【成才之路】高中数学 1-3-2精品练习 新人教A版必修4

1.3 第2课时
一、选择题u
1．已知sin(α－π4)＝13，则cos(π
4＋α)的值为( )
A.
223 B ．－22
3
C.1
3
D ．－1
3
[答案] D
[解析] cos(π4＋α)＝sin(π
4－α)．
＝－sin(α－π4)＝－1
3
.
2．已知cos(3π2＋α)＝－3
5，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)( )
A.4
5 B ．－45
C ．±45
D.35
[答案] B
[解析] ∵cos(3π2＋α)＝－35，∴sin α＝－3
5，
∴cos(－3π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2
α＝－45
.
3．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] B
[解析] ∵A 、B 是锐角三角形的两个内角，∴A ＋B >90°，∴B >90°－A ，∴cos B <sin A ，sin B >cos A ，故cos B －sin A <0，sin B －cos A >0，选B.
4．已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( ) A ．2
B ．－2
C ．2－π
2
D.π
2－2
[答案] C
[解析] 解法一：由条件可知点P 到原点距离为2，∴P (2cos α，2sin α)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2cos α＝2sin22sin α＝－2cos2
，
根据诱导公式及α为锐角可知，
⎩⎪⎨⎪⎧
cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2sin α＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－π2，∴α＝2－π
2
.
解法二：点P 位于第一象限，且
tan α＝－cot2＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2－π2，
∵2－π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝2－π
2.
5．(09·全国Ⅰ文)sin585°的值为( ) A ．－
2
2 B.
2
2 C ．－3
2
D.
32
[答案] A
[解析] sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225° ＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－
22
. 6．已知cos(π2＋φ)＝32且|φ|<π
2，则tan φ等于( )
A ．－
3
3
B.33
C ．－ 3 D. 3
[答案] C
[解析] ∵cos(π2＋φ)＝－sin φ＝3
2，
∴sin φ＝－
32，∵－π2<φ<π2
， ∴cos φ＝12，∴tan φ＝sin φ
cos φ
＝－ 3.
7．A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，下列关系式中不成立的是( )
①cos(A ＋B )＝cos C ②cos
B ＋C
2＝sin A
2
③tan(A ＋B )＝－tan C ④sin(2A ＋B ＋C )＝sin A A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③
[答案] C
[解析] ∵cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ， ∴①错，排除B 、D ； cos
B ＋C
2＝cos π－A 2＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－A 2＝sin A 2，
∴②正确，排除A ，∴选C.
8．tan110°＝k ，则sin70°的值为( ) A ．－
k
1＋k
2
B.k
1＋k
2
C.
1＋k
2
k
D ．－
1＋k
2
k
[答案] A
[解析] 解法一：∵k <0，sin70°>0，∴排除C 、B ， 又|sin70°|<1，∴排除D ，选A.
解法二：k ＝tan110°＝－tan70°，∴tan70°＝－k >0，
∴cos70°＝－1
k
sin70°代入sin 2
70°＋cos 2
70°＝1中得，sin 2
70°＝
k 2k 2＋1
，∵k <0，
sin70°>0，
∴sin70°＝－k
1＋k
2
.
二、填空题
9．sin 2
1°＋sin 2
2°＋sin 2
3°＋…＋sin 2
88°＋sin 2
89°＋sin 2
90°的值为________． [答案]
91
2
[解析] ∵sin 2
1°＋sin 2
89°＝sin 2
1°＋cos 2
1°＝1， sin 2
2°＋sin 2
88°＝sin 2
2°＋cos 2
2°＝1，
sin 2
x °＋sin 2
(90°－x °)＝sin 2
x °＋cos 2
x °＝1，(1≤x ≤44，x ∈N )
∴原式＝(sin 2
1°＋sin 2
89°)＋(sin 2
2°＋sin 2
88°)＋…＋(sin 2
44°＋sin 2
46°)＋sin 2
90°＋sin 2
45°＝45＋⎝
⎛⎭⎪⎫222＝91
2
. 10．化简1－2sin200°cos160°＝________.
[答案] cos20°－sin20°
[解析] 原式＝1－2(－sin20°)·(－cos20°) ＝sin 2
20°＋cos 2
20°－2sin20°cos20° ＝|sin20°－cos20°|＝cos20°－sin20°. 11．已知sin α
是方程5x 2
－7x －6＝0的根，α
是第三象限角，则
sin(－α－3π2)sin(3π2
－α)tan 3
α
cos(π2－α)cos(π
2
＋α)
＝________.
[答案] 34
[解析] 由已知得sin α＝－3
5
.
∵α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2
α＝－45.
∴原式＝cos α·(－cos α)·(sin αcos α)
3
sin α·(－sin α)＝sin αcos α＝3
4
.
12．若P (－4,3)是角α终边上一点，则cos(α－3π)·tan (α－2π)
sin 2
(π－α)的值为________． [答案] －5
3
[解析] 由已知得sin α＝35，原式＝－cos αtan α
sin 2
α ＝－cos α·
sin α
cos αsin 2
α＝－1sin α＝－5
3
. 13．式子cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
4
＋α
＝________.
[答案] 1
[解析] 原式＝sin 2
⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α
＋cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α ＝sin 2
⎝
⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α＝1.
14．若tan(π－α)＝2，则2sin(3π＋α)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫32π－α·sin(π－α)
的值为________．
[答案] 2
[解析] ∵tan(π－α)＝2，∴tan α＝－2，
∴原式＝－2sin α·(－sin α)＋(－cos α)·sin α ＝2sin 2
α－sin αcos α＝2tan 2
α－tan α
1＋tan 2
α
＝2×(－2)2
－(－2)1＋(－2)2
＝105＝2. 三、解答题
15．已知cos(75°＋α)＝5
13
，α是第三象限角，求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值．
[解析] ∵cos(75°＋α)＝
5
13
>0，α是第三象限角， ∴75°＋α是第四象限角，
且sin(75°＋α)＝－1－cos 2
(75°＋α)＝－1213.
∴sin(195°－α)＋cos(α－15°) ＝sin[180°＋(15°－α)]＋c os(15°－α) ＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)
＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α) ＝－513－1213＝－1713
.
16．已知x ∈R ，n ∈Z ，且f (sin x )＝sin(4n ＋1)x ，求f (cos x )．
[解析] f (cos x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x
＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤(4n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x
＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2n π＋π2－(4n ＋1)x
＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2－(4n ＋1)x ＝cos(4n ＋1)x .
17．若sin α，cos α是关于x 的方程3x 2
＋6mx ＋2m ＋1＝0的两根，求实数m 的值．
[解析] ⎩⎪⎨
⎪⎧
Δ＝(6m )2
－4×3(2m ＋1)≥0 ①
sin α＋cos α＝－2m ②sin α·cos α＝2m ＋1
3
③，
由②③得4m 2＝1＋2(2m ＋1)3
，∴12m 2
－4m －5＝0.
∴m ＝－12或m ＝56，m ＝56不适合①，m ＝－1
2适合①，
∴m ＝－1
2
.
18．已知sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2＋β，
cos(π－α)＝63·cos(π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求sin α和cos β.
[解析] 由已知得sin α＝2sin β① 3cos α＝2cos β②
①2
＋②2
得sin 2
α＋3cos 2
α＝2，
即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2，所以sin 2
α＝12.
又0<α<π，则sin α＝
22
. 将sin α＝
22代入①得sin β＝12.故cos β＝±3
2
. [点评] cos(π－α)＝
63
cos(π＋β)可化为3cos α＝2cos β，利用sin 2β＋cos 2
β＝1求解，也可化为cos α＝
63
cos β，利用sin 2α＋cos 2
α＝1求解．。