空间正交和向量投影

空间正交和向量投影
4个⼦空间：
1. ⾏空间，0空间
2. 列空间，A转置的0空间。

什么是正交向量？两个向量夹⾓是90度。

直⾓意味着：x + y 所得到的新向量 = x + y
|x|^2 + |y|^2 = |x+y|^2
怎么证明呢？
x’*x + y’*y = (x+y)’*(x+y)
= (x’+y’)*(x+y)
=x*x’ + y*y’+x’*y+x*y’
推出x‘*y=0
所以x与y垂直。

subspace，⼦空间。

⼦空间正交是指，S中的任意向量与T中任意向量正交。

竖着的墙⾯和地⾯并不正交，因为他们有⼀条交线。

两个空间如果正交，只能相交于0点。

所以⾏空间和0空间是正交的。

因为AX=0，其中A是⾏空间，X是0空间的向量。

⽽且他们的基的个数加起来恰好等于n，所以他们是互补的。

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再看两个两个向量正交的例⼦：
其中a和b是两个向量，x是⼀个数字，x*a是b在a上的投影。

可以得到a’* ( b – x * a) = 0
进⽽得到 a’*b – a’*x*a=0由于x是常数，所以
a’ * b = a’*a*x
两边同时乘 1/a *1/a’,注意到a和a’的顺序颠倒了。

得到x = a’*b/(a*a’)。