陕西省榆林市北流实验中学2019-2020学年高三数学理联考试题含解析

陕西省榆林市北流实验中学2019-2020学年高三数学理
联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 对于空间的一条直线m和两个平面，下列命题中的真命题是
A.若则
B. .若则
C.若则
D. 若则
参考答案：
C
略
2. 设离心率为的椭圆的右焦点与双曲线的右焦点重合，则椭圆方程为
（）
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
D
由题意得，双曲线的方程，可知，
又椭圆的离心率为，即，所以，
则，所以，故选D.
3. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足，当时，，则函
数在区间上所有零点之和为（）
A．π B．2π C. 3π D．4π
参考答案：
D
由题意知为奇函数，周期为，其图象关于对称，的零点可视为
图象交点的横坐标，由关于对称，从而在
上有4个零点关于对称，进而所有零点之和为. 故选D.
4. 已知，满足不等式组则目标函数的最大值为
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
B
做出可行域，由得，平移直线
，由图象可知当直线经过点D时，直线的的截距最大，此时最大，由题意知，代入直线
得，所以最大值为12，选B.
5. 复数z（1+i）=2i，则z的共轭复数为（）
A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i
参考答案：
A
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】先化简z，从而求出z的共轭复数即可．
【解答】解：∵z（1+i）=2i，
∴z===1+i，
则z的共轭复数为1﹣i，
故选：A．
6. 若平面区域的面积为3，则实数的值为
A. B． C．D．
参考答案：
B
7. 设的展开式中的系数为,二项式系数为,则
A. B. C. D.
参考答案：
A
，令，即，所以
，所以的系数为，二项式系数为,所以,选A.
8. 已知f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞，x∈R），若f（x）的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间（2π，3π），则ω的取值范围是（）
A．[，]∪[，] B．（，]∪[，]
C．[，]∪[，] D．（，]∪[，]
参考答案：
C
【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】由题意可得，=≥3π﹣2π=π，求得＜ω≤1，故排除A、D．检验当ω=时，f（x）=sin（x﹣）满足条件，故排除B，从而得出结论．
【解答】解：f（x）=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣）（ω＞，x∈R），
若f（x）的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间（2π，3π），
则=≥3π﹣2π=π，ω≤1，即＜ω≤1，故排除A、D．
当ω=时，f（x）=sin（x﹣），
令x﹣=kπ+，求得x=kπ+，可得函数f（x）的图象的对称轴为x=kπ+，k∈Z．
当k=1时，对称轴为x=＜2π，当k=2时，对称轴为x==3π，
满足条件：任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间（2π，3π），故排除B，
故选：C．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性和周期性，属于中档题．
9. 定义在R上的偶函数满足，当x∈[3，4]时,，则
( )
A． B．
C． D．
参考答案：
A
略
10. 已知△ABC为锐角三角形，且A为最小角，则点位于
A.第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
参考答案：
【知识点】三角函数 C2
A 解析：由题意可知角A小于，
，又因为
，所以P点的横纵坐标都为正值，所以A正确.
【思路点拨】由三角之间的关系可求判定P点的位置.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，若存在，满足,则称是的
一个“友好”三角形.
(i) 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是____：（请写出
符合要求的条件的序号）
①；②；
③.
(ii) 若存在“友好”三角形，且，则另外两个角的度数分别为
___.
参考答案：
②；
【考点】解斜三角形
【试题解析】
(i)对①：因为所以①不存在“友好”三角形；
对②：若，
同理：故②存在“友好”三角形；
对③：若满足，则或，都不能构成三角形，故③不存在“友好”三角形。

(ii)若存在“友好”三角形，且，
或，
分析知。

又所以有
，
解得：
．
12. 关于的方程只有一个实数解，则实数的取值范围是____.
参考答案：
13. 对于函数若存在，使成立，则称点为函数的不动点，对于任意实数，函数总有相异不动点，实数的取值范围是________
参考答案：
14. 若直线y=kx+b是曲线y=e x+2的切线，也是曲线y=e x+1的切线，则b= ．
参考答案：
4﹣2ln2
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】设直线y=kx+b与y=e x+2和y=e x+1的切点分别为和
，分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到b的值．
【解答】解：设直线y=kx+b与y=e x+2和y=e x+1的切点分别为和
，
则切线分别为，，
化简得：，，
依题意有：，
所以．
故答案为：4﹣2ln2．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求得导数和设出切点是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．
15. 复数z＝（i是虚数单位）则复数z的虚部等于_______.
参考答案：
1
．虚部为1．10．
16. 的展开式中的系数为（用数字作答）
参考答案：
6
略
17. 函数在闭区间上的最小值
是.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD 把△ABD折起，使∠BDC=90°。

（Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；
（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D—ＡＢＣ的表面积。

参考答案：
解（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，
∴当ΔＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，
又DBＤＣ＝Ｄ，
∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，
∵AD 平面平面ABD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DA,,,
DB=DA=DC=1，
AB=BC=CA=,
从而
表面积：
19. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为
（1，－5），
点M的极坐标为（4，），若直线过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，4为半径。

（I）求直线的参数方程和圆C的极坐标方程；
（II）试判定直线与圆C的位置关系。

参考答案：
（1）直线的参数方程（上为参数）
M点的直角坐标为（0，4）图C半径
图C方程得代入
得圆C极坐标方程………………………………5分（2）直线的普通方程为
圆心M到的距离为
∴直线与圆C相离。

………………………………………10分
20. 现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为
，乙、丙应聘成功的概率均为（0＜t＜2），且三个人是否应聘成功是相互独立的．（Ⅰ）若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功是相互独立的，求t的值；
（Ⅱ）记应聘成功的人数为ξ，若当且仅当ξ为2时概率最大，求E（ξ）的取值范围．
参考答案：
【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】应用题；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功是相互独立的，建立方程，即可求t的值；
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列和期望，利用当且仅当ξ为2时概率最大，即可求E（ξ）的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得t=1．…
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
；
；
；
．
故ξ的分布列为：
…∴．…
由题意得：，
，，又因为0＜t＜2
所以解得t的取值范围是1＜t＜2．…
所以．…
【点评】本题考查互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，求出概率是关键．
21. 已知函数，其中
（Ⅰ）若，试判断函数的单调性，并说明理由；
（Ⅱ）设函数，若对任意的，总存在唯一的实数
，使得成立，试确定实数的取值范围.
参考答案：
解：（Ⅰ）为减函数。

理由如下：
因为，
由于，且，
所以，从而函数为减函数。

（Ⅱ）①若时，；
时。

所以不成立.
②若时，，所以在单调递减.从而，
即.
(a)若时，.
所以在上单调递增，从而，即.
要使成立，只需，即成立即可.
由于函数在上单调递增，且，所以.
(b)若时，
所以在上单调递增，在上单调递减.
从而，即.
要使成立，只需成立，即成立即可.
由，得.
故当时，恒成立.
综上所述，.
略
22. 二次函数，它的导函数的图象与直线
平行.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若函数的图象与直线有三个公共点，求m的取值范围。

参考答案：
解: （Ⅰ）且f(0)=2 所以c=2
又f (x)=f (－2－x) 所以图像的对称轴------------------2分
导函数图象与直线从而解得：
-----------6分
（Ⅱ） --------8分设则有或
在（－∞，－1]、上递增，
在上递减 -----10分
且 ------12分
略。