四川省自贡市普高2018届高三第三次诊断性考试数学(文)试题(word版)

自贡市普高2018届第三次诊断性考试数学试卷（文史类）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

1．设,{|0},{|1}U R A x x B x x ==>=>，则U A C B 等于
A ．{|01}x x ≤<
B ．{|01}x x <≤
C ．{|0}x x <
D ．{|1}x x >
2．函数0)y x =≤的反函数是
A ．2(0)y x x =-≥
B ．2(0)y x x =≤
C ．2(0)y x x =≥
D ．2(0)y x x =-≤
3．函数(4)y x =-的定义域为
A ．{|0}x x ≥
B ．{|0x x ≥且4}x ≠
C ．{|1}x x ≥
D ．
{|1x x ≥且4}x ≠ 4．若sin cos 0αα+<，tan 0α>，则α的终边在
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5．过曲线32y x x =+-上一点P 0处的切线平行于直线4y x =则点P 0的一个坐标是
A ．(0,-2)
B ．(1,1)
C ．(1,4)
D ．(-1,-4)
6．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上
存在一点P ，使1||||OP OF =（O 为原点），且12|||PF PF =，则双曲线的离心率为
A
B 1
C 1
D 7．过空间一定点P 的直线中，与长方体1111ABCD A BC D -的12条棱所在直线成等角的直线共有
A ．0条
B ．1条
C ．4条
D ．无数条
8．将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，同时将纵坐标缩小到原来的1
2
倍，得到函数cos()6
y x π
=-
的图象，另一方面函数()f x 的图象也可以由函数
2cos 1y x =+的图象按向量c 平移得到，则c 可以是
A ．(
,1)6
π
-
B ．(
,1)12
π
C ．(
,1)6
π
D ．(
,1)12
π
-
9．如图1，三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==，从中 任取三个数，则至少有两个位于同行或同列的概率是
A ．
1314
B ．
47
C ．
37
D ．
114
10．已知有穷数列{}n a (1,2,3,6)n =⋅⋅⋅满足{1,2,3,10}n a ∈⋅⋅⋅，且当 (,1,2,6i j i j ≠=⋅⋅⋅时i j a a ≠。

若123a a a >>，456a a a <<，
则符合条件的数列{}n a 的个数是
A ．33
107C C
B ．33
1010
C C
C ．33
107
A A
D ．63
106C A
11．已知椭圆C ：22
12
x y +=的右焦点为F ，右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交椭圆C 于B ，
若3FA FB =，则||AF 等于
A ．2
B
C
D ．3
12．如图2，有一直角墙角，两边的长度尺足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是
(12)am o a <<、4m ，不考虑树的粗细，现在想用16m 长的篱笆，借助墙角围成一个
矩形的花圃ABCD ，设此矩形花圃的最大面积为S ，若将这棵树围在花圃内，则函数()S f a =（单位2
m ）的图象大致是
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

13．若2
*31(2)()n
x n N x
-
∈展开式中含有常数项，则n 的最小值是 。

14．设实数x 、y 满足20,
250,20,
x y x y y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
则22x y u xy +=的取值范围是 。

15．如图3，A 、B 、C 是球面上三点，且AB=2cm ，BC=4cm ，∠ABC=60°，若球心O 到
截面ABC
的距离为，则该球的表面积为 。

16．有下列命题：①a b >是22
a b >的充分不必要条件；
②2221
()2
OP OQ OP OQ PQ ⋅=+-；
③已知()f x 的最大值为M ，最小值是m ，其值域是[,]m M ；
④有3种不同型号的产品A 、B 、C ，其数量之比依次为2:3:4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号产品有10件，则90n =。

其中错误命题的序号为 （要求填写所有错误命题的序号）。

三、解答题：共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

17．如图4，已知△ABC 中，||1AC =，∠ABC=120°，∠BAC=θ，记()f AB BC θ=⋅。

（I ）求()f θ关于θ的表达式； （II ）求()f θ的值域。

18．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数其中A
的各位数字中，11a =，(2,3,4,5)k a k =出现0的概率为1
3
，(2,3,4,5)k a k =出现1的概率为
23
，记12345a a a a a ξ=++++（例如：A=10001，其中151a a ==，2340a a a ===，2ξ=）。

当启动仪器一次时， （I ）求3ξ=的概率; （II ）求当ξ为何值时，其概率最大。

19．如图5，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，∠ABC=∠BCD=90°，
PA=PD=DC=BC=
1
2
AB ，E 是BP 的中点。

（I ）求证：EC//平面APD ；
（II ）求BP 与平面ABCD 所成角的正切值； （III ）求二面角P-AB-D 的大小。

20．已知等差数列{}n a 为递增数列，前n 项和为n S ，*
n N ∈，且35S a =，1a 与5S 的等比
中项为5。

（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）数列{}n b 满足m n b pn a =-，且{}n b 的前n 项和为n T ，*n N ∈，若对任意*n N ∈都有6n T T ≤，求实数p 的取值范围。

21．已知圆C 过定点F 1(,0)4-
，且与直线1
4
x =相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：(1)()y k x k R =+∈相交于A 、B 两点。

（I ）求曲线E 的方程； （II ）当△OAB
k 的值；
（III ）在曲线E 上是否存在与k 的取值无关的定点
M ，使得MA ⊥MB ？若存在，求出所有符合条件的定点M ；若不存在，请说明理由。

22．已知函数3
21()()3
f x x x ax a a R =-+-∈。

（I ）当3a =-时，求函数()f x 的极值； （II ）若函数()f x 的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围。

自贡市普高2018届第三次诊断性考试数学试卷参考答案及评分意见
一、选择题：（每小题5分，共60分） BADCD
CCDAA
BC
二、填空题：（每小题4分，共16分）13、5；14、[5，20]；15、482
cm π 16、①③④。

三、解答题：（每小题10分，共60分）
17、解：（Ⅰ），由正弦定理有：
︒
=
120sin 1
sin ||θBC ＝)60sin(||θ-︒AB …………(2分) ∴ θs i n 120s i n 1||︒=
BC , ︒
-︒=120sin )
60sin(||θAB …………(4分)
∴ )(θf 2
1
)60sin(sin 34)0(⋅-︒⋅=⋅=θθBC AB f
＝
θθθsin )sin 2
1
cos 23(32-＝ )22cos 12sin
23(31θθ-- ＝61)62sin(31-+πθ )30(π
θ<
< …………(8分)
(Ⅱ) 30πθ<< => 6
5626π
πθπ<+<,
∴ 1
)6
2sin(21≤+<π
θ ∴ ]61,0()(∈θf ………（12分） 18、（文）解：（Ⅰ）由题意得：27
8)32()31()3(2
224
===C P ξ …………(3分) （Ⅱ）811)31()1(4
04
===C P ξ
…………(5分) 81
8)32()31()2(314
===C P ξ …………(7分) 8124)32()31()3(2224===C P ξ8132)32)(31()4(334
===C P ξ
…………(9分) 8116)32()5(4
44
===C P ξ
…………(11分)
4=ξ的概率最大，最大值为
81
32
…………(12分) 19、解：解法一(Ⅰ) 如图，取PA 的中点为F ，连结EF 、FD 。

∵ E 是BP 的中点, EF ∥AB 且EF ＝
21AB, 又 ∵DC ∥AB, DC=2
1
AB
∴ EF ∥DC ，∴ 四边形EFDC 是平行四边形，故得EC ∥FD.
又∵ EC ⊄平面PAD,FD ⊂平面PAD, ∴ EC ∥平面ADE (4分)
(Ⅱ) 取AD 中点H ，连结PH ，因为PA ＝PD ， 所以PH ⊥AD,
∵平面PAD ⊥平面ABCD 于AD, ∴PH ⊥面ABCD ∴HB 是PB 在平面ABCD 内的射影，
∴∠PBH 是PB 与平面ABCD 所成角………(6分)
∵四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠BCD ＝90°∴四边形ABCD 是直角梯形, ∴DC ＝CB ＝
2
1
AB, 设AB ＝a 2，则BD ＝a 2 在∆ABD 中，易得∠DBA ＝45°, AD ＝a 2，
PH ＝22DH PD -＝22
21a a -
＝a 2
2 又 ∵ BD 2+AD 2＝4a ＝AB 2, ∴∆ABD 是等腰直角三角形，∠ADB ＝90°, …(7分)
∴ HB ＝2
2
DB DH +＝
22221a a +＝a 2
10
∴ 在Rt ∆PHB 中，5
5
2
1022
tan =
==∠a a
HB PH PBH ………(8分) （Ⅲ）在平面ABCD 内过点H 作AB 的垂线交AB 于点G ，连结PG ，则HG 是PG 在平面ABCD 上的射影，故PG ⊥AB ，所以∠PGH 是二面角P —AB —D 的平面角， ………(10分)
由AB ＝2a ， HA ＝
a 2
2
，∠HAB ＝45°，∴ HG ＝a 21， ………(11分)
∴在Rt ∆PHG 中，2
21
2
2tan ===∠a a
HG PH PGH
∴二面角P —AB —D 的大小为2arctan
……(12分)
解法二(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)设AB ＝2a ，同解法一中的(Ⅱ)可得∠ADB ＝90°, 如图以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线 为y 轴，过D 点且垂直于
平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系， ………(5分) 则B （0，a 2，0），P （
a 22，0，a 2
2
）， ∴=（－
a 22，a 2，－a 2
2
）， 平面ABCD 的一个法向量为=m （0，0，1）， ………(6分)
所以，=
>=
<,cos m PB 66322
-=-a
a
(7)
)
可得PB 与平面ABCD 所成角的正弦值为
66，
所以PB 与平面ABCD 所成角的正切值为5
5， ………(8分)
(Ⅲ)易知A （a 2，0，0），则AB ＝（－a 2，a 2，0，）， ………(9分) 设平面PAB 的一个法向量为n ＝（000,,z y x ）则
由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0PB n n =>
⎪
⎩⎪
⎨⎧=-+-=+-022
22
202200000az ay ax ay ax => ⎩⎨
⎧==0
00
0x z x y 令10=x 可得n ＝(1，1，1) ……(11分) 从而><n m ,cos 333
1=
，所以二面角P —AB —D 的大小为3
3
arctan ……(12分)
20、解：(Ⅰ)由题意⎩⎨
⎧⋅==5
15325S a a S 可得⎩⎨⎧=+=25)105(2111d a a d a 即 12
1=a
∴ ⎩⎨⎧==211d a 或⎩
⎨⎧-=-=21
1d a ∵ {}n a 为递增的等差数列，
∴ 0>d ，∴⎩⎨
⎧==2
11d a ， ∴ )(12*
N n n a n ∈-=
………(6分) (Ⅱ) 1)2(12+-=--=n p n pn b n
n p
n p T n
2
222+-=，由n T ≤6T ， 6=n 时最大，知 n T 开口向下， ∴ p ＜2且 5.5≤
)
2(2p p
-≤6.5 ∴611≤p ≤713 ………(12分)
21、解：(Ⅰ)由题意，点C 到定点F(－
41，0)和直线x ＝4
1
的距离相等， 所以点C 的轨迹方程为x y -=2
(4)
)
(Ⅱ)由方程组⎩⎨⎧+=-=)
1(2x k y x
y 消去x 后，
整理得 0
2
=-+k y ky ………(5分) 设A(x 1，y 1），B(2x ，2y )，由韦达定理有 12221t y y t +=-+＝
k 1-，1222
1
y y t =-+－1， ………(6分) 设直线l 与x 轴交于点N ，则N (－1，0) ∵ OBN
OAN OAB S S S ∆∆∆+=＝21
|ON||1y |+2
1
|ON||2y | ＝
21|ON |·|21y y -|＝
21·1·212
214)(y y y y -+ ＝214)1
(2+k
∵10=∆OAB S ∴
10＝
2
1
4)1(2+k ，解得 61±=k
………(8分) （Ⅲ）∵A 、B 在抛物线x y -=2
上， 所以)
(2
22
121y y x x --=+=)21(2
+-k ,12
22121=
=y y x x ， ………(9分) 设点M(00,y x )，MA ⊥MB ⇔
01(y y -))(())((0
2010201x x x x y y y y --+-+＝0⇔02112
0020002
=++++x x y y k x k
⇔ ⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=++==0
2002002000x x y y x ⇔ ⎩⎨⎧==0000y x ………(11分) 故存在唯一的合乎题意的点M （0，0）. ………(12分)
22、解：(Ⅰ) 当3-=a 时，x x x x f 33
1)(23
--=
+3 ∴ )1)(3(32)('2
+-=--=x x x x x f
令0)('=x f ，得11-=x 32=x ………(1分) 当x ＜－1时，)('x f ＞0，则)(x f 在()1,-∞-上单调递增； ………(2分) 当－1＜x ＜3时，)('x f ＜0，则)(x f 在（－1，3）上单调递减； ……(3分) 当x ＞3时，)('x f ＞0，)(x f 在(),,3+∞上单调递增； ……(4分)
∴ 当x ＝－1时，)(x f 取得极大值为3
14
33131)1(=++--=-f …(5分) 当x ＝3时，)(x f 取得极小值为6399273
1)3(-=+--⨯=
f …(6分)
(Ⅱ) ∵ a x x x f +-=2)('2 ∴ )1(444a a -=-=∆
1）若1≥a ，则0≤∆，∴0)('≥x f 在R 上恒成立，∴)(x f 在R 上单调递增。

……(7分) ∵)0(f ＝－a ＜0，)3(f ＝2a ＞0
∴当a ≥1时，)(x f 函数的图象与x 轴有且只有一个交点。

…（8分）
2）若a ＜1，则0>∆ ∴0)('=x f 有两个不相等的实数根，不妨设为1x 、2x （1x <2x ） ∴1x +2x ＝2，1x ·2x ＝a ，
当x 变化时，)('x f )(x f 的取值情况如下表：
∵22
1-x 1x +a ＝0， ∴ a ＝－221+x 1x ………(9分)
∴a ax x x x f -+-=
12131131)(＝++-12
13131ax x x 221-x 1x ＝131)2(31x a x -+＝)]2(3[3
12
11-+a x x ………(10分)
同理=)(2x f )]2(3[3
12
22-+a x x ………(11分)
∴ )(1x f ·)(2x f ＝)]2(3[912121-+a x x x ·)]2(3[2
2-+a x
＝])2(9))(2(3))[((912
222122121-++-+a x x a x x x x
＝{
}2
212212)2(9]2))[(2(391-+-+-+a x x x x a a a
＝)33(9
42
+-a a a …………(12分)
令)(1x f ·)(2x f ＞0，解得a ＞0，
而当10<<a 时，)0(f ＝－a ＜0，)3(f ＝2a ＞0，
故当10<<a 时，函数)(x f 的图象与x 轴有且只有一个交点。

………(13分) 综上所述，a 的取值范围是(),,0+∞ ……… (14分)。