四川省泸县第二中学2018届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析

2017年秋四川省泸州市泸县第二中学高三期末考试
数学试题（理）
第I卷（选择题 60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由有，所以集合，由有，所以集合，则，选A.
2. 已知，则“”是“”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】已知，则“等价于。

等价于
........................
故则“”是“”的必要不充分条件。

故答案为：B。

3. 若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为
A. -6
B. -2
C.
D. 6
【答案】A
【解析】由题意得，
∵ 复数是纯虚数，
∴，解得．选A．
4. 下列程序框图中，输出的的值是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由程序框图知：
第一次循环后 2
第二次循环后 3
第三次循环后 4
…
第九次循环后10
不满足条件，跳出循环．则输出的为．
故选B．
5. 已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则＝
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设等比数列{a n}的公比为q，显然q≠1，由，得q3＝－，所以
选A.
6. 的展开式中，的系数为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由于，的展开式的通项公式：第项为，令，则，令，则，所以的系数为
，选B.
7. 已知随机变量X服从正态分布N（3，δ2），且P（x≤6）=0.9，则P（0＜x＜3）=
A. 0.4
B. 0.5
C. 0.6
D. 0.7
【答案】A
【解析】∵P（x≤6）=0.9，
∴P（x＞6）=1﹣0.9=0.1．
∴P（x＜0）=P（x＞6）=0.1，
∴P（0＜x＜3）=0.5﹣P（x＜0）=0.4．
故答案为：A。

8. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到，所以，令，，所以当，选C.
点睛：本题主要考查了函数图象的变换规律，函数的对称轴问题，属于中档题。

9. 已知三棱锥，侧面底，则三棱锥的外接球的表面积为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】建系以AB 为x轴，以AC为y轴，以A点为原点，建系，球心一定在底面三角形ABC 的外心的正上方，设球心点坐标为O（2，2，z）,P(0,3,1),C(0,4,0),根据球心的定义知
|OC|=|OP|
即
故圆心为，半径为OC=3表面积为36.
故答案为：D.
点睛：这个题目考查的是三视图和球的问题相结合的题目，涉及到三视图的还原，外接球的体积或者表面积公式。

一般三试图还原的问题，可以放到特殊的正方体或者长方体中找原图。

找外接球的球心，常见方法有：提圆心；建系，直角三角形共斜边则求心在斜边的中点上。

10. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
【答案】A
【解析】
由已知AB2＋BC2＝AC2，则AB⊥BC.分别以BC，BA，BB1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设AA1＝2a，则A(0,1,0)，C(，0,0)，D，E(0,0，a)，所以＝，平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0,1,0)，
cos〈，n〉＝，
〈，n〉＝60°，所以直线DE与平面BB1C1C所成的角为30°.故选A.
点睛：(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角后(求出是钝角时取其补角)，取其余角即为直线与平面所成的角．(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1求出其值．不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所成夹角的余弦值即为所求．11. 在中，，，的交点为，过作动直线分别交线段
于两点，若，，（），则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由A,M,D三点共线可知，存在实数t，使得,同理由C,M,B
三点共线，存在实数m，使得,所以有，解得，所以,设，所以，所以，即，所以的最小值为
，选D.
点睛：本题主要考查平面向量在几何中的应用，三点共线的充要条件，基本不等式的应用，属于中档题。

12. 已知偶函数的导函数为,且满足,当时, ,则使
成立的的取值范围为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设，则
∵当时，总有成立，即当时，
∴当时，函数在上单调递减
∵函数为偶函数，且
∴函数为偶函数，
∴在上的函数值大于零，即在上的函数值大于零
故选B
构造函数，借助导数研究函数单调性，利用函数图像解不等式问题，是近年高考热点，怎样构造函数，主要看题目所提供的导数关系，常见的有与的积或商，与的积或商，与的积或商，与的积或商等，主要看题目给的已知条件，借助导数关系说明导数的正负，进而判断函数的单调性，再借助函数的奇偶性和特殊点，模拟函数图象，解不等式.
二、填空题（本大题共4个小题，5分每题，共20分）
13. 若，且，则__________．
【答案】
【解析】由诱导公式有，且，，则。

点睛：本题主要考查三角函数的诱导公式和同角三角函数公式，属于基础题。

14. 已知实数，满足则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，由图可知，平移直线，当直线过点时，有最小值，当直线过点时，有最大值，故
的取值范围是，故答案为.
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最
后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
15. 将4个男生和3个女生排成一列，若男生甲与其他男生不能相邻，则不同的排法数有
_______种（用数字作答）
【答案】1440
【解析】。

点睛：本题中男生甲不能与其他男生相邻，所以利用计数原理中的分布分类原理解题。

分两种情况。

（1）男生甲在两个女生之间，捆绑模型处理；（2）男生甲和一个女生相邻，且在队伍的两端。

16. 从随圆（）上的动点作圆的两条切线，切点为和，直线
与轴和轴的交点分别为和，则面积的最小值是__________．
【答案】
【解析】设直线和的方程分别为,.因为点在和上,所以,.可知,两点坐标满足方程,所以直线的方程为,可得直线与轴和轴的交点分别为和,所以的面积是因为,又,所以所以当且仅当
时, 面积取得最小值.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 如图，在中，点在边上，且，，，. （Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：(1)由题意可知，，设，则，.利用余弦定理即可求出的值； (2) 在中，由，得，故，在中，由正弦定理可得：，从而得到的值.
试题解析：
（Ⅰ）如图所示，，
故，
设，则，.
在中，由余弦定理
,
即，
解得，.
（Ⅱ）在中，由，得，故
，
在中，由正弦定理
，
即，故，
由，得，
.
18. 北京时间3月15日下午，谷歌围棋人工智能与韩国棋手李世石进行最后一轮较量，获得本场比赛胜利，最终人机大战总比分定格.人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.
（Ⅰ）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否有的把握认为“围棋迷”与性别有关？
非围棋迷围棋迷合计
男
女10 55
合计
（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记被抽取的3名淡定生中的“围棋迷”人数为。

若每次抽取的结果是相互独立的，求的平均值和方差.
附：，其中.
0.05 0.01
3.841 6.635
【答案】(1) 没有理由认为“围棋迷”与性别有关(2) .
【解析】试题分析：（1）在频率分布直方图中，求出抽取的100人中，“围棋迷”有
人，填写列联表，计算观测值，比较临界值即可得出结论；（2）由频率直方图计算频率，将频率视为概率，得出，计算对应的概率，写出的分布列，算出期望和方差。

试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，从而
列联表如下
非围棋迷围棋迷合计
男30 15 45
女45 10 55
合计75 25 100
将列联表中的数据代入公式计算，得
因为，所以没有理由认为“围棋迷”与性别有关.
（Ⅱ）由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“围棋迷”的概率为.由题意，从而的分布列为
0 1 2 3
. .
点睛：本题主要考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，也考查了分布列和数学期望、方差的计算，属于综合题。

19. 已知直角梯形中，，，，、分别是边、
上的点，且，沿将折起并连接成如图的多面体，折后．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若折后直线与平面所成角的正弦值是，求证：平面平面．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】试题分析：（Ⅰ）由，可得平面，从而，结合，根据线面垂直的判定定理可得；平面，所以；（Ⅱ）作于，连，由（Ⅰ）知，即为与平面所成角，设，
，而直线与平面所成角的正弦值是，即
，以为轴建立坐标系，取的中点，先证明平面的法向量是，再利用向量垂直数量积为零可得平面的法向量，根据空间向量夹角的余弦公式可得结果.
试题解析：（Ⅰ）∵，，
∴，，
又，，
∴平面，，
又，，
∴平面，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可如图建立空间直角坐标系，
作于，连，由（Ⅰ）知，
即为与平面所成角，设，，
而直线与平面所成角的正弦值是，即．
（或：平面的法向量是，，，，
则）．
易知平面平面于，取的中点，则平面，
而，则平面的法向量是，
（或另法求出平面的法向量是），
再求出平面的法向量，
设二面角是，则，
∴平面平面．
20. 已知椭圆经过不同的三点在第三象限），线段
的中点在直线上．
（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；
（Ⅱ）设点是椭圆上的动点（异于点且直线分别交直线于两点，问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1) (2) 为定值
【解析】试题分析：（1）点的坐标代入椭圆的方程就可求得方程，设点的坐标，根据条件可得点的坐标代入椭圆方程，BC中点坐标代入直线的方程，两方程联立可求点的坐标；（2）设，根据三点共线，用点P的坐标表示，同理用点P的坐标表示。

再求为定值，所以。

试题解析：（Ⅰ）由点在椭圆上，得解得所以椭圆的方程为………………………3分
由已知，求得直线的方程为从而（1）
又点在椭圆上，故（2）
由（1）（2）解得（舍去）或从而
所以点的坐标为………………………………………6分
（Ⅱ）设
因三点共线，故整理得
因三点共线，故整理得……………10分
因点在椭圆上，故，即
从而
所以为定值．………………………15分
【点睛】1.求点的坐标可由条件得关于坐标的两个关系式，解方程组即可；2.因为两点，在直线上，设所以，再由条件找两点的坐标与点的坐标的关系，根据点在椭圆上，可求为定值。

21. 已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若有两个极值，其中，求的最小值.
【答案】(1) 当时，在单调递增；当，在和
单调递增，在单调递减；(2)
【解析】试题分析：（1）求出，分三种情况讨论：时，，时，结合判别式及求根公式，令，求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函
数的减区间；（2）根据韦达定理可得，，，
，令，利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得的最小值为，即的最小值为.
试题解析：（1）由题意得，其中，
令，，
①当时，令，得，，
所以，在单调递增；
②当时，，在单调递增；
③当时，令，得，，且
可知当时，，
在单调递增；
当时，，
在单调递减；
当时，，
在单调递增；
综上所述，当时，在单调递增；
当，在和单调递增，
在单调递减；
（2）由（1）知，
由题意知是的两根，
∴，，
可得，
∵，∴
令，
则有
当时，，在上单调递减，
的最小值为
，即的最小值为.
请考生在22、23题中任选一题作答。

作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
的极坐标方程为，过点的直线的参数方程为（为参
数），直线与曲线相交于两点．
（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（Ⅱ）若，求的值.
【答案】(1) ， (2)的值为1
【解析】试题分析：（1）利用直角方程与极坐标方程的互化公式即可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，消去参数t就可得到直线l的普通方程；（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用参数的几何意义即可求出，从而建立关于a的一元二次方程，求出a的值。

试题解析（1）由得
∴曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为
（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，
得；设两点对应的参数分别为
则有∵,∴即
∴即，解之得：或者（舍去），∴的值为1。

23. 选修4－5：不等式选讲
（1）设函数，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（2）已知正数满足，求的最小值.
【答案】(1) a≤﹣5或a≥1 (2)
【解析】(1)
∵原命题等价于,,.
（2）由于，所以
当且仅当，即时，等号成立.
∴的最小值为.。