复化求积公式计算定积分

试验四试验报告
专业: 数学与应用数学（师范）年级: 08 班级: 学号: 姓名:
试验目的
1.掌握各种复化求积公式, 并利用它们求定积分；
2.掌握比较一阶导数和二阶导数的数值方法；
3.通过用不同复化求积公式计算定积分, 并与精确解得比较, 明白各个复化求积公式的优缺点。

二: 试验题目
1.复化求积公式计算定积分
用复化梯形公式、复化辛普森公式、龙贝格公式求下列定积分, 要求绝对误差为, 并将计算结果与精确解进行比较：
(2)
⎰
-
=3
22
.
3
2
6
ln dx
x
x
2.比较一阶导数和二阶导数的数值方法
利用等距节点的函数值和端点的导数值, 用不同的方法求下列函数的一阶和二阶导数, 分析各种方法的有效性, 并用绘图软件绘出函数的图形, 观察其特点。

（2）y=e(-1/x)
一、实验原理
1.复化求积公式计算定积分
1.1复化梯形公式
将积分区间[a,b]分为n等分, 分点为=a+kh（k=0, 1, ….,n ）,其中h=（b-a）/n。

在每个小区间[ ]上用梯形公式, 则
])(2)()([2)]()([2][)]()([2][)]()([2)()(111011
010
1101110
1∑∑∑∑∑∑⎰⎰-=-=+-=-=+-=++-=++=+=++=⎭⎬⎫⎩
⎨⎧++-==+n k k n k k k N n k n k k k k n k k k k k k n k x x b a x f b f a f h x f x f h T f R x f x f h f R x f x f x x dx x f dx x f k k 记
1.2复化辛普森公式
将积分区间[a,b]分为n 等分, 分点为 =a+kh （k=0, 1, ….,n ）,其中h=（b-a ）/n 。

记区间[ , ]的中点为 在每个小区间[ ]上用辛普森公式, 则 S ])(4)(2)()([6112111++++=∑∑-=+-=n k k n k k n x f x f b f a f h
1.3 龙贝格公式
步1:输入a,b 及精度ε;
步2:置h=b-a, 11T =h/2*(f(a)+f(b));
步3: 置i=1,j=1,n=2,对分区间[a,b], 并计算 :
144,)(22111112
1111--=+=+++=-+∑j i j i j j i j n k k i i T T T x f h T T
； 步4: 若不满足终止条件, 作循环:
i:=i+1,h:=h/2,n:=2n,
144i 1j ,)(22111
112
111
1--=
=+=+++=-+∑j i j i j j i j n k k i i T T T x f h T T ，计算：，对计算： 终止条件一般去|11++i j T -ε
≤|i j T . 2.比较一阶导数和二阶导数的数值方法
2)h -(2f(a)-)h a ()(2)h -(-)h a ()()h -()()()
()()(h a f f a f h
a f f a f h a f a f a f h
a f h a f a f ++=+=-=-+=
二阶导数：中心插商：向后插商：向前插商： 二、 实验内容
1.复化求积公式计算定积分
（2）n=10;
a=0.5*10^(-8);
fun2=inline('2*x./(x.^2-3)');
f2=log(6)
s21=matrap(fun2,2,3,n)
s22=masimp(fun2,2,3,n)
w21=norm(f2-s21)
w22=norm(f2-s22)
实验设备: matlab 软件。

2.比较一阶导数和二阶导数的数值方法
2.1实施方案： 首先, 分别确定小区间的长度h=0.2,然后调用四个求导公式。

2.2实验步骤:
(1) 数据准备: x=-2.5:0.2:-0.5;
x
e y 1-=; (2) 分别调用向前插商, 向后插商, 中心插商和二阶求导公式。

三、 实验结果
1.复化求积公式计算定积分 （2）
⎰-=322.326ln dx x x 试验结果
f2 =1.7918
s21 =1.8027
s22 =1.7918
w21 =0.0110
w22 =3.7402e-005
四、
实验结果分析
1.复化求积公式计算定积分
结果分析:
由实验结果可知, 用复化梯形公式计算的积分值, 其精确程度要大于用复化辛普森公式计算的积分值；从中也可知, 用辛普森公式计算的积分值跟精确解非常相近, 所以用辛普森公式计算积分会更好的。

2.比较一阶导数和二阶导数的数值方法
结果分析:
向前插商不能计算最后一个端点的导数, 向后插商不能计算第一个端点的导数, 中心插商和二阶求导不能计算第一个和最后一个端点的导数。

出师表
两汉: 诸葛亮
先帝创业未半而中道崩殂, 今天下三分, 益州疲弊, 此诚危急存亡之秋也。

然侍卫之臣不懈于内, 忠志之士忘身于外者, 盖追先帝之殊遇, 欲报之于陛下也。

诚宜开张圣听, 以光先帝遗德, 恢弘志士之气, 不宜妄自菲薄, 引喻失义, 以塞忠谏之路也。

宫中府中, 俱为一体；陟罚臧否, 不宜异同。

若有作奸犯科及为忠善者, 宜付有司论其刑赏, 以昭陛下平明之理；不宜偏私, 使内外异法也。

侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等, 此皆良实, 志虑忠纯, 是以先帝简拔以遗陛下: 愚以为宫中之事, 事无大小, 悉以咨之, 然后施行, 必能裨补阙漏, 有所广益。

将军向宠, 性行淑均, 晓畅军事, 试用于昔日, 先帝称之曰“能”, 是以众议举宠为督: 愚以为营中之事, 悉以咨之, 必能使行阵和睦, 优劣得所。

亲贤臣, 远小人, 此先汉所以兴隆也；亲小人, 远贤臣, 此后汉所以倾颓也。

先帝在时, 每与臣论此事, 未尝不叹息痛恨于桓、灵也。

侍中、尚书、长史、参军, 此悉贞良死节之臣, 愿陛下亲之、信之, 则汉室之隆, 可计日而待也。

臣本布衣, 躬耕于南阳, 苟全性命于乱世, 不求闻达于诸侯。

先帝不以臣卑鄙, 猥自枉屈, 三顾臣于草庐之中, 咨臣以当世之事, 由是感激, 遂许先帝以驱驰。

后值倾覆, 受任于败军之际, 奉命于危难之间, 尔来二十有一年矣。

先帝知臣谨慎, 故临崩寄臣以大事也。

受命以来, 夙夜忧叹, 恐托付不效, 以伤先帝之明；故五月渡泸, 深入不毛。

今南方已定, 兵甲已足, 当奖率三军, 北定中原, 庶竭驽钝, 攘
除奸凶, 兴复汉室, 还于旧都。

此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。

至于斟酌损益, 进尽忠言, 则攸之、祎、允之任也。

愿陛下托臣以讨贼兴复之效, 不效, 则治臣之罪, 以告先帝之灵。

若无兴德之言, 则责攸之、祎、允等之慢, 以彰其咎；陛下亦宜自谋, 以咨诹善道, 察纳雅言, 深追先帝遗诏。

臣不胜受恩感激。

今当远离, 临表涕零, 不知所言。