质点的运动规律

∆ s v = ∆ ( 4 )瞬时速率： t → 0时v 的极限值 ∆ t ∆s ds v = limv = lim = ∆t →0 r ∆t→0 ∆t dt r r
r d r ∆r v = = lim = lim dt ∆t→ 0 ∆ t ∆t→ 0 瞬时速率本质上就是 = lim 瞬时速率本质上就是 ∆t→ 0 瞬时速度的大小 瞬时速度的大小
∆r
∆t ∆s = v ∆t
1.2.4加速度 r (1)平均加速度： 一段时间∆t内质点速度增量 ∆v 与∆t之比 r r ∆ v ∆ ( 2)瞬时加速度： t → 0时a 的极限值 a = r r r
∆ t
Y
•
v(t) A
Z
O
r r d v d vx r d vy r d vz r ∆v Rt系: a = = i+ j+ k • dt dt dt dt B v 2r 2 (t+∆ t) ∆ r d2 y r d2 z r d r = d xi + = 2 j+ 2 k 2 2 dt dt dt dt X r a = axi + ay j + az k
da= 2 ⇒ a da = t 2dt 解： ∫2 ∫0 dt ⇒ a − 2 = 2t ⇒ a = 2t + 2
dv = a = 2t + 2 ⇒ v dv = t (2t + 2)dt ∫0 ∫0 dt 2 ⇒ v t = 4 = 4 2 + 2 × 4 = 24m / s ⇒ v = t + 2t x t dx 2 2 = v = t + 2t ⇒ ∫ dx = ∫ (t + 2t )dt x0 0 dt
⇒ a = dv /dt = −2(m /s 2 )
x(m) 20 10 t(s) 0 10 t(s) 0 10 0 -2 t(s) 匀变速直线运动 a(m/s2)
v(m/s)
1.3匀变速运动 匀变速运动 质点保持加速度为常矢量的运动 r r r 速度公式 v = v 0 + at r r r dv r v t r r r a= ⇒ dv = adt ⇒ ∫v dv = ∫0 adt r 0 dt r r r 1r 2 位矢公式 r = r0 + v 0t + at 2 r r dr r r r r v = ⇒ dr = v dt = (v 0 + at )dt dt r r r v t r ⇒ ∫r dr = ∫ (v 0 + at )dt
v x = v x 0 = v 0 cos θ ⇒ v y = v y 0 − gt = v 0 sin θ − gt
Y v0 θ O
X
x = v 0 cos θ t （5）运动方程 ⇒ 1 y = v 0 sin θ t − gt 2
2
（6）轨迹方程
x = v 0 cos θt Y 由运动方程 1 y = v 0 sin θt − gt 2 v0 2 g H max 消去 t 得： = tanθx − y x2 θ 2v2 cos 2θ X 0 （7）射程与射高 R 2 v 0 sin θ 令 y = 0 得： t 0 = ( t 0 = 0 舍去 ) g
a = a +a +a
2 x 2 y 2 z
v(t)
r ∆v r= a = lim a lim ∆ t
∆t → 0 ∆t → 0
d v d 2r = = 2 dt dt
[例题 例题1-1]已知 质点运动方程 r = t i + 2t 2 j 已知:质点运动方程 例题 已知 Y ：（1） 求：（ ）质点的轨迹方程 • Q(2,8) （2）任时刻速度 速率 加速度 ）任时刻速度, 速率,加速度 O • P(1,2)X 秒末的速度、 （3）第3秒末的速度、加速度 ） 秒末的速度 秒到第2秒内平均速度、 （4）第1秒到第2秒内平均速度、平均速率 x=t 解: (1 ) ⇒ y = 2x2 2 v = 1r 16t 2r + y = 2t r r r r r d 2r dv r dr a= 2 = =4j (2)v = = i + 4t j dt dt dt r r ( 3 ) v = i + 4t j = i + 12 j a = 4 j
{
{
t =3
t =3
= tan 6 与 轴 向 角 ： x 正 夹 为 tan 2 −1 s = ds = ( ' ) + ( ' ) dt = 4 2 t 2 + (0.25) 2 dt = 6.086 v= yt ∫ xt ∫1 ∆t ∫
Q 2 2 2 P 1
PQ = 6.083 (4) PQ = (8 − 2) + (2 −1) = 6.083, v = ∆t −1 8 − 2 −1
1.4圆周运动 运动轨迹为圆的质点运动 Q ∆S • P 1.4.1圆周运动角量和线量关系 • ∆θ S （1）角量的描述 •θ 角位置θ :质点,圆心连线同参考线夹角 约定：逆(顺)时针为正(负) 角位移∆θ:∆t内质点转过的角度. 无限小角位移才是矢量 角速度ω:单位时间质点的角位移[方向满足右手螺旋法则] ∆θ dθ ω = lim ω = lim = ∆t→ 0 ∆t→ 0 ∆ t dt dθ ds [显见Rω = R = = v ] dt dt 角加速度α：单位时间内质点角速度增量 ∆ω dω d 2θ α = lim α = lim = = ∆t→ 0 ∆t→ 0 ∆ t dt dt 2 α 与ω同号，角加速； α 与ω异号，角减速
B
2 º速度 r 一段时间 ∆ t内质点的位移 ∆ r 与 ∆ t之比。 (1)平均速度： r
∆ r ∆ t r r r r d r dx r dy r dz r r ∆r d r r= Rt系: v = = i + j+ k v = limv lim = t dt ∆t →0 ∆ dt dt dt dt ∆t →0 ( 3 )平均速率： 一段时间 ∆ t内质点经过路程 ∆ s 与 ∆ t之比 r r ∆ ( 2)瞬时速度： t → 0时v 的极限值。 v =
第一篇 力 学 1.质点的运动规律 . 1.1理想模型 质点、刚体 理想模型—质点 理想模型 质点、 1º质点： 物体只有质量而没有大小、形状的几何抽象 2º刚体： 在力的作用下大小和形状均保持不变的物体 1.2质点的运动及其描述 质点的运动及其描述 1.2.1 1.2.1参照系与坐标系 1º参照系： 1º 为描述物体运动而被选作参考的另一物体 2º坐标系： 参照系的几何抽象。 常用的有直角坐标系、自然坐标系等 Z X o Y
1 3 3
2⇒
⇒ ∆x = t + t
∆x t = 4 = × 4 + 4 = 37.3m
3 2
1
3
1.3.2抛体运动 − 匀变速运动 （1）概念: 不计空气阻力,从地面附近抛出物体所作运动 （2）运动迭加原理 一个运动可以看成几个各自独立进行的运动的迭加
a x = 0 匀速直线 （3）加速度 ⇒ a y = − g 竖直上抛 （4）速度
v0 0
1.3.1匀变速直线运动 匀变速直线运动
加速度为常数、运动轨迹为直线的运动 • O x v = v 0 + at
r r a v
•
r a
x
x = v 0 t + 1 at 2 2 2 v 2 − v 0 = 2a ( x − x 0 )
[例题 例题1—3] 设一物体由静止开始作匀变加速直线运动 例题 （加速度以每秒增加2m/s2的规律均匀增加），若初始 加速度为2m/s2 .求：4秒末物体速度和4秒内的位移。
2 2 ds2 /dt = 2v0t − 2(gt2 /2 − H)gt = 0 ⇒ t 2 = (2v0 + 2gt)/g 2 2 d2 2代入 d (s2 )得： (s2 ) < 0 ⇒t 2 = (2 2 + 2gt)/g2,s = s t v0 max 2 2 dt dt 2 ⇒ smax = v 0 v 0 + 2gH /g gt 2 /2 − H α = tg −1 s max
R
t =t0
= v 0 cos
θ
2v 0
sin g
θ
2 v 0 sin = g
2
2θ
H max
t =t 0
v 0 sin θ 1 v 0 sin θ − g 2 = v 0 sin θ g 2 g
2 v 0 sin 2 θ = 2g
y r y [例题1—4] 一人在离地 例题1 4] r v0t 面高为H的平台上以初速 v0 v0抛出一个铅球，抛射角 r r r 1 gt 2 gt 为θ,试问(1)经过多少时间 v0 2 θ θ x 后,铅球的速度方向与v0 θ 相垂直,此时轨道曲率半 r H 径为大?(2)抛射角为多大 vt θ 图1 x 图2 时,其射程为最大? s (1)抛体运动为匀变速 解： 抛体运动为匀变速， (1)抛体运动为匀变速， =沿初速方向匀速直线运动+竖直方向自由落体运动 r r沿初速方向匀速直线运动+ r r r r 1 gt 2 v = v 0 + gt r = v 0t + 2 v0 r r ⇒ sin θ = v 0 ⇒t = 由图2得: 若v t ⊥v 0 由图2 gt g sin θ 2 v 0 ctg 2 θ v t = v 0 /tgθ ρ = v 2 /an = g sin θ an = g sin θ
1质点的轨迹方程2任时刻速度速率加速度3第3秒末的速度加速度pq083tantan例题12一质点沿x轴作直线运动其速度v与时间t的关系是v202t式中t的单位为sv的单位为ms当t0时质点位于xdtdx20101020dtdv1010201013匀变速运动质点保持加速度为常矢量的运动速度公式131匀变速直线运动加速度为常数运动轨迹为直线的运动10例题13设一物体由静止开始作匀变加速直线运动加速度以每秒增加2ms的规律均匀增加若初始加速度为2msdtdadtdadtdvdtdxsincos4速度sincos5运动方程2运动迭加原理一个运动可以看成几个各自独立进行的运动的迭加1概念
y r y [例题1—4] 一人在离地 例题1 4] r v0t 面高为H的平台上以初速 v0 v0抛出一个铅球，抛射角 r r r 1 gt 2 gt 为θ,试问(1)经过多少时间 v0 2 θ θ x 后,铅球的速度方向与v0 θ 相垂直,此时轨道曲率半 r H 径为大?(2)抛射角为多大 vt θ 图1 x 图2 时,其射程为最大? s (2)由图 解： 由图2得: (2)由图2 2 s = v 0 t 2 − (gt 2 /2 − H )2
r 切向 et
r 法向 en
•
1.2.2位置矢量和运动方程 1º位置矢量(位矢): 坐标原点指向质点所在点的矢量 由 Y γ βr
•
r P(x,y,z) Rt系中P点的位矢： = x i + y j + z k
→
→
→
→
O z Z x 2º运动方程： 位置(矢量)与时间的函数关系 x=x(t) → → 消去t y=y(t) r = r (t ) z=z(t) 3º轨道方程: 质点位置坐标间的函数关系 f(x,y,z)=0 轨迹方程 (由运动方程消去t可得到轨道方程)
（2）角量表示的（匀角加速）运动方程
0
ω t dω = α ⇒ dω = αdt ⇒ ∫ dω = ∫0 αdt ⇒ ω − ω0 = αt ω dt dθ = ω ⇒ dθ = (ω 0 + αt )dt dt
∫θ d θ = ∫
0
θ
t
0
( ω 0 + α t ) dt ⇒
• •
只有当(1)∆t → 0; 或者
( 2 )单向直线运动 时，
才有∆s = ∆r O Z 位移是矢量，它只考虑始终， 位移是矢量，它只考虑始终， 只表示在过程中位置变动总效 并不代表实际路径。 果，并不代表实际路径。 路程是标量， 路程是标量，它是质点运 动实际路径的长度。 动实际路径的长度。 A
ry α
X
r r r的 小 r = r = x2 + y2 + z2 大 ： cos α = x / r → r 的方向余弦： cos β = y / r cos γ位移： 某段运动过程中质点自起点引向终点的有向线段 移 有 割 AB 记 ∆ 图中 : 位 是 向 线 ， 作 r; Y 路程弧AB是标量，记作∆s， A ∆s B ∆r r(t) r(t+∆t) X
2 2
[例题1-2]一质点沿x轴作直线运动，其速度v与时间t的关 例题1 2]一质点沿 轴作直线运动， v=20-2t， m/s， 系是v=20-2t，式中t的单位为s，v的单位为m/s，当t=0时， 试分析此质点运动情况。 质点位于x0=10m处，试分析此质点运动情况。 解：v = dx /dt = 20 − 2t ⇒ x = ∫ (20 − 2t )dt = 20t − t 2 + c Q t = 0, x 0 = 10 ∴c = 10 ⇒ x = 20t − t 2 + 10(m )