行列式典型例题
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这种形式的行列式简称两边加一对角线行列式它必可利用行列式性质化为三角形行列式而求得其值所以11计算n阶行列式14将左上角的x改写为xaa第一列的a均改写为0a于是第一列各元素均为两项之和于是15利用类似的方法可得故从式1与2中可以消去dn1计算n阶行列式17解法1化为三角行列式此题的特点与2例6相同
i 1 i 1
n
ai ) xi ai
例4
计算n阶行列式
x a x a a x a a a x
D
a
n
a a
a a a
解
将左上角的x改写为(xa)＋a，第一列的(a)均 改写为0＋( a)，于是第一列各元素均为两项 之和，于是
a x a a a a x a a a a x a a a x a a a a a a a x
a2 a2 x2 a2 a2
an an an x n ( n) a3 a3 a3 x3 a3 an an an an x n (n 1)
D
a1
n
a1 a1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0 0 0
1 1 1 1 1
a1 x1 a1 0 0 0
2 j i n
(a
i
aj)
1 j i n
(a
i
a j ).
注意：范德蒙行列式是等于零a1, a2, …, an中至 少有两元素相等.
利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德 蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列 式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。
例2 计算
例3
计算n阶行列式
x1 a2 x2 a2 a2 a3 a3 x3 a3 an an an xn
D
a1
n
a1 a1
加边法：行列式的每行或每列除对角线上元素 外分别是某个数的倍数.
x1
a2 x2 a2 a2 1 0
a3 a3 x3 a3 a1 x1 a1 a1 a1
按第1列展开，并把每列的公 因子 (a i a1 ) 提出， 就有
1 a2 (a 2 a1 )(a3 a1 ) (a n a1 ) n2 a2
1 1 a3 a n n2 n2 a3 an
n-1阶范德蒙行列式
Vn (a 2 a1 )(a3 a1 ) (a n a1 )
Vn
n n
2 2 3 3
1
1
2 2
2 3
1
n n
.
2
n
n
解 D n 中各行元素分别是一个 数的不同方幂 , 方幂
次数自左至右按递升次 序排列，但不是从 0变到 n 1, 而是由1递升至 n.若提取各行的公因子， 则方 幂次数便从 0增至 n 1，于是得到
V n n!
第4节 典型例题
n阶行列式的计算是学习线性代数的基础， 在以后的各章中都要用到它。这里主要应该掌 握的基本方法是： 1. 用n阶行列式的性质把一般行列式化成 特殊行列式（如上三角行列式等）来计算。 2. 用n阶行列式的展开定理，把行列式按 某一行（列）展开，即化高阶行列式为低 阶行列式来计算。(Laplace定理) 3. 其他方法：对于具有特殊形式的行列式， 有一些特殊的方法：递推、归纳、加边等.
(-1)
(-1)
(-1)
1 1 1
a 0 0
a 0 0
a xa 1 0
a 0 0
a xa 0 1
1 x a
xa
把行列式的第2、 3、···、n+1列分 1 别提出公因子xa，得 ( x a)n 1
xa
……
Dn n 1
7. 解
0 0 计算行列式 Dn an
n ( n 1) 2 n
0 0 a2 0
a1 0 0
Dn (1)
a
i 1
i
x
y x
8例 、5 : 求Dn
y
x Dn x y x
y x
. y x
解 : 将Dn按第1列展开，则
y x y x (1)
例1
证明范得蒙(Vandermonde)行列式
1 a1 2 Vn a1 n1 a1 1 a2 2 a2 n1 a2
1 1
1 an 2 a n (a i a j ) 1 j i n n1 an
(1)
证明 用数学归纳法
D2 a1 a 2 a 2 a1
0 3/ 2
2 0 0 0
=…=
1 0 0 0
0 1 4/3
0 0 1
0 0 0 2 1 1 2
0 3/ 2
2 0 0 0
=n+1.
1 0 0 0
0 1 4/3
0 0 1
0
0 0 0 1 ( n 1) / n
2 1 1 2 Dn 0 1
0 1 2
0 0 1
0 0 0 2 1 1 2
1 ( ) 2
0 0 0 0
2 0 0 0
1 1 0 0
0 1 2
0 0 1
0 0 0 2 1 1 2 2 ( ) 3
x a 0 Dn 0 0
即
Dn ( x a ) Dn 1 a ( x a ) n 1
（1）
利用类似的方法，可得
xa 0 Dn 0 a x a a a x a a a x a a a a x
( x a ) Dn1 a ( x a ) n1
[ x (n 1)a ]( x a ) n 1
例6 计算行列式
2 1 1 2 Dn 0 1
0 1 2
0 0 1
0 0 0 2 1 1 2
0 0 0 0
解：此类型行列式称为三对角线型，常采用方法是将 两条次对角线中某一条上元素全化为零或递推法.
n 1
y y x y x y
1
na 1 x a 0 (x a)n 0 0
a x a 1 0 0
a x a 0 1 0
a x a 0 0
1
[ x (n 1)a ]( x a ) n 1
解法4
递推法
将Dn的第一列元素都写成两个元素之和，然 后将Dn拆成两个n阶行列式的和，再利用递推关系
2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 Dn 0 1 2 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 1 2 2
2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 1 2 n 1
a2 a2 x2 0 1 0 0
a3 a3 x3 0 0 1 0
an an xn 0 0 0
1
(n 1)
1
i 1
n
ai ai xi 0
a1 a1 x1 1 0 0 0
n
a2 a2 x2 0 1 0 0
1 j i 2
(a
i
a j ),
当 n 2 时（1）式成立．
假设设1）对对 n 1 阶范德蒙行列式成立，
Vn 1 1 1 0 a 2 a1 a3 a1 0 a 2 (a 2 a1 ) a3 (a3 a1 ) n2 n2 0 a2 (a 2 a1 ) a3 (a3 a1 ) 1 a n a1 a n (a n a1 ) n2 an (a n a1 )
1 1 1 1
1 2 3
n
1 2 3
2
2
n
1 2 3 n
n 1
n 1
.
2
n 1
上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知
V n n!
1 j i n
(a a
i
j
)
n! ( 2 1)( 3 1) ( n 1) ( 3 2 )( 4 2 ) ( n 2 ) [ n ( n 1)] n! ( n 1)! ( n 2 )! 2!1!.
a3 a3 x3 0 0 1 0
an an xn 0 0 0
(a i x i )
i 1
n
0 0 0
1
(n
(a i x i )(1) (1
n i 1 n i 1
n
ai ) ai xi
( x i a i )(1
解法2 化为两边加一对角线行列式
x a x a a a a x a a a a x
(-1)
D
a
n
a a
(-1)
(-1)
x ax ax ax
a x a 0 0
a 0 x a 0
a 0 0 x a
x (n1)a 0 0 0
( x a) a a a Dn 0a 0a x a a x
x a 0 0
a x a
a a a
a a a
a x a
a a x
( x a ) Dn1 a ( x a ) n1 ( x a )[( x a ) Dn 2 a ( x a ) n 2 ] a ( x a ) n1 ( x a ) 2 Dn 2 2a ( x a ) n1 ( x a ) n1 Dn( n1) (n 1)a ( x a ) n1 ( x a ) n1[ D1 (n 1)a ]
0 3/ 2
( n 1) / n
2 1 0 0 0 1 2 1 0 0
解法2
Dn
0 1 2 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 1 2
证
与Dn 形式相同， Dn1 记为
1 0 0 0 0 1 2 1 0 0 ( 1) 21 0 1 2 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 1 2 n 1
a2 0 x2 a2 0 0
a3 0 0 x3 a3 0
an 0 0 0 x n a n (n 1)
这种形式的行列式简称“两边加一对角线” 行列式，它必可利用行列式性质化为三角形行 列式而求得其值，所以
1 1 1 Dn 1 1
a1 a1 x1 1 0 0 0
2 1 0 0 1 2 0 0 2 Dn 1 0 0 2 1
2 Dn 1 Dn 2
（递推公式）
0 0 1 2 n2
根据递推公式
D1 2 2
D2 2 1 3 1 2
D3 2 D2 D1 4
D4 2 D3 D2 5
（2）
故从式（1）与（2）中可以消去Dn-1
1 Dn [( x a ) n ( x a ) n ] 2
例5
计算n阶行列式
x a x a a a a x a a a a x
D
a
n
a a
解法1 化为三角行列式
此题的特点与§2例6相同. 把各行都 加到第一行上，然后提出公因式x+(n 1)a， 得
1 1 x a a 1 a x a 1 a a x a
n
(-a)
D
[ x (n 1)a ] a a
(-a)
(-a)
1 0 [ x (n 1)a ] 0
1 x a 0
1 0 x a
[ x (n 1)a ]( x a ) n 1
a x a 0 0
a 0 x a 0
a 0 0 x a
[ x (n 1)a ]( x a ) n 1
解法3
加边法
将Dn添加一行、一列，构成n+1阶行列式。
1 a a a 0 x a a Dn Dn1 0 a x a 0 a a x
i 1 i 1
n
ai ) xi ai
例4
计算n阶行列式
x a x a a x a a a x
D
a
n
a a
a a a
解
将左上角的x改写为(xa)＋a，第一列的(a)均 改写为0＋( a)，于是第一列各元素均为两项 之和，于是
a x a a a a x a a a a x a a a x a a a a a a a x
a2 a2 x2 a2 a2
an an an x n ( n) a3 a3 a3 x3 a3 an an an an x n (n 1)
D
a1
n
a1 a1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0 0 0
1 1 1 1 1
a1 x1 a1 0 0 0
2 j i n
(a
i
aj)
1 j i n
(a
i
a j ).
注意：范德蒙行列式是等于零a1, a2, …, an中至 少有两元素相等.
利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德 蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列 式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。
例2 计算
例3
计算n阶行列式
x1 a2 x2 a2 a2 a3 a3 x3 a3 an an an xn
D
a1
n
a1 a1
加边法：行列式的每行或每列除对角线上元素 外分别是某个数的倍数.
x1
a2 x2 a2 a2 1 0
a3 a3 x3 a3 a1 x1 a1 a1 a1
按第1列展开，并把每列的公 因子 (a i a1 ) 提出， 就有
1 a2 (a 2 a1 )(a3 a1 ) (a n a1 ) n2 a2
1 1 a3 a n n2 n2 a3 an
n-1阶范德蒙行列式
Vn (a 2 a1 )(a3 a1 ) (a n a1 )
Vn
n n
2 2 3 3
1
1
2 2
2 3
1
n n
.
2
n
n
解 D n 中各行元素分别是一个 数的不同方幂 , 方幂
次数自左至右按递升次 序排列，但不是从 0变到 n 1, 而是由1递升至 n.若提取各行的公因子， 则方 幂次数便从 0增至 n 1，于是得到
V n n!
第4节 典型例题
n阶行列式的计算是学习线性代数的基础， 在以后的各章中都要用到它。这里主要应该掌 握的基本方法是： 1. 用n阶行列式的性质把一般行列式化成 特殊行列式（如上三角行列式等）来计算。 2. 用n阶行列式的展开定理，把行列式按 某一行（列）展开，即化高阶行列式为低 阶行列式来计算。(Laplace定理) 3. 其他方法：对于具有特殊形式的行列式， 有一些特殊的方法：递推、归纳、加边等.
(-1)
(-1)
(-1)
1 1 1
a 0 0
a 0 0
a xa 1 0
a 0 0
a xa 0 1
1 x a
xa
把行列式的第2、 3、···、n+1列分 1 别提出公因子xa，得 ( x a)n 1
xa
……
Dn n 1
7. 解
0 0 计算行列式 Dn an
n ( n 1) 2 n
0 0 a2 0
a1 0 0
Dn (1)
a
i 1
i
x
y x
8例 、5 : 求Dn
y
x Dn x y x
y x
. y x
解 : 将Dn按第1列展开，则
y x y x (1)
例1
证明范得蒙(Vandermonde)行列式
1 a1 2 Vn a1 n1 a1 1 a2 2 a2 n1 a2
1 1
1 an 2 a n (a i a j ) 1 j i n n1 an
(1)
证明 用数学归纳法
D2 a1 a 2 a 2 a1
0 3/ 2
2 0 0 0
=…=
1 0 0 0
0 1 4/3
0 0 1
0 0 0 2 1 1 2
0 3/ 2
2 0 0 0
=n+1.
1 0 0 0
0 1 4/3
0 0 1
0
0 0 0 1 ( n 1) / n
2 1 1 2 Dn 0 1
0 1 2
0 0 1
0 0 0 2 1 1 2
1 ( ) 2
0 0 0 0
2 0 0 0
1 1 0 0
0 1 2
0 0 1
0 0 0 2 1 1 2 2 ( ) 3
x a 0 Dn 0 0
即
Dn ( x a ) Dn 1 a ( x a ) n 1
（1）
利用类似的方法，可得
xa 0 Dn 0 a x a a a x a a a x a a a a x
( x a ) Dn1 a ( x a ) n1
[ x (n 1)a ]( x a ) n 1
例6 计算行列式
2 1 1 2 Dn 0 1
0 1 2
0 0 1
0 0 0 2 1 1 2
0 0 0 0
解：此类型行列式称为三对角线型，常采用方法是将 两条次对角线中某一条上元素全化为零或递推法.
n 1
y y x y x y
1
na 1 x a 0 (x a)n 0 0
a x a 1 0 0
a x a 0 1 0
a x a 0 0
1
[ x (n 1)a ]( x a ) n 1
解法4
递推法
将Dn的第一列元素都写成两个元素之和，然 后将Dn拆成两个n阶行列式的和，再利用递推关系
2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 Dn 0 1 2 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 1 2 2
2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 1 2 n 1
a2 a2 x2 0 1 0 0
a3 a3 x3 0 0 1 0
an an xn 0 0 0
1
(n 1)
1
i 1
n
ai ai xi 0
a1 a1 x1 1 0 0 0
n
a2 a2 x2 0 1 0 0
1 j i 2
(a
i
a j ),
当 n 2 时（1）式成立．
假设设1）对对 n 1 阶范德蒙行列式成立，
Vn 1 1 1 0 a 2 a1 a3 a1 0 a 2 (a 2 a1 ) a3 (a3 a1 ) n2 n2 0 a2 (a 2 a1 ) a3 (a3 a1 ) 1 a n a1 a n (a n a1 ) n2 an (a n a1 )
1 1 1 1
1 2 3
n
1 2 3
2
2
n
1 2 3 n
n 1
n 1
.
2
n 1
上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知
V n n!
1 j i n
(a a
i
j
)
n! ( 2 1)( 3 1) ( n 1) ( 3 2 )( 4 2 ) ( n 2 ) [ n ( n 1)] n! ( n 1)! ( n 2 )! 2!1!.
a3 a3 x3 0 0 1 0
an an xn 0 0 0
(a i x i )
i 1
n
0 0 0
1
(n
(a i x i )(1) (1
n i 1 n i 1
n
ai ) ai xi
( x i a i )(1
解法2 化为两边加一对角线行列式
x a x a a a a x a a a a x
(-1)
D
a
n
a a
(-1)
(-1)
x ax ax ax
a x a 0 0
a 0 x a 0
a 0 0 x a
x (n1)a 0 0 0
( x a) a a a Dn 0a 0a x a a x
x a 0 0
a x a
a a a
a a a
a x a
a a x
( x a ) Dn1 a ( x a ) n1 ( x a )[( x a ) Dn 2 a ( x a ) n 2 ] a ( x a ) n1 ( x a ) 2 Dn 2 2a ( x a ) n1 ( x a ) n1 Dn( n1) (n 1)a ( x a ) n1 ( x a ) n1[ D1 (n 1)a ]
0 3/ 2
( n 1) / n
2 1 0 0 0 1 2 1 0 0
解法2
Dn
0 1 2 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 1 2
证
与Dn 形式相同， Dn1 记为
1 0 0 0 0 1 2 1 0 0 ( 1) 21 0 1 2 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 1 2 n 1
a2 0 x2 a2 0 0
a3 0 0 x3 a3 0
an 0 0 0 x n a n (n 1)
这种形式的行列式简称“两边加一对角线” 行列式，它必可利用行列式性质化为三角形行 列式而求得其值，所以
1 1 1 Dn 1 1
a1 a1 x1 1 0 0 0
2 1 0 0 1 2 0 0 2 Dn 1 0 0 2 1
2 Dn 1 Dn 2
（递推公式）
0 0 1 2 n2
根据递推公式
D1 2 2
D2 2 1 3 1 2
D3 2 D2 D1 4
D4 2 D3 D2 5
（2）
故从式（1）与（2）中可以消去Dn-1
1 Dn [( x a ) n ( x a ) n ] 2
例5
计算n阶行列式
x a x a a a a x a a a a x
D
a
n
a a
解法1 化为三角行列式
此题的特点与§2例6相同. 把各行都 加到第一行上，然后提出公因式x+(n 1)a， 得
1 1 x a a 1 a x a 1 a a x a
n
(-a)
D
[ x (n 1)a ] a a
(-a)
(-a)
1 0 [ x (n 1)a ] 0
1 x a 0
1 0 x a
[ x (n 1)a ]( x a ) n 1
a x a 0 0
a 0 x a 0
a 0 0 x a
[ x (n 1)a ]( x a ) n 1
解法3
加边法
将Dn添加一行、一列，构成n+1阶行列式。
1 a a a 0 x a a Dn Dn1 0 a x a 0 a a x