202X赤峰市中考数学二次函数和几何综合专题

202X赤峰市中考数学二次函数和几何综合专题
一、二次函数压轴题
1．探究：已知二次函数y＝ax2﹣2x+3经过点A(﹣3，0)．
(1)求该函数的表达式；
(2)如图所示，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点P的横坐标为t，连接AC，PA，PC．
①求△ACP的面积S关于t的函数关系式；
②求△ACP的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
拓展：在平面直角坐标系中，点M的坐标为(﹣1，3)，N的坐标为(3，1)，若抛物线y＝ax2﹣2x+3(a＜0)与线段MN有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．
2．如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分别是直线y=﹣8
3
x+4与坐标轴的
交点，点B的坐标为（﹣2，0），点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB 上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF．设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究：
①线段EF长度是否有最小值．
②△BEF能否成为直角三角形．
小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．
（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别．
（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l关于m 的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值．
（3）小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形，请你求出当△BEF为直角三角形时m的值．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =﹣ax 2+bx +3与x 轴交于A (﹣1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点． （1）求直线AC 及抛物线的解析式，并求出D 点的坐标；
（2）若P 为线段BD 上的一个动点，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，求四边形PMAC 的面积的最大值和此时点P 的坐标；
（3）若点P 是x 轴上一个动点，过P 作直线1∥AC 交抛物线于点Q ，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
4．小明对函数2
(0)y a x bx c a =++≠的图象和性质进行了探究.已知当自变量x 的值为0或
4时，函数值都为3-；当自变量x 的值为1或3时，函数值都为0．探究过程如下，请补充
完整．
（1）这个函数的表达式为 ；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的--条性质： ； （3）进一步探究函数图象并解决问题：
①直线y k =与函数2
y a x bx c =++有三个交点，则k = ；
②已知函数3y x =-的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式
2a x bx c ++3x ≤-的解集： ．
5．已知抛物线2:23G y mx mx =--有最低点为F ．
（1）当抛物线经过点E （-1，3）时，①求抛物线的解析式；②点M 是直线EF 下方抛物线上的一动点，过点M 作平行于y 轴的直线，与直线EF 交于点N ，求线段MN 长度的最大值；
（2）将抛物线G 向右平移m 个单位得到抛物线1G ．经过探究发现，随着m 的变化，抛物线1G 顶点的纵坐标y 和横坐标x 之间存在一个函数，求这个函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H ，抛物线G 与函数H 的交点为P ，请结合图象求出点P 的纵坐标的取值范围． 6．综合与探究
如图，抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，()2,0A -，
()4,0B ，直线l 是抛物线的对称轴，在直线l 右侧的抛物线上有一动点D ，连接AD ，
BD ，BC ，CD ．
（1）求抛物线的函数表达式：
（2）若点D 在x 轴的下方，当BCD △的面积是9
2
时，求ABD △的面积；
（3）在直线l 上有一点P ，连接AP ，CP ，则AP CP +的最小值为______；
（4）在（2）的条件下，点M 是x 轴上一点，点N 是抛物线上一动点，是否存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 7．综合与探究
如图1，已知抛物线2
142
y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y
轴交于点C ，作直线BC ，点C 关于x 轴的对称点是点C '．
（1）求点C '的坐标和直线BC 的表达式；
（2）如图2，点M 在抛物线的对称轴上，N 为平面内一点，依次连接BM ，C M '，C N '，NB ，当四边形BMC N '是菱形时，求点M 坐标；
（3）如图3，点P 是抛物线第一象限内一动点，过P 作x 轴的平行线分别交直线BC 和y
轴于点Q 和点E ，连接PC '交直线BC 于点D ，连接QC '，PB ，设点P 的横坐标为m ，△QC D '的面积为1S ，△PBD 的面积为2S ，求12S S -的最大值． 8．综合与探究．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2﹣3x +4与x 轴分别交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ．点P 是线段OA 上的一个动点，沿OA 以每秒1个单位长度的速度由点O 向点A 运动，过点P 作DP ⊥x 轴，交抛物线于点D ，交直线AC 于点E ，连接BE ．
（1）求直线AC 的表达式；
（2）在点P 运动过程中，运动时间为何值时，EC ＝ED ？
（3）在点P 运动过程中，△EBP 的周长是否存在最小值？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
9．小明结合自己的学习经验，对新函数y ＝
21
b kx +的解析式、图象、性质及应用进行探
究：已知当x ＝0时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝1．
（1）函数解析式探究：根据给定的条件，可以确定由该函数的解析式为： ． （2）函数图象探究：
①根据解析式，补全如表，则m ＝ ，n ＝ ．
②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象． x …… ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣1
2 0
12
1 2 n 4 ……
y
……
217
15 25
m
85
2
85 1
25
15 2
17
…… 质： ．
（4）综合应用：已知函数y ＝|715x ﹣8
15
|的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|
715x ﹣815|≤21
b
kx +．
10．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a x2+b x+3经过A(1，0) 、B(－3，0)两点，与y轴交于点C．直线BC经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式及对称轴；
（2）将△COB沿直线 BC平移，得到△C1O1B1，请探究在平移的过程中是否存在点 O1落在抛物线上的情形，若存在，求出点O1的坐标，若不存在，说明理由；
（3）如图2，设抛物线的对称轴与x轴交于点E，连结AC，请探究在抛物线上是否存在一点F，使直线EF∥AC，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由．
二、中考几何压轴题
11．（教材呈现）下图是华师版八年级下册教材第89页的部分内容．
例6：如图18.2.12，G、H是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AG＝CH，E、
F分别是边AB和CD的中点．
图18.2.12
求证：四边形EHFG是平行四边形．
证明：连结EF 交AC 于点O ． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD ．
又∵E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE ＝CF ． 又∵AB ∥CD ， ∴∠EAO ＝∠FCO ． 又∵∠AOE ＝∠COF , ∴
AOE COF ≅．
请补全上述问题的证明过程．．．．．．．．．．．．
． （探究）如图①，在ABC 中，E ，O 分别是边AB 、AC 的中点，D 、F 分别是线段AO 、CO 的中点，连结DE 、EF ，将DEF 绕点O 旋转180°得到DGF △，若四边形DEFG 的面积为8，则ABC 的面积为 ．
（拓展）如图②，GH 是正方形ABCD 对角线AC 上的两点，且AG ＝CH ，GH ＝AB ，E 、F 分别是AB 和CD 的中点．若正方形ABCD 的面积为16，则四边形EHFG 的面积为 ．
12．（1）问题情境：如图1，已知等腰直角ABC ∆中，90ABC ∠=︒，6AB =，E 是AC 上的一点，且2CE =，过E 作ED BC ⊥于D ，取AE 中点F ，连接BF ，则BF 的长为_______（请直接写出答案） 小明采用如下的做法：
延长AB 到H ，使AB BH =，连接EH ，
B 为AH 中点，F 为AE 的中点，
BF ∴是AEH ∆的中位线……
请你根据小明的思路完成上面填空；
（2）迁移应用：将图1中的CDE ∆绕点C 作顺时针旋转，当CE AC ⊥时，试探究BF 、AC 、CE 的数量关系，并证明你的结论．
（3）拓展延伸：在旋转的过程中，当A 、C 、D 三点共线时，直接写出线段BF 的长． 13．如图，四边形ABCD 是正方形，点O 为对角线AC 的中点．
（1）问题解决：如图①，连接BO ，分别取CB ，BO 的中点P ，Q ，连接PQ ，则PQ 与
BO 的数量关系是_____，位置关系是____；
（2）问题探究：如图②，AO E ∆'是将图①中的AOB ∆绕点A 按顺时针方向旋转45︒得到的三角形，连接CE ，点P ，Q 分别为CE ，BO '的中点，连接PQ ，PB ．判断PQB ∆的形状，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：如图③，AO E ∆'是将图①中的AOB ∆绕点A 按逆时针方向旋转45︒得到的三角形，连接BO '，点P ，Q 分别为CE ，BO '的中点，连接PQ ，PB ．若正方形ABCD 的边长为1，求PQB ∆的面积． 14．综合与实践
问题情境：△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 是射线AD 上的一个动点(不与点A 重合)将线段AE 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AF ，连接CF 交线段AB 于点G ，交AD 于点H 、连接EG ．
特例分析:
(1)如图1，当点E与点D重合时，“智敏”小组提出如下问题，请你解答：
①求证：AF=CD；
②用等式表示线段CG与EG之间的数量关系为：_______；
拓展探究:
(2)如图2，当点E在线段AD的延长线上，且DE=AD时，“博睿”小组发现CF=2EG．请你证明；
(3)如图3，当点E在线段AD的延长线上，且AE=AB时，EG
CF
的值为_______；
推广应用:
(4)当点E在射线AD上运动时，AE m
AD n
，则
EG
CF
的值为______用含m.n的式子表示)．
15．问题提出
（1）如图（1），在等边三角形ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，则∠ACN＝ °．
类比探究
（2）如图（2），在等边三角形ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
拓展延伸
（3）如图（3），在等腰三角形ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰三角形AMN，使AM＝MN，连接CN．添加一个条件，使得∠ABC＝∠ACN仍成立，写出你所添加的条件，并说明理由．
16．综合与实践
数学活动课上，老师让同学们结合下述情境，提出一个数学问题：如图1，四边形ABCD是正方形，四边形BEDF是矩形．
探究展示：
“兴趣小组”提出的问题是：“如图2，连接CE．求证：AE⊥CE．”并展示了如下的证明方法：
证明：如图3，分别连接AC，BD，EF，AF．设AC与BD相交于点O．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC=1
2AC，OB=OD=1
2
BD，且AC=BD．
又∵四边形BEDF是矩形，
∴EF经过点O，
∴OE=OF=1
2
EF，且EF=BD．
∴OE=OF，OA=OC．
∴四边形AECF是平行四边形．（依据1）
∵AC=BD，EF=BD，
∴AC=EF．
∴四边形AECF是矩形．（依据2）
∴∠CEA=90°，
即AE⊥CE．
反思交流：
（1）上述证明过程中“依据1”“依据2”分别是什么？
拓展再探：
（2）“创新小组”受到“兴趣小组”的启发，提出的问题是：“如图4，分别延长AE，FB交于点P，求证：EB=PB．”请你帮助他们写出该问题的证明过程．
（3）“智慧小组”提出的问题是：若∠BAP =30°，AE =31-，求正方形ABCD 的面积．请你解决“智慧小组”提出的问题． 17．（问题探究）
（1）如图1，△ABC 和△DEC 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点B ，D ，E 在同一直线上，连接AD ，BD ．
①请探究AD 与BD 之间的位置关系？并加以证明． ②若AC ＝BC ＝10，DC ＝CE ＝2，求线段AD 的长． （拓展延伸）
（2）如图2，△ABC 和△DEC 均为直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，AC ＝21，BC ＝7，CD ＝3，CE ＝1．将△DCE 绕点C 在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD 为α（0°≤α
＜360°），作直线BD ，连接AD ，当点B ，D ，E 在同一直线上时，画出图形，并求线段AD 的长．
18．随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节：（观察猜想）-（探究证明）-（拓展延伸）．下面同学们从这三个方面试看解决下列问题：
已知：如图1所示将一块等腰三角板BMN 放置与正方形ABCD 的B 重含，连接 AN 、CM ，E 是AN 的中点，连接BE ．
（观察猜想）
（1）CM 与 BE 的数量关系是________，CM 与BE 的位置关系是___________；
（探究证明）
（2）如图2所示，把三角板 BMN 绕点B 逆时针旋转(090)αα<<，其他条件不变，线段
CM 与BE 的关系是否仍然成立，并说明理由；
（拓展延伸）
（3）若旋转角45α=︒，且2NBE ABE ∠=∠，求BC
BN
的值． 19．综合与实践背景阅读：
“旋转”即物体绕一个点或一个轴做圆周运动．在中国古典专著《百喻经·口诵乘船法而不解用喻》中记载：“船盘回旋转，不能前进．”而图形旋转即：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．综合实践课上，“睿智”小组专门探究了正方形的旋转，情况如下：在正方形ABCD 中，点O 是线段BC 上的一个动点，将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转得到正方形A B C D ''''（点A '，B '，C '，D 分别是点A ，B ，C ，D 的对应点）．设旋转角为α（0180α<<︒）．
操作猜想：
（1）如图1，若点O 是BC 中点，在正方形ABCD 绕点旋转过程中，连接AA '，BB '，
DD '，则线段AA '与DD '的数量关系是_______；线段AA '与BB '的数量关系是________． 探究验证：
（2）如图2，在（1）的条件下，在正方形ABCD 绕点O 旋转过程中，顺次连接点B ，
B '，
C ，C '，B ．判断四边形''BB CC 的形状，并说明理由． 拓展延伸：
（3）如图3，若2BO CO =，在正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转的过程中，设直线BB '交线段AA '于点P ．连接OP ，并过点O 作OQ BB '⊥于点Q ．请你补全图形，并直接写出
OP
OQ
的值． 20．综合与实践 动手操作
利用旋转开展教学活动，探究图形变换中蕴含的数学思想方法．
如图1，将等腰直角三角形ABC 的AB 边绕点B 顺时针旋转90°得到线段A B '，
90ACB ∠=︒，1AC =，连接A C '，过点A '作A H CB '⊥交CB 延长线于点H ．
思考探索 （1）在图1中：
①求证：ABC A BH '≌△△； ②A BC '的面积为______； ③tan A CB '∠=______． 拓展延伸
（2）如图2，若ABC 为任意直角三角形，90ACB ∠=︒．BC 、AC 、AB 分别用a 、b 、c 表示．请用a 、b 、c 表示： ①A BC '的面积：______； ②A C '的长：______；
（3）如图3，在ABC 中，AB AC =，AB A B '⊥，10AB =，12BC =，5A B '=，连接
A C '．
①A BC '的面积为______；
②点D 是BC 边的高上的一点，当AD =______时，A D DB '+有最小值______．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、二次函数压轴题
1．探究：（1）223y x x =--+；（2）①S =239
22t t =--，②ACP ∆的面积的最大值是
278，此时点P 的坐标为315
(,)24
-，拓展：2a ≤-. 【分析】
（1）由待定系数法易求解析式；
（2）过点P 作PN AO ⊥于点N ，交AC 于点Q .设点P 的坐标为()
2
,23t t t --+，由
PQC PQA S S S ∆∆=+可得关于t 的二次函数，进而可求最大值.
（3）根据抛物线与MN 的位置关系可知当抛物线经过M 点时，a 取最大值. 【详解】
探究：（1）∵抛物线223y ax x =-+经过点()3,0A -， ∴()()2
03233a =--⨯-+，解得1a =-.
∴抛物线的表达式为223y x x =--+.
（2）①过点P 作PN AO ⊥于点N ，交AC 于点Q .
设直线AC 的解析式为()0y kx b k =+≠， 将()3,0A -、()0,3C 代入y kx b =+，
303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得：1
3k b =⎧⎨
=⎩
， ∴直线AC 的解析式为3y x =+.
∵点P 在抛物线223y x x =--+上，点Q 在直线AC 上，
∴点P 的坐标为()
2
,23t t t --+，点Q 的坐标为(),3t t +，
∴()2
233P Q PQ y y t t t =-=--+-+ 23t t =--，
∴()
21332PQC PQA S S S t t ∆∆=+=
--⋅ 23922
t t =--. ②∵239
22
S t t =--，
∴当9
323222t =-=-⎛⎫⨯- ⎪
⎝⎭时，2
max 33932722228S ⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当32t =-时，2
331523224p y ⎛⎫⎛⎫
=---⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
∴ACP ∆的面积的最大值是
278，此时点P 的坐标为315,24⎛⎫
- ⎪⎝⎭
. [拓展]：抛物线y=ax 2−2x+3(a<0),当x=1时，y=a-2+3=a+1＜3，故抛物线右边一定与MN 有交点，
当x=-1，y=a+2+3=a+5，在M 点或下方时，抛物线左边边一定与MN 有交点， 即a+5≤3； ∴2a ≤-； 【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积的计算，极值的确定，关键是确定出抛物线解析式，难点是数形结合确定a 点的求值范围．
2．F
解析：（1）连线见解析，二次函数；（2）22；（3）m=0或m=4 3
【分析】
（1）根据描点法画图即可；
（2）过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，证明Rt△FGK≌Rt△DHK （AAS），由全等三角形的性质得出FG=DH，可求出F（﹣m，﹣2m+4），根据勾股定理得出l=EF2=8m2﹣16m+16=8（m﹣1）2+8，由二次函数的性质可得出答案；
（3）分三种不同情况，根据直角三角形的性质得出m的方程，解方程求出m的值，则可求出答案．
【详解】
解：（1）用描点法画出图形如图1，由图象可知函数类别为二次函数．
（2）如图2，过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，
则∠FGK=∠DHK=90°，
记FD交y轴于点K，
∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，
∴KF=KD，
∵∠FKG=∠DKH，
∴Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），
∴FG=DH，
∵直线AC的解析式为y=﹣8
3
x+4，
∴x=0时，y=4，
∴A （0，4）， 又∵B （﹣2，0），
设直线AB 的解析式为y =kx +b ，
∴204k b b ⎧-+=⎨=⎩， 解得
24
k b ， ∴直线AB 的解析式为y =2x +4， 过点F 作FR ⊥x 轴于点R ， ∵D 点的横坐标为m ， ∴F （﹣m ，﹣2m +4）， ∴ER =2m ，FR =﹣2m +4， ∵EF 2=FR 2+ER 2，
∴l =EF 2=8m 2﹣16m +16=8（m ﹣1）2+8， 令﹣
83x
+4=0，得x =32
， ∴0≤m ≤32
．
∴当m =1时，l 的最小值为8， ∴EF 的最小值为22．
（3）①∠FBE 为定角，不可能为直角．
②∠BEF =90°时，E 点与O 点重合，D 点与A 点，F 点重合，此时m =0． ③如图3，∠BFE =90°时，有BF 2+EF 2=BE 2．
由（2）得EF 2=8m 2﹣16m +16， 又∵BR =﹣m +2，FR =﹣2m +4，
∴BF 2=BR 2+FR 2=（﹣m +2）2+（﹣2m +4）2=5m 2﹣20m +20， 又∵BE 2=（m +2）2，
∴（5m 2﹣20m +8）+（8m 2﹣16m +16）2=（m +2）2， 化简得，3m 2﹣10m +8=0，
解得m 1=4
3
，m 2=2（不合题意，舍去），
∴m =43
．
综合以上可得，当△BEF 为直角三角形时，m =0或m =4
3
．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合应用，考查了描点法画函数图象，待定系数法，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，二次函数的性质，勾股定理，中心对称的性质，直角三角形的性质等知识．准确分析给出的条件，结合一次函数的图象进行求解，熟练掌握方程思想及分类讨论思想是解题的关键．．
3．D
解析：（1）y =3x +3，y =﹣x 2+2x +3，顶点D 的坐标为(1，4)；（2）四边形PMAC 的面积的最大值为
10516，此时点P 的坐标为(9
4，32
)；（3）点Q 的坐标为(2，3)或
(13)或
(13)． 【分析】
（1）先求出点C 坐标，然后利用待定系数法即可求出直线AC 及抛物线的解析式，把抛物线的一般式转化为顶点式即可求出D 点的坐标；
（2）先根据待定系数法求出直线BD 的解析式，设点P 的横坐标为p ，然后根据S 四边形
PMAC =S △OAC +S
梯形OMPC
即可得出S 四边形PMAC 与p 的关系式，再根据二次函数的性质解答即可；
（3）由题意得PQ ∥AC 且PQ =AC ，设点P 的坐标为(x ，0)，当点Q 在x 轴上方时，则点Q 的坐标为(x +1，3)，把点Q 的坐标代入抛物线的解析式即可求出x ，进而可得点Q 坐标；当点Q 在x 轴下方时，则点Q 的坐标为(x ﹣1，﹣3)，同样的方法求解即可． 【详解】
（1）∵抛物线y =﹣ax 2+bx +3与y 轴交于点C ， ∴点C (0，3)，
设直线AC 的解析式为y =k 1x +b 1(k 1≠0)． ∵点A (﹣1，0)，点C (0，3)，
∴11103k b b -+=⎧⎨=⎩，解得：11
3
3k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为y =3x +3．
∵抛物线y =﹣ax 2+bx +3与x 轴交于A (﹣1，0)，B (3，0)两点，
∴309330a b a b --+=⎧⎨-++=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y =﹣x 2+2x +3． ∵y =﹣x 2+2x +3=﹣(x ﹣1)2+4， ∴顶点D 的坐标为(1，4)； （2）设直线BD 的解析式为y =kx +b ． ∵点B (3，0)，点D (1，4)，
∴304k b k b +=⎧⎨+=⎩，得26k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BD 的解析式为y =﹣2x +6． ∵P 为线段BD 上的一个动点， ∴设点P 的坐标为(p ，﹣2p +6)． ∵OA =1，OC =3，OM =p ，PM =﹣2p +6，
∴S 四边形PMAC =S △OAC +S 梯形OMPC 111326322p p =⨯⨯+-++⨯（）=﹣p 29
2+p 32+=﹣(p 94-)210516
+，
∵1＜p ＜3， ∴当p 94=
时，四边形PMAC 的面积取得最大值为10516，此时点P 的坐标为(9
4，32
)； （3）∵直线l ∥AC ，以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形， ∴PQ ∥AC 且PQ =AC ．
设点P 的坐标为(x ，0)，由A (﹣1，0)，C (0，3)， 当点Q 在x 轴上方时，则点Q 的坐标为(x +1，3)， 此时，﹣(x +1)2+2(x +1)+3=3， 解得：x 1=﹣1(舍去)，x 2=1， ∴点Q 的坐标为(2，3)；
当点Q 在x 轴下方时，则点Q 的坐标为(x ﹣1，﹣3)， 此时，﹣(x ﹣1)2+2(x ﹣1)+3=﹣3， 整理得：x 2﹣4x ﹣3=0， 解得：x 1=27x 2=27-
∴点Q 的坐标为(173)或(17，﹣3)，
综上所述：点Q 的坐标为(2，3)或(17+3)或(17，﹣3)．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质和一元二次方程的解法等知识，综合性强、具有一定的难度，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用相关知识是解题的关键．
4．（1）2
43y x x --＝；（2）如图所示，见解析；性质：函数的图象关于直线=2x 对
称；或：当0x =或4时，函数有最小值3-；（3）①1；②0x =或35x ≤≤． 【分析】
（1）将0x =，3y =-；4x =，3y =-；1x =，0y =代入2||(0)y a x bx c a =++≠，得到：
3c =-，4b =-，1a =，即可求解析式为2|4|3y x x =--；
（2）描点法画出函数图象，函数关于2x =对称；
（3）①从图象可知：当2x =时，1y =，1k =时直线y k =与函数2|4|3y x x =--有三个交点；
②3y x =-与243y x x =--的交点为0x =或5x =，结合图象，2|4|33y x x x =---≤的解集为35x ≤≤． 【详解】
解：（1）将0x =，3y =-；4x =，3y =-；1x =，0y =代入2||(0)y a x bx c a =++≠， 得到：3164310c a b c a b c ⎧=-⎪++=-⎨⎪++=⎩
，解得143
a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩
2|4|3y x x ∴=--，
故答案为2|4|3y x x =--． （2）如图：
函数关于直线2x =对称，
（3）①当2x =时，1y =，
1k ∴=时直线y k =与函数2|4|3y x x =--有三个交点，
故答案为1；
②3y x =-与243y x x =--的交点为0x =或5x =或x=3， 结合图象，2|4|33y x x x =---≤的解集为0x =或35x ≤≤， 故答案为0x =或35x ≤≤． 【点睛】
本题类比函数探究过程探究绝对值函数与不等式组关系；能够准确的画出函数图象，从函数图象中获取信息，数形结合解题是关键．
5．E
解析：（1）①2243y x x =--；②2；（2）2(1)y x x =-->；（3）43P y -<<- 【分析】
（1）①把点E （-1，3）代入223y mx mx =--求出m 的值即可；②先求出直线EF 的解析式，设出点M 的坐标，得到MN 的二次函数关系式，根据二次函数的性质求解即可； （2）写出抛物线G 的顶点式，根据平移规律即可得到1G 的顶点式，进而得到1G 的顶点坐标(1,3)m m +--，即1,3x m y m =+=--，消去m ，得到y 与x 的函数关系式，再由0m >即可求得x 的取值范围；
（3）求出抛物线怛过点A （2，-3），函数H 的图象恒过点B （2，-4），从图象可知两函数图象的交点P 应在A ，B 之间，即点P 的纵坐标在A ，B 点的纵坐标之间，从而可得结论． 【详解】
解：（1）①∵抛物线2:23G y mx mx =--经过点E （-1，3） ∴233m+m =- ∴2m =
∴抛物线的解析式为：2243y x x =--
②如图，
∵点F 为抛物线的最低点，
∴22243=2(1)5y x x x =----
∴(1,5)F -
设直线EF 的解析式为：y kx b =+
把E （-1，3），F （1，-5）代入得，
35k b k b -+=⎧⎨+=-⎩
解得，41k b =-⎧⎨=-⎩
∴直线EF 的解析式为：41y x =--
设2(,243)M a a a --，则(,41)N a a --
∴22(41)243)=(22M a N a a a ------+=
∵20-<
∴当0a =时，MN 有最大值，最大值为2；
（2）∵抛物线2:(1)3G y m x m =---
∴平移后的抛物线21:(1)3G y m x m m =----
∴抛物线1G 的顶点坐标为(1,3)m m +--
∴1,3x m y m =+=--
∴132x y m +=+-=-
∴2y x =--
∵0,1m m x >=-
∴10x ->
∴1x >
∴y 与x 的函数关系式为：2(1)y x x =-->
（3）如图，函数:2(1)H y x x =-->的图象为射线，
1x =时，123y =--=-；
2x =时，224y =--=-
∴函数H 的图象恒过点（2，-4）
∵抛物线2:(1)3G y m x m =---，
当1x =时，3y m =--；
当2x =时，33y m m =--=-；
∴抛物线G 恒过点A （2，-3）
由图象可知，若抛物线G 与函数H 的图象有交点P ，则有B P A y y y <<
∴点P 纵坐标的取值范围为：43P y -<<-
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，涉及到待定系数法求解析式、二次函数的性质和数形结合思想等知识，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键．
6．A
解析：（1）233642y x x =--；（2）454
；（3）134）存在，点N 的坐标为：15114,4⎛⎫ ⎪⎝
⎭或15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或151,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【分析】
（1）把A 、B 两点坐标代入26y ax bx =+-可得关于a 、b 的二元一次方程组，解方程组求出a 、b 的值即可得答案；
（2）过D 作DG x ⊥轴于G ，交BC 于H ，根据抛物线解析式可得点C 坐标，利用待定系
数法可得直线BC 的解析式，设233,642D x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，根据BC 解析式可表示出点H 坐标，即可表示出DH 的长，根据△BCD 的面积列方程可求出x 的值，即可得点D 坐标，利用三角形面积公式即可得答案；
（3）根据二次函数的对称性可得点A 与点B 关于直线l 对称，可得BC 为AP +CP 的最小值，根据两点间距离公式计算即可得答案；
（4）根据平行四边形的性质得到MB //ND ，MB =ND ，分MB 为边和MB 为对角线两种情
况，结合点D 坐标即可得点N 的坐标．
【详解】
（1）∵抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，()2,0A -，()4,0B ，
∴426016460a b a b --=⎧⎨+-=⎩
， 解得：3432a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， ∴抛物线的解析式为：233642
y x x =--． （2）如图，过D 作DG x ⊥轴于G ，交BC 于H ，
当0x =时，6y =-，
∴()0,6C -，
设BC 的解析式为y kx b =+，则640b k b =-⎧⎨+=⎩
， 解得326
k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴BC 的解析式为：362
y x =-， 设233,642D x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则3,62H x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
， ∴2233336632424DH x x x x x ⎛⎫=----=-+ ⎪⎝⎭
， ∵BCD △的面积是92
， ∴
1922DH OB ⨯=， ∴213943242
x x ⎛⎫⨯⨯-+= ⎪⎝⎭， 解得：1x =或3，
∵点D 在直线l 右侧的抛物线上， ∴153,4D ⎛⎫- ⎪⎝
⎭， ∴ABD △的面积11154562244
AB DG ⨯=⨯⨯=；
（3）∵抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，
∴点A 与点B 关于直线l 对称，
∴BC 为AP +CP 的最小值，
∵B （4，0），C （0，-6），
∴AP +CP 的最小值=BC 2246+213 故答案为：213（4）①当MB 为对角线时，MN //BD ，MN =BD ，
过点N 作NE ⊥x 轴于E ，过当D 作DF ⊥x 轴于F ，
∵点D （3，154-
）， ∴DF =154
， 在△MNE 和△BDF 中，NEM DFB NMB DBF MN BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△MNE ≌△BDF ，
∴DF =NE =154
， ∵点D 在x 轴下方，MB 为对角线，
∴点N 在x 轴上方，
∴点N 纵坐标为
154， 把y =154代入抛物线解析式得：215336442x x =--， 解得：1114x =2114x = ∴1N （114154），2N （114154）
如图，当BM 为边时，MB //ND ，MB =ND ，
∵点D （3，154-）， ∴点N 纵坐标为154-
， ∴233156424x x --=-， 解得：11x =-，23x =（与点D 重合，舍去）， ∴3N （1-，154-
），
综上所述：存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，点N 的
坐标为：15114,4⎛⎫ ⎪⎝
⎭或15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或151,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【点睛】
本题考查的是二次函数的综合，首先要掌握待定系数法求解析式，其次要添加恰当的辅助线，灵活运用面积公式和平行四边形的判定和性质，应用数形结合的数学思想解题． 7．A
解析：（1）(0,4)C '-，y ＝－x ＋4；（2）M （1，－1）；（3）12S S -的最大值是4．
【分析】
（1）先求得点A ，B ，C 的坐标，即可求得C '的坐标，再用待定系数法求得直线BC 的表达式；
（2）过M 作MH ⊥y 轴于点H ，连接OM ． 证明△OMB ≌△O MC '，即可得
∠MOB =C OM ∠'．再求得∠MOB =C OM ∠'=45°；由此求得OH MH =． 再求得抛物线的对称轴，即可求得点M 的坐标；
（3）过B 作BI ⊥PQ 于I ．易求122S S QP -=，再求得PQ 的最大值，即可求得12S S -的最大值．
【详解】
（1）∵抛物线与x 轴相交于点A ，B ，
当y ＝0时，21402
x x -++=，解，得122,4x x =-=； ∴B （4，0）
∵抛物线与x 轴相交于点C ，
∴当x ＝0时，y ＝4，
∴C （0，4），
(0,4)C -'∴．
设BC 的表达式为y ＝kx ＋b ，
将B ，C 两点坐标分别代入得404k b b +=⎧⎨=⎩，解，得14
k b =-⎧⎨=⎩． 直线BC 的表达式为y ＝－x ＋4 ；
（2）过M 作MH ⊥y 轴于点H ，连接OM ．
∵四边形BMC N '是菱形，
∴BM =MC '，
∵B （4，0），C （0，4），
∴OB ＝OC ，
∵OM=OM ，
∴△OMB ≌△O MC '，
∴∠MOB =C OM ∠'．
∵∠BO C '＝90°，
∴∠MOB =C OM ∠'=45°；
∵MH ⊥y ，
OH MH ∴=．
∵抛物线的对称轴为直线11122x =-
=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭， 1OH MH ∴==． ∴M （1，－1）．
（3）过B 作BI ⊥PQ 于I ．
∵PQ //x 轴，
∴∠IEO ＝90°
90IEO EOB BIE ∠∠∠===，
∴四边形EOBI 是矩形．
BI OE ∴=．
12ΔΔΔΔΔΔ1)11(2222
QDC QD QPD QD QPC QPB P P S S S S S S S S QP C E QP BI QP C O QP ''∴-=-=''++-=⋅-⋅=⋅= ，
∵点P 在抛物线上，且点P 的横坐标为m ，
∴点P 的纵坐标为2142
m m -++． ∵PQ //x 轴， ∴点Q 的纵坐标为2142
m m -++，将其代入y ＝－x ＋4， ∴点Q 的横坐标为212
m m -． ∵点P 是抛物线第一象限内，
∴点P 在点Q 右侧，
2221112(2)2222PQ m m m m m m ⎛⎫∴=--=-+=--+ ⎪⎝⎭
．
102
-<， ∴当m ＝2时，PQ 的最大值是2，
∴12S S -的最大值是4．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，解决第（3）题时构建二次函数模型是解决问题的关键． 8．A
解析：（1）直线AC 的表达式为y ＝x +4；（2）运动时间为0或（4EC ＝ED ；（3）3(,0)2
P -
【分析】
（1）由抛物线的解析式中x ，y 分别为0，求出A ，C 的坐标，再利用待定系数法确定直线AC 的解析式；
（2）设出运动时间为t 秒，然后用t 表示线段OP ，CE ，AP ，DE 的长度，利用已知列出方程即可求解；
（3）利用等量代换求出△EBP 的周长为AB +BE ，由于AB 为定值，BE 最小时，△EBP 的周长最小，根据垂线段最短，确定点E 的位置，解直角三角形求出OP ，点P 坐标可求．
【详解】
解：（1）∵ 抛物线y ＝﹣x 2﹣3x +4与x 轴分别交于A ，B ，交y 轴于点C ，
∴ 当x ＝0时，y ＝4．
∴ C （0，4）．
当y ＝0时，﹣x 2﹣3x +4＝0，
∴ x 1＝﹣4，x 2＝1，
∴ A （﹣4，0），B （1，0）．
设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ， ∴ -404k b b +=⎧⎨=⎩
解得：14
k b =⎧⎨=⎩ ∴ 直线AC 的表达式为y ＝x +4．
（2）设点P 的运动时间为t 秒，
∵点P 以每秒1个单位长度的速度由点O 向点A 运动，
∴ OP ＝t ．
∴ P （﹣t ，0）．
∵ A （﹣4，0），C （0，4），
∴ OA ＝OC ＝4．
∴ Rt △AOC 为等腰直角三角形．
∴ ∠CAO ＝∠ACO ＝45°，AC ＝
．
∵ DP ⊥x 轴，
在Rt △APE 中，∠CAP ＝45°，
∴ AP ＝PE ＝4﹣t ，AE
AP 4﹣t ）．
∴ EC ＝AC ﹣AE
．
∵ E ，P 的横坐标相同，
∴ E （﹣t ，﹣t +4），D （﹣t ，﹣t 2+3t +4）．
∴ DE ＝（﹣t 2+3t +4）﹣（﹣t +4）＝﹣t 2+4t ．
∵ EC ＝DE ，
∴﹣t 2
+4t ．
解得：t ＝0或t ＝4
∴ 当运动时间为0或（4）秒时，EC ＝ED ．
（3）存在．P 的坐标为（﹣32
，0）． 在Rt △AEP 中，∠OAC ＝45°，
∴ AP ＝EP ．
∴ △AEB 的周长为EP +BP +BE ＝AP +BP +BE ＝AB +BE ．
∵ AB ＝5，
∴ 当BE 最小时，△AEB 的周长最小．
当BE ⊥AC 时，BE 最小．
在Rt △AEB 中，
∵∠AEB ＝90°，∠BAC ＝45°，AB ＝5，BE ⊥AC ，
∴ PB ＝12AB ＝52
． ∴ OP ＝PB ﹣OB ＝32
． ∴ P （﹣32
，0）． 【点睛】
本题考查了二次函数，一次函数的图象和性质，垂线段最短的性质，等腰三角形的性质，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键． 9．(1) y=2
21x ;(2)m=1,n=3;(3) 函数存在最大值,当x=0是,y 取得最大值2.(4)-1≤x≤2 【分析】
(1)待定系数法求解函数解析式
(2)分别将m,n 代入函数解析式,求出对应的横纵坐标即可求解
(3)观察图像即可,答案不唯一
(4)观察图像选择曲线在上方的区域即可.
【详解】
解(1)将(0,2),(1,1)代入解析式得
20111b b k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 解得:12k b =⎧⎨=⎩ ∴函数的解析式为y =
221
x + (2) ①令x =-1,
则y=1,
∴m =1 令y =15
,则x =±3, ∵2＜n ＜4,
∴n =3
②
(3)函数存在最大值,当x =0是,y 取得最大值2.
(4)直接观察图象可知,
当|715x ﹣815
|≤时,-1≤x ≤2 【点睛】
本题考查了用待定系数法求函数的解析式,函数的图象和性质,根据函数图象求解不等式等问
题,综合性强,熟悉函数的图象和性质是解题关键.
10．F
解析：（1）223y x x =--+，1x =-；（2）O 1)
3）满足条件的点F 的坐标为F 1(-2，3)，F 2(3，-12)． 【分析】
（1）把A （1，0），B （-3，0）代入y=ax 2+bx+3即可求解；
（2）先求出直线OO 1的解析式为y x =，再根据223x x x --+=，求解即可或是根据23(23)3x x x +---+=得出x 的值，再根据直线OO 1的解析式为y x =求解；
（3）先求出直线EF 解析式为 33y x =--，再根据22333x x x --+=--求解即可．
【详解】
解：（1）将点A （1, 0），B （-3, 0）代入抛物线解析式y=a x 2+b x+3
得：{30
9330
a b a b ++=-+= 解得：{12a b =-=-
∴抛物线解析式为 223y x x =--+
∴2(1)4y x =++ ∴1x =-
（2）∵点C 为223y x x =--+与y 轴的交点∴C （0，3）
∵B(－3，0)∴OB ＝OC ∴ ∠CBO=45°
∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1
∴直线OO 1∥BC ∴ ∠O 1OA=45°
∴直线OO 1的解析式为y x =
根据题意 得 223x x x --+=
整理得 2330x x +-=
解得 1x =2x =
∴O 1 )或) 解法2 ∵点C 为223y x x =--+与y 轴的交点∴C （0，3）∴OC=3
∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1 01C 1=3
∴23(23)3x x x +---+=
整理得 2330x x +-=
解得 132x -= 232
x -= ∵B(－3，0)∴OB ＝OC ∴ ∠CBO=45°
∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1
∴直线OO 1∥BC ∴ ∠O 1OA=45°
∴直线OO 1的解析式为y=x。