18--材料力学讲稿-应力状态-1

应力圆上 CA 与 CD 夹角
2 A(x ,txy)
2 且转向一致
C
O
20
B(y ,tyx)
（4）主单元体上 1所在面法向
是由x 轴顺时针转 0 ——
轴上应力圆最右端 15
例 单元体上应力如图，求出主应力，画出主单元体
30
x = 80, y = 0, t = 30
80
80
1、取 x , y的中点C为圆心
30
单位：MPa
t
以 AC 为半径画莫尔圆 2、算出心标 0C = -40，半径
R = AC = AD2 DC2 = 50
A (80, 30
3、算出主应力、切应力极值
3 x
D
C
y 1
O
1 3
=
0C
R
=
10MPa 90MPa
t max = -t min = R = 50MPa
4、算出方位角
B
26
\ 1 = 44.3MPa 2 =0 3 = 20.3MPa
2
=
1 E
[ 2
3
1]
=
0.3 210 109
(
20.3
44.3
)106
= 34.3106
27
6.5 平面应力状态下的应变分析 一般应变状态简介
28
6.5 平面应力状态下的应变分析 一般应变符号规定: 线应变, 使线段伸长的线应变为正。 切应变，使直角变小的切应变为正。
B0 C
（3）过A0垂直向上取txy 得
B
A， CA为半径
y
x
（4）以C 为圆心、CA为半径
画圆
A
A0
13
6.2 平面应力状态 主应力
y
n
x
t txy
y
Ox
t n D( , t
x
2 A(x ,txy)
C
O
B(y ,tyx)
第二种画法 （1）坐标系内画出点
A( x，txy) B (y，tyx) （2） AB与 轴的 交点C是圆心
（3） 以 C 为圆心 以AC为半径
画 圆 —— 应力圆 或 莫尔圆
14
y
n
单元体与应力圆的对应关系
x
t txy
y
（1）单元体的右侧立面 ——
应力圆的 A 点（2 0 ）
（2）斜截面和应力( ，t ) —— 应力圆上一点 D 点
Ox
t n D( , t
x
和坐标( ，t ) （3）单元体上夹角 ——
另一个面
17
q
梁发生横力弯曲，试 确定截面上各点主应力大小 及主平面位置
单元体上：
x
=
My Iz
t
xy
=QS bI
z
z
1 3
= x
2
（ x）2t
2
2 xy
18
1
3 3
0 1
3
3 –45°
13
0 1 5 1
t
D1 A2
A1 D2
CO
D1
t
A2
20
A1
CO
D1 t
D2
A2
CO
20= –90°
D2
t
D2 A2
A1 D1
OC
t
A2
20
O
D1 A1
C
D2
19
6.3 三向应力状态简介
1、空间应力状态
t
y
1
2
3
3
2
x
z
1
20
6.3 三向应力状态简介
2、三向应力分析
t
y
1
t max
2
3
3
2
x
z 图a
1
图b
（1）弹性理论证明，图 a 单元体内任意一点任意截面上
的应力都对应着图 b 的应力圆上或阴影区内的一点
1
=
1 E
1
2
3
2
=
1 E
2
3
1
3
=
1 E
3
2
1
四、平面应力状态下的应力--应变关系
z =t yz =t zx=0
用 应力 表示 应变
x
=E
1
2
x y
E
y
=
1
2
y x
的本构关系
t xy =G xy
23
6.3 广义虎克定理
三个弹性常数之间的关系
G
=
E
21
24
6.3 广义虎克定理
y 单元体上所有与Z轴相关的应力均为零。 独立的应力值有：
x y
x
x t xy = t yx
y
5
6.2 平面应力状态 主应力 平面（二向）应力状态分析时的应力的正负号规定：
正应力符号规定
拉为正
压为负 6
6.2 平面应力状态 主应力
t x'y'
切应力符号
t xy
使微元顺时针转动为正 反之为负
t yx
（2）整个单元体内的最大剪应力为
t
max
=
1
2
3
21
6.3 广义虎克定理
三、复杂状态下的本构关系
y
z
z
y
x
txy
x
依叠加原理,得
x
= x
E
y
E
z
E
=
1 E
x
y
z
x
=
1 E
x
y
z
y
=
1 E
y
z
x
zxyzy===E1ttGGyxzy
z
x
y
zx
=t zx
G
22
6.3 广义虎克定理
主单元体本构关系
第六章 应力状态与强度理论
6.1 应力状态的概念 6.2 平面应力状态 主应力 6.3 三向应力状态简介 6.4 广义虎克定理 6.5 平面应力状态下的应变分析 6.6 应变能密度 畸变能密度 6.7 强度理论 相当应力
1
6.1 应力状态的概念
构件内部各点处的应力值一般不相等，对于同一点来说，各个 方位角截面上的应力一般也不相等。 受力构件内过一点处不同方位微面上应力的集合，称为一点的应 力状态。
16
t
A (80, 30
ACD = arc tg AD = 36.86 DC
3 y
D
2 o x 1
0
=
180
36.86 2
=
71.57
C
O
5、画出主单元体
（1）A点对应于右垂面
B
（2）右垂面顺时针转 o
30
得主单元体的最大
80
2 80
1
o
拉应力所在的面 （3）垂直做主单元体的
单位：MPa
五、体积应变与应力分量间的关系
V = dx dy dz
V1 = dx(1 1 )dy(1 2 )dz(1 3 )
dx dy dz(1 1 2 3 )
体积应变：
=V1V V
=1
2
3
代入本构关系，得到
体积应变与应力分量间的关系:
=12
E
(
1
2
3
)
=12
E
(
x
y
z
)
25
例 构件表面上某点的两个面内主应变为 1=24010-6
t xy cos 2
9
6.2 平面应力状态 主应力
90 = x y
任意两个互相垂直的微面上的正应力之和保持不变。
t 90 = t
切应力互等定理。
默认切应力沿顺时针方向。
10
6.2 平面应力状态 主应力
二、 应力极值
令 : d
d
=0
= x y
sin 20 2t xy cos 20 = 0
=
xy x y
如果测得了某点的 x y xy，那么可以算出构件该点
的主应变，然后可以利用下面公式算出主应力。
1
=
E
1
2
1
2
2
=
E
1 2
2
1
切应变不容易直接测量。实验中，一般采用应变花测量该点各 个方向上的线应变，经换算可以求出该点的应变状态。
32
=
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy
2
sin
2
所以应变分析可以采用应力 分析的方法。比如说主应变
分析，应变圆等。 31
6.5 平面应力状态下的应变分析
如果用 xy 2 代替应力分析中的 t xy ，那么可以得到和
主应力求解公式类似的主应变求解公式：
1
2
=
x
y
2
x
2
y
2
xy
2
2
tan
2 0
强度 判据
max拉 [ 拉 ] max压 [ 压 ]
y
o
MT
t max
t max t max [t ]
y max 压
C
M
max 拉
max
max拉 [ 拉 ] max压 [ 压4]
6.2 平面应力状态 主应力
目的： 用一点某个单元体上的应力表示其它方位单元体上的应 力。同时可以找出主应力的大小和主平面的方位。 平面（二向）应力状态
角符号
由 x 轴逆时针转到 x’轴
（斜截面外法线）为正 反之为负
y' y
x'
x
7
6.2 平面应力状态 主应力
斜截面应力
y’
y
x
x
x
t
x’
y
平衡方程
t xy
Fx = 0
Fy = 0
dA
t yx
y
8
6.2 平面应力状态 主应力
=
x
2
y
x
2
y
cos 2
t xy sin 2
t
=
x
y
2
sin 2
思考：任意一点的三个主平面是否是唯一的？
如果三个主应力都不为零，该点处于三向应力状态。 如果有一个主应力为零，则称该点处于平面应力状态。 如果只有一个主应力不为零，则称该点处于单向应力状态。
3
6.1 应力状态的概念 三、基本变形的应力状态
拉压
扭转
弯曲
截面 应力
y
C
FN =max
危险点
应力状态
max
反之为负。
应变分析时，不区分各微面上切应变正负号。应变符号 由剪切胡克定理得到。（保证符号一致）
和应力类似，一般说来，构件内部各点的应变不同，同一点各 个方向上的线应变大小也不一样，不用面内的切应变也不同。
通过某个方向上的应变来推知其它方向上的应变就叫应变分析。
29
6.5 平面应力状态下的应变分析 平面应变状态 如果和某一方向比如说Z方向相关的应变都为零，则该点处于平 面应变状态。 应变分析是实验电测构件表面应变的基础。 构件表面一般为自由面，因此各点与表面外法线相关的应力为零。 因此处于平面应力状态。通过实验可以测定构件表面个点的应变 进而利用胡克定理推出该点的应力状态，以及主应力大小和方位。
x
t
y
y txy
0x
平方和相加，得
x
2
y
2
t2
=
x
2
y
2
t
2 xy
t n 在 -t 坐标系中， 与
落在一个圆上
t
（应力圆 或 莫尔圆） 12
6.2 平面应力状态 主应力
圆心？—
(
x
y
,0)
2
半径？—
R=
x
2
y
2
t
2 xy
二、应力圆的画法
•第一种画法
t
（1）在轴上作出
A0(x,0), B0(y,0) （2） A0, B0的中点为圆心C 0
2= –16010-6， E=210GPa， =0.3， 求该点的
主应力及另一主应变
2
解 : 自由面上3 = 0 故为平面应力状态
1
1
=
E 1 2
1
2
= 210 109 (240 0.3160)106 = 44.3MPa 1 0.32
2
=
E 1 2
2
1
= 210 109 (160 0.3 240)106 = 20.3MPa 1 0.32
tg 2 0
=
2t xy x
y由此得两ຫໍສະໝຸດ 驻点：01、（01
p ）
2
和两个极值：
mm
ax in
= x
y ±（x
2
y
2
）2
t2 xy
t = 0 \极值正应力就是主应力
0
11
6.2 平面应力状态 主应力
y
一、斜截面应力
y
x
txy
=
x
2
y
x
2
y
cos2
t
xy
sin
2
t
=
x
2
y
sin
2
t
xy
cos2
Ox
30
6.5 平面应力状态下的应变分析
平面应力状态时的应力应变关系
x
=E
1
2
x y
y
=E
1
2
y x
t xy =G xy
又有，
=
x
2
y
x
2
y
cos 2
t xy
sin 2
=
x
y
2
x
y
2
cos 2
t xy
sin
2
沿 方向有，
如果取， = 90
=
1 E
将上面各式代入有， 此式与应力变换公式类似。
2
6.1 应力状态的概念 二、主应力 主平面 对于一般的应力单元体，如果有的微面上没有切应力，则该 面称为该点的应力主平面。主平面上的正应力称为主应力。
结论：结构内任何一点都可以找到三个互相垂直的主平面。这 12 3
三个主平面上分别作用有三个主应力，用 1 2 3 表示。
并按照代数值大小排列，即 1 2 3 。