
两边同除以c2，得4＝+，解得：e2＝．
∴e1•e2＝•＝．
故选：BD．
三、填空题：
14．故答案为：1．
15．已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1＝．
【解答】解：∵AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
∴＝＝＝，
∵＝，
∴＝+++2+2+2＝6，
∴||＝．
故答案为：．
16．已知A（2，）是椭圆＝1上一点，F是椭圆的右焦点，设点F到直线x＝4的距离为d，则m＝8，＝．
【解答】解：A（2，）是椭圆＝1上一点，代入可得：＝1，解得m＝8．∴c＝＝2．
∴F（2，0）．
∴|AF|＝＝．
点F到直线x＝4的距离为d＝2，＝．
故答案为：8，．
17．已知双曲线的渐近线方程为，并且焦距为20，则双曲线的标准方程为
．
【解答】解：当焦点在x轴上时，∵双曲线的渐近线方程为，并且焦距为20，∴，∴
∴双曲线的标准方程为；
当焦点在y轴上时，∵双曲线的渐近线方程为，并且焦距为20，
∴，∴
∴双曲线的标准方程为
综上知，双曲线的标准方程为
故答案为：
四、解答题(共6小题,共82分)
18．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）以（0，12）和（0，﹣12）为焦点，且椭圆上一点p到两焦点的距离之和为26；
（2）以椭圆7x2+3y2＝21的焦点为焦点，且经过M（2，）．
【解答】解：（1）∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设其方程为，
∵2a＝26，∴a＝13，又c＝12，则b2＝a2﹣c2＝25．
∴所求椭圆方程为；
（2）由7x2+3y2＝21，得．
可得c2＝a2﹣b2＝4，即c＝2．
∴所求椭圆焦点为（0，﹣2），（0，2），
设椭圆方程为，
由M（2，）在椭圆上，则2a＝＝．∴a＝2，则b2＝a2﹣c2＝8．
∴所求椭圆方程为．
19．已知等差数列{a n}的各项为正数，其公差为1，a2•a4＝5a3﹣1．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n＝+2n﹣1，求b1+b2+…+b10．
【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的各项为正数，其公差为1，a2•a4＝5a3﹣1．
∴（a1+1）（a1+3）＝5（a1+2）﹣1，
解得a1＝3，或a1＝﹣2（舍），
∴数列{a n}的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d＝3+（n﹣1）＝n+2．
（2）∵b n＝+2n﹣1＝2n+2n﹣1，
∴b1+b2+…+b10
＝（2+22+23+…+210）+2（1+2+3+…+10）﹣10×1
＝+2×﹣10
＝2046+110﹣10
＝2146．
20．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1和对角线DB1的中点．（1）证明：MN∥平面ABCD；
（2）求直线MN与直线CB1所成角的大小．
【解答】证明：（1）连结BD，∵M，N分别是棱BB1和DB1的中点，
∴MN∥BD，
∵MN⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD．
解：（2）设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，
以D为原点，DA，DC，DD1的方向分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），B1（1，1，1），
∴M（1，1，），N（），＝（﹣1，0，1），＝（﹣，﹣，0），∴cos＜＞＝＝＝．
∴＜＞＝，
∴直线MN与直线CB1所成角的大小为．
21．已知数列{a n}为等差数列，a3＝5，S4＝16．
（1）求数列{a n}的公差d和通项公式a n；
（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和为T n．
【解答】解：（1）数列{a n}为等差数列，设公差为d，a3＝5，S4＝16．
则：，
解得：a1＝1，d＝2，
则：a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，
（2）由于：a n＝2n﹣1，
所以：b n＝＝＝，
所以：，
＝，
＝．
22．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2n+1﹣2．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设c n＝（2n+1）a n，求数列{c n}的前n项和T n．
【解答】解：（1）S n＝2n+1﹣2，
可得n＝1时，a1＝S1＝4﹣2＝2，
n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n+1﹣2﹣2n+2＝2n，
上式对n＝1也成立，
则数列{a n}的通项公式为a n＝2n，n∈N*；
（2）c n＝（2n+1）a n＝（2n+1）•2n，
前n项和T n＝3•2+5•22+7•23+…+（2n+1）•2n，
2T n＝3•22+5•23+7•25+…+（2n+1）•2n+1，
相减可得﹣T n＝6+2（22+23+…+2n）﹣（2n+1）•2n+1
＝6+2•﹣（2n+1）•2n+1，
化简可得T n＝（2n﹣1）•2n+1+2．
23．已知椭圆的离心率为，椭圆C过点．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（0，m）作圆x2+y2＝1的切线l交椭圆C于A，B两点，记△AOB（O为坐标原点）的面积为S△AOB，将S△AOB表示为m的函数，并求S△AOB的最大值．
【解答】解：（1）∵椭圆的离心率为，
∴a＝2b，设椭圆C的方程为：，
∵椭圆C过点，
∴，∴b＝1，a＝2，
∴椭圆C的标准方程为．…（4分）
（2）由题意知，|m|≥1．
由题设知切线l的斜率存在，设切线l的方程为y＝kx+m，
由，得，
设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），
则，…（6分）
又∵l与圆x2+y2＝1相切，
∴＝1，k2＝m2﹣1，
∴|AB|＝
＝
＝，
∴，m∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
∴（当且仅当时取等号）∴当时，S△AOB的最大值为1．…（13分）。