2020学年高中数学课时训练(十一)空间几何体的体积苏教版必修2(2021-2022学年)

课时跟踪检测(十一) 空间几何体的体积
层级一学业水平达标
1.一圆锥母线长为１,侧面展开图圆心角为错误!未定义书签。

,则该圆锥的体积为(）A。

错误!π ﻩ B.错误!未定义书签。

π
C。

错误!未定义书签。

π ﻩ D.＼f（10，81）π
解析:选Ｃ设圆锥侧面展开图的弧长为l，
则l＝错误!未定义书签。

=错误!.
设圆锥的底面半径为r,则错误!＝２πr，ｒ＝错误!。

V＝错误!·错误!2·错误!未定义书签。

＝错误!·错误!＝错误!未定义书签。

π.
２．一个正方体和一个圆柱等高并且侧面积相等，则正方体与圆柱的体积之比为( ）A．π∶4 Ｂ．4∶π
Ｃ．1∶1 ﻩＤ．π2∶4
解析：选A设正方体棱长为１，则S正方体侧＝S圆柱侧=4，
设圆柱的底面半径为ｒ,则２πr×1＝4,r=2
π
,
V正方体＝１，V圆柱=π错误!2·1＝错误!。

∴Ｖ正方体∶V圆柱=π∶4。

３．一个圆锥与一个球的体积相等,圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为（)
A．4∶9 ﻩ B.９∶4
Ｃ.4∶２7 ﻩＤ.27∶４
解析:选 C 设球的半径为r，则圆锥的底面半径是３r，设圆锥的高为h,则4
3
πr３＝错误!
π(3r)2h，解得ｈ=错误!r,所以圆锥的高与底面半径之比为错误!未定义书签。

4.已知底面边长为1,侧棱长为错误!的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( )
A．错误!ﻩB．4π
C．2π D。

错误!未定义书签。

解析：选D 因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r＝错误!未定义书签。

错误!=１，所以V球＝错误!未定义书签。

×１3=错误!未定义书签。

故选D。

５。

如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中,D为棱AA1的中点,若截面△BC1D是面积为6的直角三角形,则此三棱柱的体积为（)
Ａ．1６３B．8错误!未定义书签。

C．4错误!ﻩ D.错误!
解析:选Ｂ设AＢ=ａ,AA１=ｂ,
由错误!未定义书签。

×２＝a2＋b2,
得ｂ２＝2a２,又错误!未定义书签。

×错误!未定义书签。

a2＝６。

解得a2＝8。

可得a＝2错误!未定义书签。

,b＝4，
∴V=错误!×8×４＝8错误!。

6．在△ABC中,AB=2，BC=1。

5,∠ABC=１20°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是___＿____.
解析：V=Ｖ大圆锥－V小圆锥＝错误!π(错误!未定义书签。

)2(1＋1。

５-1）=错误!π．
答案：＼f（3,2)π
7．已知一个长方体的三个面的面积分别是错误!未定义书签。

，3,错误!,则这个长方体的体积为_＿＿___＿_．
解析：设长方体从一点出发的三条棱长分别为a,ｂ，c,则错误!三式相乘得（abc)２＝6,故长方体的体积V=abc=错误!.
答案：错误!未定义书签。

8．已知正方体的棱长为２,则与正方体的各棱都相切的球的体积是___＿＿___.
解析:过正方体的对角面作截面如图．
故球的半径ｒ＝错误!未定义书签。

,
∴其体积V=＼f(4，3)π·(错误!未定义书签。

)３=错误!。

答案:错误!
ﻬ9.如图,已知四棱锥P­ABCＤ的底面为等腰梯形,AＢ∥CＤ,AC⊥BＤ,垂足为H,PH是四棱锥的高.
(1）证明平面ＰＡＣ⊥平面PＢD；
(2)若AB＝错误!，∠APB=∠ＡDB=6０°，求四棱锥Ｐ。

AＢCD的体积．
解：(1）证明:因为PH是四棱锥P.ＡBCD的高,
所以AＣ⊥PH.又AＣ⊥BD,PH，BD都在平面PBD内,且PH∩BD=H，
所以AＣ⊥平面PBD，又ＡC⊂平面PＡC，故平面PAC⊥平面PBＤ。

(2)因为底面ＡBCＤ为等腰梯形,ＡB∥CD,ＡC⊥ＢＤ，AＢ=错误!，所以HA=ＨＢ=错误!。

因为∠APB=∠AＤB=60°,
所以PA=PB＝错误!,HD=HC=１,
可得PH=错误!未定义书签。

.
等腰梯形ＡBＣD的面积为S＝＼f(1，2)AC×BＤ=2＋错误!未定义书签。

所以四棱锥的体积为V＝错误!未定义书签。

×(2＋错误!未定义书签。

)×错误!=错误!.
1０.已知正四棱台两底面面积分别为80 ｃm2和24５ｃm2，截得这个正四棱台的原棱锥的高是35 cm，求正四棱台的体积．
解:如图,SO=３5，A′O′=2错误!未定义书签。

, ＡO＝错误!未定义书签。

,由错误!＝错误!,得ＳO′=错误!=2０。

∴OO′=15。

∴V正四棱台=错误!×15×（8０＋错误!未定义书签。

+2４5)＝2 3２5。

即正四棱台的体积为2 32５ｃm3。

层级二应试能力达标
1.已知正三棱锥S。

ABC,D,Ｅ分别为底面边ＡB,AC的中点,则四棱锥S。

BＣED与三棱锥Ｓ.ＡBC的体积之比为( )
Ａ.１∶2 B.２∶3
Ｃ.3∶4ﻩD．１∶４
解析：选C两锥体高相等，因此ＶS.BCEＤ∶ＶS。

AＢC＝S BＣＥＤ∶ＳAＢC=３∶4.
2。

如图，在直三棱柱ＡBC．Ａ１B1C１中,如果AB=AＣ=
错误!,BB1=BC=6,E,F为侧棱AA1上的两点,且ＥF＝３,那么多面体ＥＦ。

BB1C1C的体积为()
Ａ.30 B．1８
C.１5ﻩD．1２
解析:选A△ABC中，ＢC边上的高ｈ＝(＼r（13)2-３２)＝2，
V柱=错误!未定义书签。

ＢC·h·ＢB1＝错误!未定义书签。

×6×2×6＝3６,
∴ＶE。

ＡＢＣ+V F。

A1B1C１=错误!V柱＝6，
故VEF。

BB1Ｃ1C＝36－６＝30。

3。

如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,若不计容器厚度,则球的体积为( )
A．错误!未定义书签。

cm3B．错误!cm３
C。

错误!未定义书签。

cｍ3 D。

错误!cm３
解析:选A如图，作出球的一个截面,则ＭＣ＝8－６=2(ｃ
m),BM=＼ｆ(1，2)AB=1
２
×8=４(cｍ）.设球的半径为Rｃm,则R２＝OM2＋MB2＝（R－2)2+42,∴R＝5.∴V球=错误!未定义书签。

π×53＝错误!未定义书签。

π(cｍ３)．
4．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
Ａ.错误!Ｂ。

错误!
C.2错误!未定义书签。

π
D.4错误!未定义书签。

π
解析:选B绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合,等体积的圆锥,如图所示.每一个圆锥的底面半径和高都为＼r(2),故所求几何体的体积V＝２×＼ｆ（1,3)×π×错误!2×错误!未定义书签。

=错误!.
５．已知正方体的体对角线长等于２错误!未定义书签。

ｃｍ，它的顶点中有4个在半球O的底面上，另外４个在半球Ｏ的表面上,那么半球Ｏ的体积为_____＿_＿cｍ3。

解析：过正方体的对角面作截面如图．
设半球O的半径为R。

∴A1C＝2 3 cｍ,
又∵AB2+ＡC2+AA错误!=A1C2,∴3ＡA错误!未定义书签。

=１2．
A1A=２ｃm，AC＝2错误!未定义书签。

ｃm.
∴Ａ1O＝R＝错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

＝＼r(６）(cm）．
∴Ｖ＝错误!×错误!πR3=错误!未定义书签。

×错误!未定义书签。

π×（错误!)３＝４错误!π(cm3)．
答案：46π
６.（20１8·江苏高考)如图所示,正方体的棱长为２,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为＿__＿____．
解析:由题意知所给的几何体是棱长均为错误!的八面体,它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为1，所以这个八面体的体积为２V正四棱锥=2×错误!×(错误!未定义书签。

）2×１=错误!。

答案:＼f（４,3)
７.已知四面体ABCD中,AB＝ＣD=错误!未定义书签。

,BC＝AＤ=2错误!未定义书签。

,ＢD=A Ｃ=5,求四面体ABＣＤ的体积.
解:以四面体的各棱为对角线还原为长方体.如图．
设长方体的长、宽、高分别为x,y,z。

∴错误!
∴错误!
∵V D。

ABE=＼f(１,3）DE·S△ＡBE=错误!未定义书签。

V长方体．
同理V C。

ABＦ=V D。

AＣG＝V D．ＢＣH＝错误!V长方体．
∴V四面体ABCD=V长方体-4×错误!未定义书签。

V长方体=错误!未定义书签。

V长方体．
而V长方体＝２×3×4＝2４。

∴V四面体ＡＢCD=8.
8。

如图所示,在三棱柱ABC.Ａ1B１C1中,E，F分别为AB，AＣ的中点,平面EB
１C1F将三棱柱分成两部分,求这两部分的体积之比.
解:截面EB１C１F将三棱柱分成两部分,一部分是三棱台AEF.A１B1C1，另一部
分是一个不规则几何体，故可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得.
设棱柱的底面积为S，高为h,则△AＥF的面积为错误!未定义书签。

S,令Ｖ1＝V AEF。

A１Ｂ１C1=错误!未定义书签。

·h·错误!未定义书签。

＝错误!hS,剩余的不规则几何体的体积为
V2＝Ｖ-Ｖ１=hS－＼ｆ(7,12)hS=错误!未定义书签。

hＳ，所以两部分的体积之比为V1∶Ｖ2＝７∶５.。