安徽省安庆二中高考数学专题训练 解析几何

专题训练：解析几何
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.设直线l 的方程为x ＋ycos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线l 的倾斜角α的范围是( )．
A ．
A ． n=0
B ． n=1
C ．n=2
D ． n=4
.9．已知双曲线22
221x y a
b -=(0,0)a b >>的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率的最大值为( )
A ．43
B ．5
3 C ．2 D ．72
10.如图，ABCD 是边长为l 的正方形，O 为AD 的中点，抛物线的顶点为O 且通过点C ，则阴影部分的面积为(
)
A ．14
B ．12
C ．13
D ．1
6
11.已知点F 为抛物线y 2 ＝ 8x 的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值为( )
A ． 6
B ．
2+C ．
D ．4＋
12.若圆C1：x2＋y2＋2ax ＋a2－4＝0(a ∈R)与圆C2：x2＋y2－2by －1＋b2＝0(b ∈R)恰有三条切线，则a ＋b 的最大值为 ( )．
A ．－3 2
B ．－3
C ．3
D ．3 2
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点，PA 、PB 是圆C ：
2220x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为 。

14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．
15.过抛物线
24y x =的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OB OA ⋅=____________.
16.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；
(1）焦点在y 轴上； (2）焦点在x 轴上；
(3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5；
(5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．
其中适合抛物线y2=10x 的条件是(要求填写合适条件的序号） ______．
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.设直线l 的方程为y ＝kx ＋b(其中k 的值与b 无关)，圆M 的方程为x2＋y2－2x －4＝0.
(1)如果不论k 取何值，直线l 与圆M 总有两个不同的交点，求b 的取值范围；
(2)b ＝1时，l 与圆交于A ，B 两点，求|AB|的最大值和最小值．
18．过点(5,4)A --作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积5．
19.在圆x2＋y2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段，D 为垂足，点M 在线段PD 上，且|DP|＝2|DM|，点P 在圆上运动．
(1)求点M 的轨迹方程；
(2)过定点C(－1,0)的直线与点M 的轨迹交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点N ，使NA →·NB →为
常数，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
20.已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25及直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4(m ∈R)．
(1)证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交；
(2)求直线l 被圆C 截得的弦长最短长度及此时的直线方程．
21.已知圆M 过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．
(1)求圆M 的方程；
(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．
22.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足AP PB =，0MA AP ⋅=.
(Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；
(Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.
答案：1.C 2. A 3.D 4.C 5. D 6.B 7.C 8.C 9.B 10.C 11.C 12. D
13. 2 14. (－13,13) 15. -3 16. (2)(5)
17.解 圆M 的标准方程为(x －1)2＋y2＝5，
∴圆心M 的坐标为(1,0)，半径为r ＝ 5.
(1)∵不论k 取何值，直线l 总过点P(0，b)，
∴欲使l 与圆M 总有两个不同的交点，必须且只需点P 在圆M 的内部，即|MP|<5，即1＋b2<5，
∴－2<b<2，即b 的取值范围是(－2,2)．
当l 过圆心M 时，|AB|的值最大，最大值为圆的直径长2 5.当l ⊥MP 时，此时|MP|最大，|AB|
的值最小，|MP|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k2＋12＝k2＋2k ＋1k2＋1＝1＋2k ＋1k ≤1＋22 k ·1k
＝2，当且仅当k ＝1时取等号．最小值为2r2－|MP|2＝25－2＝2 3. 18.设直线为4(5),y k x +=+交x 轴于点4(5,0)
k -，交y 轴于点(0,54)k -， 14165545,4025102S k k k k =⨯-⨯-=--=
得22530160k k -+=，或2
2550160k k -+= 解得
2,5k =或 85k = 25100x y ∴--=，或85200x y -+=为所求。

19.解 (1)设P(x0，y0)，M(x ，y)，则x0＝x ，y0＝2y.
∵P(x0，y0)在x2＋y2＝4上，∴x20＋y20＝4.
∴x2＋2y2＝4，即x24＋y22＝1.
点M 的轨迹方程为x24＋y22＝1(x ≠±2)．
(2)假设存在．当直线AB 与x 轴不垂直时，
设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋1)(k ≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(n,0)， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k x ＋1，x24＋y22
＝1， 整理得(1＋2k2)x2＋4k2x ＋2k2－4＝0，
∴x1＋x2＝－4k21＋2k2，x1x2＝2k2－41＋2k2
. ∴NA →·NB →＝(x1－n ，y1)·(x2－n ，y2)
＝(1＋k2)x1·x2＋(x1＋x2)(k2－n)＋n2＋k2
＝(1＋k2)×2k2－41＋2k2＋(k2－n)×－4k21＋2k2
＋k2＋n2 ＝k24n －1－41＋2k2
＋n2 ＝122k2＋14n －1－124n －1－41＋2k2
＋n2 ＝12(2n2＋4n －1)－2n ＋721＋2k2
. ∵NA →·NB →是与k 无关的常数，∴2n ＋72＝0.
∴n ＝－74，即N ⎝⎛⎭
⎫－74，0，此时NA →·NB →＝－1516. 当直线AB 与x 轴垂直时，若n ＝－74，则NA →·NB →＝－1516.
综上所述，在x 轴上存在定点N ⎝⎛⎭
⎫－74，0，使NA →·NB →为常数． 20.(1)由(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4(m ∈R)得：m(2x ＋y －7)＋(x ＋y －4)＝0
解⎩⎨⎧=-+=-+04072y x y x 得⎩
⎨⎧==13y x ∴直线l 恒过定点(3,1)，
∵ (3－1)2＋(1－2)2＝5<25，
∴点(3,1)在圆内部．
∴不论m 为何实数，直线l 与圆恒相交．
(2) 从(1)的结论知直线l 过定点M(3,1)，当与过此点的圆C 的半径垂直时，l 被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理知|AB|＝2r2－|CM|2＝225－[3－12＋1－22]
＝45． 此时k1＝－1kCM ，从而－2m ＋1m ＋1＝－12－1
1－3
＝2， 得m ＝－34，代入得直线l 方程为2x －y －5＝0.
21.解 (1)设圆M 的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r2(r>0)，
根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧
1－a 2＋－1－b 2＝r2，－1－a 2＋1－b 2＝r2，a ＋b －2＝0，
解得a ＝b ＝1，r ＝2，
故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.
(2)因为四边形PAMB 的面积
S ＝S △PAM ＋S △PBM ＝12|AM|·|PA|＋12|BM|·|PB|，
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S ＝2|PA|，
而|PA|＝|PM|2－|AM|2＝|PM|2－4，
即S ＝2|PM|2－4.
因此要求S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM|的值最小， 所以|PM|min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42
＝3， 所以四边形PAMB 面积的最小值为
S ＝2|PM|2m in －4＝232－4＝2 5.
22.（Ⅰ）设P (,)x y ，
(,0),(0,)(0)A B B A x B y y >则 (,)A AP x x y =- (,)B PB x y y =--
由AP PB = 得
2A x x =，2B y y = 又(,2)A MA x = (,)A AP x x y =- 即(2,2)MA x =，(,)AP x y =-
由0MA AP ⋅= 得
2(0)x y y =≥ (Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：(2)y k x =+ 设11(,)E x y ，22(,)F x y
因为'2y x = ，故两切线的斜率分别为122,2x x
由方程组2(2)x y y k x ⎧=⎨=+⎩
得220x kx k --= 所以12x x k += 122x x k ⋅=-
当12l l ⊥时，，
12221x x ⋅=-，所以 1
8k = 所以，直线l 的方程是 1(2)8y x =+。