人教B版高中数学选择性必修第二册课后习题 第四章第1课时 相关关系、回归直线方程、回归直线方程的性质

4.3.1 一元线性回归模型
第1课时 相关关系、回归直线方程、回归直线方程的性质 课后训练巩固提升
1.(多选题)四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论,其中一定不正确的是( )
A.y 与x 负相关,且y ^
=2.347x-6.423 B.y 与x 负相关,且y ^=-3.476x+5.648 C.y 与x 正相关,且y ^=5.437x+8.493 D.y 与x 正相关,且y ^=-4.326x-4.578
解析:当y 与x 线性相关时,y 与x 正相关的充要条件是b ^
>0,y 与x 负相关的充要条件是b ^
<0,故AD 一定不正确. 答案:AD
2.已知x 与y 之间的一组数据如下表.
若已求得y 关于x 的回归直线方程为y ^
=2.2的值为( ) A.1 B.0.85
C.0.7
D.0.5 解析:=m+15.5
4
,则
m+15.5
4
=2.2×1.5+0.7,解得m=0.5.故选D.
答案:D
3.已知根据如下样本数据
得到的回归直线方程为y ^
=b ^
x+a ^
,则( ) A.a ^
>0,b ^
>0 B.a ^
>0,b ^
<0 C.a ^
<0,b ^>0
D.a ^
<0,b ^
<0
解析:作出散点图(图略),可知a ^
>0,b ^
<0. 答案:B
4.已知变量x 与y 正相关,且由观测数据算得x =3,y =3.5,则由该观测数据求得的回归直线方程可能是( ) A.y ^
=0.4x+2.3 B.y ^
=2x-2.4 C.y ^
=-2x+9.5 D.y ^
=-0.3x+4.4
解析:由变量x 与y 正相关,可知C,D 均错.又回归直线经过样本点的中心(3,3.5),经验证,可知A 正确,B 错误.故选A. 答案:A
5.过(3,10),(7,20),(11,24)三点的回归直线方程是( ) A.y ^
=1.75+5.75x
B.y ^=-1.75+5.75x
C.y ^=5.75+1.75x
D.y ^=5.75-1.75x
解析:由题意易得,b ^
=1.75,a ^
=5.75,故所求的回归直线方程为y ^
=5.75+1.75x.故选C. 答案:C
6.为了均衡教育资源,调查了某地若干户家庭的年收入x(单位:万元)和年教育支出y(单位:万元).调查显示,年收入x 与年教育支出y 具有线性相关关系,并由调查数据得到y 关于x 的回归直线方程为y ^
=0.15x+0.2.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加1万元,年教育支出平均增加 万元. 答案:0.15
7.期中考试后,某校高三(9)班对全班50名学生的成绩进行分析,得到数学成绩y 关于总成绩x 的回归直线方程为y ^
=6+0.4x.由此可以估计,若2名同学的总成绩相差50分,则他们的数学成绩大约相差 分. 解析:由回归系数b ^
=0.4可知,x 每增大1个单位,y ^
增大0.4个单位,故两名同学的总成绩相差50分,他们的数学成绩大约相差50×0.4=20(分). 答案:20
8.在一项关于16艘轮船的研究中,船的吨位区间为[192,3 246](单位:吨),船员的人数为5~32,船员人数y 关于吨位x 的回归直线方程为y ^
=9.5+0.006 2x,
(1)若两艘船的吨位相差1 000,估计这两艘船的船员人数相差多少; (2)估计吨位最大的船和最小的船的船员人数.
解:(1)由题意可知,这两艘船的船员人数大约相差0.0062×1000≈6. (2)当x=192时,y ^
=9.5+0.006 2×192≈11, 当x=3 246时,y ^=9.5+0.006 2×3 246≈30.
故估计吨位最大的船和最小的船的船员人数分别为30和11.
9.从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i 个家庭的月收入x i (单位:千元)与月储蓄y i (单位:千元)的数据资料,算得
∑i=1
10
x i =80,∑i=1
10
y i =20,∑i=1
10
x i y i =184,∑i=1
10
x i 2=720.
(1)求家庭的月储蓄y 关于月收入x 的回归直线方程y ^
=b ^
x+a ^
; (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关;
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元,估计该家庭的月储蓄. 解:(1)由题意知,n=10, x =
110∑i=1
10
x i =8,y =
1
10∑i=1
10
y i =2,则b ^
=
184-10×8×2720-10×82
=0.3,a ^
=2-0.3×8=-0.4.
故所求回归直线方程为y ^
=0.3x-0.4. (2)因为b ^
=0.3>0,所以x 与y 之间是正相关. (3)当x=7时,y ^
=0.3×7-0.4=1.7. 故该家庭的月储蓄约为1.7千元.
10.某同学家开了一家饮品店,他为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计,得到卖出的热饮杯数y 与当天气温x 的对比表如下.
(1)作出散点图;
(2)y与x是正相关还是负相关;
(3)求y关于x的回归直线方程;
(4)若某天的气温为2 ℃,估计这天卖出的热饮杯数. 解:(1)作出散点图如图所示.
(2)由散点图可知,y与x负相关.
(3)根据数据可知,x=169
11,y=1228
11
,b
^
≈-2.352,a^=y−b
^
x≈147.767.
故所求的回归直线方程为y^=-2.352x+147.767.
(4)当x=2时,y^=143.063.因此,当某天的气温为2 ℃时,这天大约可以卖出143杯热饮.。