六年级下册数学讲义-培优专题讲练：第4讲：枚举法(教师版)
小学奥数知识点趣味学习--枚举法
小学奥数知识点趣味学习——枚举法运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。
【典型例题】【例1】：从小华家到学校有3条路可以走，从学校到岐江公园有4条路可以走，从小华家到岐江公园，有几种不同的走法？【试一试】1. 从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路可以直达，从甲地到丙地有多少种不同的走法？2. 新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售，小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同的买法？【例2】把4个同样的苹果放在两个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？【试一试】1．把5个同样的苹果放在两个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？2．把7个同样的苹果放在三个同样的盘子里，不允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？【例3】从1～6这六个数字中，每次取2个数字，这两个数字的和都必须大于7，能有多少种取法？【试一试】1．从1～9这九个数字中，每次取2个数字，这两个数字的和都必须大于10，能有多少种取法？2．从1～19这十九个数字中，每次取2个数字，这两个数字的和都必须大于20，能有多少种取法？【例4】一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？【试一试】1．一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？2．把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？【例5】有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次电话？【试一试】1．6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？2．有8位小朋友，要互通一次电话，他们一共打了多少次电话？。
《数学]枚举法》PPT课件
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❖分析：实际上，只要知道乘数和被乘 数就可以写出乘法算式，所以我们可 以枚举乘数与被乘数的每一位。然后 再判断是不是满足条件即可。计算量 是45=1024，对于计算机来说，计算量 非常小。
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例4 时钟问题（IOI94-4）
也叫局部枚举）
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例2 谁是第几名
❖在某次数学竞赛中, A、B、C、D、E五名学生被取 为前五名。请据下列说法判断出他们的具体名次, 即谁是第几名？
❖条件1: 你如果认为A, B, C, D, E 就是这些人的 第一至第五名的名次排列, 便大错。因为:
没猜对任何一个优胜者的名次。
也没猜对任何一对名次相邻的学生。
▪ 来自若干个连续的段，每一个段中取一个分值； ▪ 每一个分值是所在段中最大的； ▪ 起点段和终点段任意，但途经段的分值和最大。
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❖ 设Li为第I个段中的分值最大的段。即Li=Max{L1I， L2I，……，LMI}（1≦I≦N – 1）。例如对于样 例数据： L1=Max（-50，17，-42）=17； L2=Max（-47，-19，-3）=-3； L3=Max（36，-34，-43）=36； L4=Max（-30，-13，34）=34； L5=Max（-23，-8，-45）=-8；
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枚举法的定义
❖所谓枚举法，指的是从可能的解的集 合中一一枚举各元素，用题目给定的 检验条件判定哪些是无用的，哪些是 有用的。能使命题成立的，即为解。
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❖ 示例中的解变量有3个：A，B，C。其中 解变量A的可能取值范围A∈{1， … ，3}
小学数学《常规应用题的解法——枚举法》教案
小学数学《常规应用题的解法——枚举法》教案小学数学《常规应用题的解法——枚举法》教案教学内容：教学目标：1.能利用枚举法解决生活中的问题。
教学重点：准确抓住对象的特征，按照一定的顺序，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。
教学难点:准确抓住对象的特征，按照一定的顺序，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。
教学过程:一．探索新知（一）教学例11.枚举法在数字组合中的应用。
按照一定的组合规律，把所有组合的数一一列举出来。
【例1】用数字1，2，3组成不同的三位数，分别是哪几个数？【思路点拨】根据百位上的数字的不同分为3类。
第一类：百位上为1的有：123 132第二类：百位上为2的有：213 231第三类：百位上为3的有：312 321答：可以组成123，132，213 ，231，312 ，321六个数。
【变式题1】用0、6、7、8、9这五个数字组成各个数位上数字不相同的两位数共有多少个？（二）教学例2.2.骰子中的点数掷骰子是生活中常见的游戏玩法，既可以掷一个骰子，比较掷出的点数大小，也可以掷两个骰子，把两个骰子的点数相加，再比较点数的大小。
一个骰子只有6个点数，而两个骰子的点数经过组合最小是2，最大是12。
在解决有关掷两个骰子的问题时，要全面考虑所有出现的点数情况。
【例2】小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。
若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。
试判断他们两人谁获胜的可能性大。
【思路点拨】将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。
用a＋b表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b的情况。
出现7的情况共有6种，它们是：1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。
出现8的情况共有5种，它们是：2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。
小学数学 枚举法 PPT+作业(带答案)
例1
（2）数一数，下图中一共有多少条线段？
分析： 横向有4条长线段 纵向有5条长线段
（1）横向：（4+3+2+1）×4=40（条） （2）纵向：（3+2+1）×5=30（条） （3）一共：40+30=70（条）
图（1）
图（2）
图（3）
作业2:
在下图中，由1 个图形构成的三角形有___3___ 个，由2 个图形构成的三角形有____4__ 个，由 3 个图形构成的三角形有___1___ 个，由4 个图形构成的三角形有____1__ 个，由5 个图形构成 的三角形有__0____ 个，由6 个图形构成的三角形有____1__ 个，一共有___1_0__ 个三角形。
例5
数一数，下图中一共有多少个长方形？ 把图形分成两块分别算，再考虑重合部分
（1）（6+5+4+3+2+1）×（3+2+1）=126（个）
（2）（6+5+4+3+2+1）×（3+2+1）=126（个）
（3）（3+2+1）×（3+2+1）=36（个） （4）一共：126+126-36=216（个）
容斥原理
例7
如图：在由边长是1个单位长度的小正方形组成的4×4方格表中，一共有25 个格点。在 以格点为顶点的直角三角形中，一共有多少个两条直角边长分别是1个单位长度和3个单 位长度的直角三角形？
数出图中1×3的长方形即可
（1）4×2×2=16（个） （2）4×16=64（个）
小学数学思维训练4 枚举法
小学数学思维训练第4讲枚举法一内容概述掌握枚举的一般方法，学会按照一定顺序，有规律地进行枚举，做到“不重不漏”；应用字典排列法解决整数分拆的问题，学会分辨“计次序”与“不计次序”的情形。
典型问题1. 冬冬在一张纸上画了一些图形，如图4-1 所示，每个图形都是由若干条线段连接组成的。
请你数一数，纸上一共有多少条线段？（最外面的大长方形是纸的边框，不算在内）2. 要沿着如图2-4 所示的道路从A点走到B 点，并且每段路最多只能经过一次，一共有多少种不同的走法？3. 小明决定去香山、颐和园、圆明园这三个景点旅游，要走遍这三个景点，他一共有多少种不同的游览顺序？4. 小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这4个地方中选2个去旅游，小王有多少种不同的选择方式？如果小王想去其中的3个地方，又有多少种选择方式？5. 小烧饼每个5角钱，大烧饼每个2元钱，冬冬一共有6元钱，如果把这些钱全部用来买烧饼，一共有多少种不同的买法？6. 在一次知识抢答比赛中，小悦和冬冬两个人一共答对了10 道题，并且每人都有答对的题目。
如果每道题1分，那么小悦和冬冬分别可能得多少分？请把所有的可能填写到下面的表格里：7. 两个海盗分20（1）如果每个海盗最少分5枚金币，一共有多少种不同的分法？（2）如果每个海盗最多分到16 枚金币，一共有多少种不同的分法？8. 有15 个玻璃球，要把它们分成两堆，一共有几种不同的分法？这两堆球的个数可能相差几个？9. 张奶奶去超市买了12 盒光明牛奶，发现这些牛奶需要装在2个相同的袋子里，并且每个袋子最多只能装10 盒。
张奶奶一共有几种不同的装法？10. 小悦、冬冬、阿奇三个人一共有7 本课外书，每个人至少有一本。
小悦、冬冬、阿奇分别有几本课外书？请写出全部可能的情况。
小学数学知识点之枚举法解析
小学数学知识点之枚举法解析小芳为了给灾区儿童捐款，把储蓄罐里的钱全拿了出来。
她想数数有多少钱。
小朋友，你知道小芳是怎么数的吗？小芳是个聪明的孩子，她把钱按1分、2 分、5分、1角、2角、5角、1 元等分类去数。
所以很快就数好了。
小芳数钱，用的就是分类枚举的方法。
这是一种很重要的数学思考方法，在很多问题的思考过程中都发挥了很大的作用。
下面就让我们一起来看看它的本领吧！经典试题例[1] 下列图中有多少个三角形？分析我们可以根据图形特征将它分成 3 类：第一类：有 6 个；第2 类：有 6 个；第3 类：有 3 个；解6+6+3=15〔个〕图中有15 个三角形。
例[2] 下列图中有多少个正方形？分析根据正方形边长的大小，我们将它们分成 4 类第1类：由1个小正方形组成的正方形有24个；第2类：由4个小正方形组成的正方形有13个；第3类：由9个小正方形组成的正方形有 4 个；第4类：由 16个小正方形组成的正方形有 1个。
解 24+13+4+1=42。
图中有 42 个正方形。
例[3] 在算盘上，用两粒珠子可以表示几个不同的三位数：分别是哪几个数？分析 根据两粒珠子的位置，我们可将它们分成 3 类：第1 类：两粒珠子都在上档，可以组成 505，550；第2 类：两粒珠子都在下档，可以组成 101，110，200；第3 类：一粒在上档，另一粒在下档，可以组成 510，501，150，105，600。
解 可以表示 101，105，110，150，200，501，505，510，550，600共 10个三位数。
例[4] 用数字 7，8，9 可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？解 可以组成 789，798，879，897，978，987共 6个三位数。
例[5] 往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站。
问：铁路部门要为这趟车准备多少种车票？分析 我们可以根据列车的往与反把它们分成两大类〔注：为了方便，我们将上述地点简称为宁、常、锡、苏、沪〕：在第一大类中，我们又可以根据乘客乘车时所在起点站的不同分成 4 类。
枚举法教案 小学
枚举法教案小学教案标题：枚举法教案教学目标：1. 理解枚举法的概念和基本原理；2. 能够应用枚举法解决简单的问题；3. 培养学生的观察力、逻辑思维和解决问题的能力。
教学重点：1. 掌握枚举法的基本概念和原理；2. 能够应用枚举法解决简单的问题。
教学难点：1. 学生能够灵活运用枚举法解决多种类型的问题。
教学准备：1. 教师准备：教案、教学课件、黑板、粉笔等；2. 学生准备：学习笔记、练习册等。
教学过程：Step 1：导入新知1. 教师通过引导提问的方式，复习学生已学过的一些解决问题的方法，例如列举法、图表法等。
2. 引入今天的主题——枚举法，让学生猜测枚举法的含义。
Step 2：讲解枚举法的概念和原理1. 教师通过简单明了的语言解释枚举法的含义，即通过逐个列举可能的情况，找出问题的解决方法。
2. 教师通过具体的例子，向学生展示枚举法的应用过程和解决问题的思路。
Step 3：练习枚举法的基本技巧1. 教师选择一些简单的问题，引导学生通过枚举法解决。
2. 学生们跟随教师的引导，逐步掌握枚举法的基本技巧。
Step 4：拓展应用1. 教师提供一些稍微复杂一些的问题，要求学生自主应用枚举法进行解答。
2. 学生们进行小组讨论，分享解决问题的思路和方法。
Step 5：巩固练习1. 教师布置一些练习题，要求学生独立完成。
2. 教师在课堂上进行批改，对学生的答案进行讲解和指导。
Step 6：总结反思1. 教师与学生一起总结枚举法的应用场景和解决问题的特点。
2. 学生们分享他们在学习过程中的体会和收获。
教学延伸：1. 学生可以在日常生活中尝试应用枚举法解决问题，如排队问题、购物问题等。
2. 学生可以通过阅读相关的故事、文章，了解更多关于枚举法的应用案例。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与情况，包括回答问题的积极性、解决问题的能力等。
2. 教师对学生完成的练习题进行评价，了解他们对枚举法的掌握程度。
3. 学生之间互相评价和分享解题思路，促进彼此的学习进步。
暑期六年级数学思维六仅讲义(不完全归纳、枚举、整体法、数形、假设法)
智力数学思维讲座一不完全归纳法一、【复习回顾】1、将分数3/7化成小数后，小数点后面第2016位上的数字是（），从小数点后第1位到第2016位的所有数字之和是（）。
2、一串数排成一行，它们的规律是这样的：前两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、…,问：这串数的前100个数中（包含第100个数）有（）个偶数。
二、【知识要点】人们在探索某一类事物的性质或它们之间的关系的时候，经常从观察具体事物入手，通过分析、猜测、验证，找出这类事物的一般属性。
这种“从特殊到一般的推理方法“，叫做归纳法。
在研究某个问题的过程中，经过对若干次出现的现象的观察，有的人经过分析思考能很快的找到其中的某种规律，有的人却熟视无睹。
这就反映他们的归纳能力不同。
希望同学们养成细观察、勤思考的习惯，不断提高归纳能力。
我们在小学阶段接触到的题目一般都是不完全归纳法（经验归纳法），它是一种重要的常见数学解题方法。
三、【例题精讲】例1、数列2、9、17、24、32、39、47、54、62、…的第2016项是多少。
牛刀小试1：下面的算式是按规律排列的：1+1、2+3、3+5、4+7、1+9、2+11、3+13、4+15、1+17、2+19、3+21、4+23、1+25…….那么，第几个算式的两数之和是2018？例2：如图是中国古代的“杨辉三角形“，则排在由上而下的第12行中所有数的和是（）。
牛刀小试2：如图，从图1到图3都是由小正方体搭建成的正方体，在图1中共有1个看得见的小正方体，图2中共有7个可以看得见的小正方体，图3中共有19个可以看见的小正方体，依照这种搭建的规律，在图6中，共有（）个看得见的小正方体。
例3、现有2016个数列按递推排列，其中第一个数是0，第二个数是2，并且从第二个数起，每个数的3倍都等于其前后两个数之和，问：第2016个数被6除所得余数是多少？牛刀小试3：一列数，前3个是1，9，9，以后每个都是它前面相邻3个数字之和除以3所得的余数。
枚举法——精选推荐
枚举法⼀，枚举算法的思想：1，枚举算法的定义：在进⾏归纳推理时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，因⽽得出⼀般结论，那么该结论是可靠的，这种归纳⽅法叫做枚举法。
2，枚举算法的思想是：将问题的所有可能的答案⼀⼀列举，然后根据条件判断此答案是否合适，保留合适的，舍弃不合适的。
3，使⽤枚举算法解题的基本思路如下：（1）确定枚举对象、范围和判定条件。
（2）逐⼀枚举可能的解并验证每个解是否是问题的解。
4，枚举算法步骤：（1）确定解题的可能范围，不能遗漏任何⼀个真正解，同时避免重复。
（2）判定是否是真正解的⽅法。
（3）为了提⾼解决问题的效率，使可能解的范围将⾄最⼩，5，枚举算法的流程图如下所⽰：⼆，枚举算法实例例⼀：百钱买⽩鸡1，问题描述：公鸡每只5元，母鸡每只3元，三只⼩鸡1元，⽤100元买100只鸡，问公鸡、母鸡、⼩鸡各多少只？2，算法分析：利⽤枚举法解决该问题，以三种鸡的个数为枚举对象,分别设为mj,gj和xj，⽤三种鸡的总数（mj+gj+xj=100）和买鸡钱的总数（1/3*xj+mj*3+gj*5=100）作为判定条件，穷举各种鸡的个数。
例⼆：使⽤枚举法解决“填写运算符问题”1，问题描述：在下⾯的算式中，添加“+”、“-”，“*”，“/”,4个运算符，使得这个式⼦成⽴。
5 5 5 5 5=52，算法分析：上述式⼦左侧有5个数字，⼀共需要4个运算符。
根据题⽬要求，两个数字之间的运算符只能有4中选择。
在具体编程时，可以通过循环来填⼊各种运算符，然后再判断算式左侧的值是否等于右侧的值。
并保证，当填⼊的是除号时，则右侧的数不能为0，并且乘除的优先级⾼于加减的优先级。
三，算法实现：例⼀：百钱买⽩鸡1. #include<iostream>2. using namespace std;3. int main()4. {5. int mj=0, gj=0, xj=0; //定义变量分别表⽰母鸡、公鸡、⼩鸡并初始化6. for (gj = 0; gj <= 20; gj++) //公鸡最多可买20个7. {8. for (mj = 0; mj <= 33; mj++) //母鸡最多可买33个9. {10. xj = 100 - gj - mj; // 三种鸡的总数是100只11. if (xj % 3 == 0 && 5 * gj + 3 * mj + xj / 3 == 100) // 总花费为100元。
小学六年级数学难题思维能力题训练： 枚举法(竞赛培训)
四十四枚举法电工买回一批日光灯，在灯座上逐一试一遍，结果全部日光灯都是好的．像这样将一批事物一个一个全部列举出来的方法就是枚举法．问题44．1小明有1个5分币，4个2分币，8个1分币，要拿出8分钱，你能找出几种拿法？分析为了不重复、不遗漏地找出所有可能的拿法，“找”就要按照一定的规则进行．先找只拿一种硬币的拿法，有两种：①1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＝8（分）；②2＋2＋2＋2＝8（分）．再找拿两种不同硬币的拿法，有四种：①1＋1＋1＋1＋1＋1＋2＝8（分）；②1＋1＋1＋1＋2＋2＝8（分）；③1＋1＋2＋2＋2＝8（分）；④1＋1＋1＋5＝8（分）．最后找拿三种不同硬币的拿法，只有一种：①1＋2＋5＝8（分）．由此可见，共有7种不同的拿法．在上面用枚举法寻找可能拿法的过程中，我们对全部拿法作了适当分类．合理分类是枚举法解题中力求又快又省的技巧．问题44．2 从1、2、3、4、6、8六个数字中任取两个，作为被除数与除数，问比1大的不同的商有多少个？问题44．3假设有A、B、C三个城市，从A到C必须经过B．已知从A到B可以坐汽车或坐火车到达，而从B到C则可以坐汽车或坐火车或坐飞机到达．问：从A到C可以有多少种不同的旅行方式？分析从A到C（A→C）可分两个阶段进行：第一阶段，从A到B（A→B）；第二阶段，从B到C（B→C），按照第一阶段使用的交通工具不同可以分为两类：A→B B→C A→图44-1所以，从A到C共有2×3＝6种不同的旅行方式．上述解法中的图示叫做枝形图（图44—1），在解不太复杂的计数问题中很有用．问题44．4有一位小学生，从武汉出发，到a、b、c三个城市去游览．他今天到这个城市，明天就到另一个城市．现在知道这位小学生第一天到a 城，第四天仍回到a城，你能知道这位小学生有多少种旅行路线吗？分析解决这个问题的一个很自然的想法是，把旅行路线的所有可能性一一列举出来，然后从中挑选出满足要求的路线．解先用枝形图（见图44—2）表示这个小学生四天旅行的全部可能的路线：图44-2从图中明显地看出，这个小学生第四天到a城的旅行路线有两种：第一种武汉→a→b→c→a；第二种武汉→a→c→b→a．问题44．5用0、1、2、3这四个数码可以组成多少个没有重复数字的三位数？有时枚举的对象或可能性较多，如果兼用一些推理，可变逐一列举为逐类分析，简化解题过程．问题44．6甲、乙、丙、丁4位优秀学生坐在一张方桌的4边，等待老师向他们发奖．奖品共有5种，每种奖品都有多份．如果只给每人发一种奖品中的一份，而且要求坐在邻位上的两人所得的奖品不同，问共有多少种不同的发奖方法？分析先让甲、乙、丙、丁在方桌4边坐定，不妨设四人的座位如图44—3所示．发给甲的奖品可以是5种奖品中的任一种，因而有5种不同取法．甲的奖品每选定一种，乙和丁只能从剩下的4种奖品中各任选一种．由于乙、丁的奖品对丙取何种奖品会有影响，因此需分乙、丁奖品相同或不同两种情况加以讨论．（1）如果乙、丁所得的奖品相同，则乙只能从除甲有的奖品外剩下的4种奖品中任选一种，有4种选法．当乙选定后，丁也就相应地选定了奖品．丙与乙和丁都邻座，因此不能选与他们相同的奖品，但可与甲的奖品相同．因此丙可以从乙、丁所有的那种奖品以外的4种奖品中任选一种．从而知在这种情况下共有5×4×4＝80（种）发奖方法．（2）如果乙、丁所得奖品不同，则乙的奖品有4种不同的选法（除去甲已选的一种），而丁的奖品只能从甲、乙已选定后剩下的3种奖品中去选，有3种选法，这时丙可选乙、丁选后剩下的3种奖品之一，也有3种选法．所以在这种情况下共有5×4×3×32＝180（种）发奖方法．合起来，全部不同的发奖方法共有80＋180＝260（种）．问题44．7小玲的爷爷几年前逝世，逝世时的年龄是他出生的年数练习441．甲、乙、丙、丁与小强5位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘．到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘．问小强已经赛了几盘？2．某校六年级有甲、乙、丙、丁四个班开展“纪律”、“卫生”评比竞赛．学校制作了“纪律优胜”和“卫生优胜”两面锦旗，奖给纪律、卫生最好的班级．想一想，可能出现多少种不同的得奖情况，并叙述你的推理方法．3．已知A、B、C、D为自然数，且A×B＝24，C×D＝32，B×D＝48，B×C＝24．问A、B、C、D各为多少？4．甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜头两局谁赢，如果没有人连胜头两局，谁先胜三局谁赢．问共有多少种可能的情况？5．从1到100的自然数中，每次取出2个数，要使它们的和大于100，问共有多少种取法？练习44问题44．2 8个．问题44．5 16个．问题44．7 把小于1955的29的倍数枚举出来：1943，1914，1885，1856，…在这些数中哪一个是小玲爷爷的出生年数呢？如果是1885，那么小玲爷爷1955年时的年龄就等于1955-1885=70（岁）．而他逝世时的年龄为1885÷29=65（岁），这显然是个矛盾，也就是说小玲爷爷不能在1885年出生．同样的方法不难知道在比1885年更早的年数里出生也不行．现在，还剩下1943和1914两个数，如果在1943年出生，1955年时的年龄为1955-1943=12（岁），这当然也是不合情理的，因为小玲的父亲不可能在他爷爷12岁时上小学．把所有不可能的情况都排除了，就不难知道小玲爷爷出生年数为1914年，1955年时的年龄为41岁．1．根据题设，已赛过的几盘棋分别如下：所以，小强已经赛了2盘．2．如果甲班获得“纪律优胜”锦旗，那么“卫生优胜”锦旗可能仍由甲班获得，也可能由乙班、丙班、丁班获得，共有四种不同的得奖情况．同理，当乙班、丙班、丁班分别获得“纪律优胜”锦旗时，也各有四种不同的得奖情况．所以，可能出现4×4=16（种）不同的得奖情况．3．因为C是24、32的公约数，又24、32的最大公约数是8，所以C 是8的正约数．若C=1，则从C×D=32得D=32，再从B×D=48，得若C=2或8，同样可导致矛盾．若C=4，可求得D=8，B=6，A=4满足题意．4．先考虑甲赢、乙输共有多少种可能性．画出下面表格，列举出所有甲赢、乙输的情况：表中“√”表示胜一局，“×”表示输一局．从表中可以看出来，甲赢乙输共有7种不同的方法．同样，乙赢甲输也有7种不同的方法．故共有14种可能的情况．5．自1至100这100个不等的数中，每次取出2个，其中必定有一个较小的．又这两数之和大于100，我们可以枚举较小数的所有可能性来分析．较小数是1，只有1种取法，即{1，100}；较小数是2，有2种取法，即{2，99}和{2，100}；依此类推……；较小数是50，有50种取法，即{50，51}和{50，52}，…，{50，100}；较小数是51，有49种取法，即{51，52}和{51，53}，…，{51，100}；依此类推……；较小数是99，只有1种取法，即｛99，100｝．所以，共有取法：1＋2＋3＋…＋50＋49＋48＋…＋2＋1。
六年级数学枚举法(竞赛培训)
课题：枚举法一、本讲知识点和能力目标1、知识点：枚举法起源于原始的计数方法，即数数。
当我们面临的问题存在大量的可能的答案（或中间过程），而暂时又无法用逻辑方法排除这些可能答案中的大部分时，就不得不采用逐一检验这些答案的策略，也就是利用枚举法来解题。
采用枚举法解题时，重要的是应做到既不重复又不遗漏，这就好比工厂里的质量检验员的责任是把不合格产品挑出来，不让它出厂，于是要对所有的产品逐一检验，不能有漏检产品。
2、知识目标：掌握基本的枚举与筛选并用的策略3、能力目标：（1）、善于把握分类的方法，分类必须适合于一一列举和研究，同时分类必须不重也不漏。
（2）、善于对列举的结果进行综合考察（包括筛选），并导出结论二、教学方法1、教师可运用讲解法，讨论法等。
2、学生学会列表枚举，树状枚举，分类枚举等方法。
三、本讲内容安排1．简单的按数量的多少、大小顺序枚举，用列表、画图等模型计数。
2．枚举中的筛选。
3．枚举中的分类模式。
4．分类综合运用以及复杂的树状图的建构。
四、课外延伸、知识拓展与排列、组合相结合的枚举策略【经典例题一】例1．小明有1个5分币，4个2分币，8个1分币，要拿出8分钱，你能找出几种拿法？例2．从1、2、3、4、6、8六个数字中任取两个，作为被除数与除数，问比1大的不同的商有多少个？例 3. 假设有A、B、C三个城市，从A到C必须经过B．已知从A到B可以坐汽车或坐火车到达，而从B到C则可以坐汽车或坐火车或坐飞机到达．问：从A到C可以有多少种不同的旅行方式？例 4.有一位小学生，从武汉出发，到a、b、c三个城市去游览．他今天到这个城市，明天就到另一个城市．现在知道这位小学生第一天到a城，第四天仍回到a城，你能知道这位小学生有多少种旅行路线吗？【策略回眸】只有选择恰当的方法，按一定规则枚举才能做到不重不漏，而且快速。
画枝形图是枚举中的一种重要方法。
【尝试实践1】【经典例题二】例5. 一个小于400的三位数，它是平方数，它的前两个数字组成的两位数还是平方数，其个位数也是一个平方数。
六年级下册数学讲义-小学奥数精讲精练： 第四讲 趣味算式(二)
第四讲趣味算式（二）这一讲介绍如何解“填数字”问题.这类问题和添运算符号不同，它已经给出运算关系，而要求填写出数字.解决填数字问题，也没有一定法则，掌握这类问题的解法，首先要熟悉第三讲提到的整数运算的有关基本知识，还要掌握一些解题技巧，例如要用到列举法、筛选法、反证法等.解这类问题的关键，是找到解题的突破口. 例 1 把 1－9 这九个数字，分别填入下面算式的□内，使每个等式都成立.□＋□＝□ ①□－□＝□ ②□×□＝□ ③分析与解：因为 1－9 这九个数，每取三个数字试乘的情况，要比试加、试减的情况简单，所以应从③式入手试填，试填发现有两种情况：2×3＝6 与2×4＝8 符合题目要求.因为1－9 九个数中，有四个偶数和五个奇数，而两个奇数或两个偶数的和与差都是偶数，一奇一偶的积、差又都是奇数，这就决定了①、②两式中，只能含有偶数个奇数，而③式中又不可能含 3 个奇数，所以③式只能是2×3＝6.第二步，由剩余的六个数字组成①式，它们的可能情况是，1＋4＝5，1＋8 ＝9，1＋7＝8，4＋5＝9，经试填发现，在 1＋4＝5 和1＋8＝9 的条件下，无法组成②式，所以应舍去.当1＋7＝8 时，②式的组成是 9－5＝4 或9－4＝5，当4＋5＝9 时，②式的组成是8－1＝7 或8－7＝1，所以满足题目要求的解有本题的分析、解题过程说明，以③式入手就是找到了突破口，然后列举可能出现的情况，运用和整数运算有关的知识，将不符合条件要求的情况筛选掉，可以得到题目的解答.例2 有一个算式，式中画的“×”表示缺掉的数字，求除数的所有不同的质因数的和.（本题是北京市第一届小学迎春杯数学竞赛试题）分析与解法 1：为了便于分析，将算式中的部分待定数字用字母代替.所以商数为 989.第一个数字只能是 9，④式的第一个数字只能是 8，所以 b＝1，C＝2；分析与解法 2：本题也可以直接求得除数.位数字为 8.因为③式的三位数减去④式的三位数得三位数，可以判定 8 与除数的十位数字相乘没有进位，所以 b＝1，或b＝0，又因为很容易判定 d＝9，所以b＝0 是不可能的.通过试乘，除数取 113 时，则113×8＝904，积的首位数字大于 8，不符合要求，而除数取 111 时，则111×9＝999，不是四位数，也不符合要求，所以除数只能是112.如果本题要求把所有缺掉的数字都补上，那也不难，因为求得除数和商数后，除法竖式就成为已知.例3 下列乘法竖式中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字，请你用合适的数字代替汉字，使乘法竖式成立.分析与解：显然，本题应从先确定“大”与“山”所表示的数字入手.因为被乘数的最高位数字“大”与乘数“山”的积仍然是“山”，所以“大”表示 1.因为被乘数的个位数字“山”与乘数“山”的积的个位数字为 1，所以只能是“山”表示 9.因为被乘数的百位数字“好”，与乘数 9 相乘时没有进位，“好”又不能再表示1，所以“好”表示 0.因为被乘数的十位数字“河”与乘数 9 相乘，积的个位数字是 0，而被乘数的个位数字 9 与乘数9 相乘时，向十位进 8，所以“河”表示 8.所以本题的解是例4 下列加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用合适的数字代替字母，使加法竖式成立.分析与解：从加数与和的个位数字入手.因为Y＋N＋N＝Y，所以N＝5 或N＝0，但N＝5 时，加数的十位数字T＋E＋E 的和就不可能得 T，所以只能是 N＝0，同时判定 E＝5.因为加数的百位数字相加，必须向千位进 1 或2，且千位还必须向万位进 1，所以表示 0＝9，同时判定 I＝1.因为加数百位数字的和要向千位进 2，所以它在 22 至28 之间，可判定T＝7 或T ＝8.若T＝7，则R＝8，X＝3，这时，只剩数字 2、4、6 还没有取用，它们要代替S、F、Y，但是 S 只能比F 大1，所以出现矛盾，即 T 不能是7.当T＝8 时，则R＝6 或R＝7，而R＝6 时，X＝3，乃出现矛盾，所以只能取 R＝7，这时，X＝4，所剩数字为 2、3、6，取S＝3，F＝2，Y＝6，就全部完成数字代替字母的解题过程，题目给出的加法竖式是（本题是美国数学月刊上的一个数字趣题.其中三个加数与和，正好是英文的四个数词 40、10、10、60）下列加法竖式，是一个和例 4 类似的数字趣题，其中三个加数与和，也正好是英文的四个数词，它们是 5、2、1、8，请同学们自己动手解这道题.例5 下列算式中的 O 代表奇数，X 代表偶数.请你用适当的数字代替 O 和X，使算式成立.分析与解：从被乘数、乘数和部分积入手，因为被乘数 OX X 与乘数个位数字X 相乘，部分积是一个四位数，并且它的个位数字是偶数.因为188×8＝1504，其千位数字是 1；所以被乘数 O××中的百位数字 O 要大于1；因为用 O 乘以乘数××的十位数字 X 得数不大于8，所以被乘数 O××中的 O 只能是3，而乘数××中的十位数字×只能是 2.在此条件下可以进行试乘，按要求被乘数3××乘以乘数的十位数字 2，应该得×O×.从试乘中得知，被乘数3××只能取 306，308，326，346，348，而这些数再乘以偶数 4 或6，都不能得到×O××，而乘以 8 时，只有其中的346、348 可以得到×O××，但是由于346×28＝9688，不符合最后得积OO××的要求，所以本题只有唯一解例 6 下列的算式中，相同的汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字，如果它们都成立.迎迎×春春＝杯迎迎杯①数数×学学＝数赛赛数②春春×春春＝迎迎赛赛③那么，迎＋春＋杯＋数＋学＋赛＝？（1988 年北京市迎春杯数学竞赛试题）分析与解：因为③中的乘数相同，所以试乘过程中的情况最少，经试乘得88×88＝7744，所以，春＝8，迎＝7，赛＝4，再代入①得77×88＝6776，所以，杯＝6.再分析②，被乘数是“数数”，而乘积的个位数字也是“数”，这就是说，除去8、7、4 三个数，剩余的1、2、3、5、9 中，只有5 能满足这个要求，所以，数＝5；而且“学”必须是奇数，从 1、3、9 三个奇数中试乘结果知，学＝9，即；55×99＝5445.所以迎＋春＋杯＋数＋学＋赛＝7＋8＋6＋5＋9＋4＝39例7 有人把中国古代趣词中的名言佳句与“虫食算”结合起来，制作了一些风格优异的小品，下面就是其中的一例.年年×岁岁＝花相似①岁岁÷年年＝人÷不同②上面的两个算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，试解出这两道算式.分析与解：由②得“岁岁”＜“年年”；而由两个相同数字组成的两位数是 11，22，33，…，99，显然“岁岁”不能是 11，因为如果是 11，乘积的个位数应该是“年”，这不符合题目要求.如果“岁岁”是 33，因为“岁岁”＜“年年”，“年年”最小也应该是44，但是44×33＝1452，与①中积是三位数矛盾，而55×22＝1210，也与①中积是三位数矛盾，所以“年年”只能是 33 或44.取“年年”为 33，则33×22＝726，仍不符合题目要求（想想为什么？），所以“年年”只能是 44，故所求的两道算式是：44×22＝96822÷44＝5÷10习题四1．将 1－9 这九个数字，填入下列各题的□内，使等式成立.（3）□□×□＝□□□＝□×□□2．补全下列各残缺的算式：3．下式中的 A，应代表什么数字？4．下面算式中的 a、b、c，应代表什么数字？5．把下面式子里的“奇”和“偶”，分别换成奇数和偶数，使等式成立.6．把下面式子里的“质”换成质数，使等式成立.7．下面两个算式中的不同汉字代表不同的数字，请你将它们改成数字的算式.8．下面题中的 a、b、c、d 表示互不相同的数字.试求出使两个算式都成立的 a、b、c、d 所表示的数字.9．下面乘式中的“趣味数字”四个字代表四个互不相同的数字，每个“□” 中可以填0－9 中的任何一个数字，但最高位不能填0，试确定算式中的每个数字.10．题中三个英语单词 CROSS、ROADS、DANGER 的词意是“通过”、“十字路口”、“危险”，用这三个单词正好能写成下面的加法算式.已知 O 代表数字2，S 代表数字3，并且要求不同字母代表不同数字，问 O、S 之外的字母代表什么数字时算式成立？。
六年级下册数学讲义-培优专题讲练：第4讲：枚举法教师版
第四讲枚举法大脑体操作业完成情况知也梳理1.计数问题分为两个大类，一类是“计次序”的问题，一类是“不计次序”的问题。
2,枚举需要按照一定的顺序和一定的规律来进行分类，这样可以做到不重复和不遗漏。
3,枚举法的根本思想在于分类，通过分类可以将原本复杂的问题拆分成若干个比较简单的问题，然后再逐一进行分析。
分类的思想可以化繁为简，化复杂为简单。
4.可以利用“树形图”来方便的记录枚举的过程，有几类问题就分出几个分枝，逐层按照顺序不断分叉再一一筛选，留下符合条件的，去掉不符合条件的。
注意在枚举“不计次序” 的问题时，只需考虑从小到大（或从大到小）排列的分枝，而不用理会其他情况。
5.计次序：不但要挑选出来，而且还需要排列顺序，不同的排列顺序认为是不同的情况或方法。
这类问题通常是“排列”的题目。
6.不计次序：只要挑选出来即可，不需要排列顺序，不同的排列顺序认为是相同的情况或方法。
这类问题通常是“选取”的题目。
教学重•难皮1.理解“枚举法”的含义。
2.能在题目中熟练运用枚举法解题。
趣味引人例1：小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。
若两枚骰子的点数和为7, 则小明胜；若点数和为8,则小红胜。
试判断他们两人谁获胜的可能性大。
分析与解:将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。
用a+b表示第一枚骰子的点数为a,第二枚骰子的点数是b的情况。
出现7的情况共有6种，它们是：1 + 6,2 + 5, 3+4, 4+3, 5 + 2, 6+1。
出现8的情况共有5种，它们是：2 + 6,3 + 5, 4+4, 5 + 3, 6 + 2。
所以，小明获胜的可能性大。
注意，本题中若认为出现7的情况有1 + 6,2 + 5, 3+4三种，出现8的情况有2+6, 3 + 5,4+4也是三种，从而得”两人获胜的可能性一样大”，那就错了。
例2：数一数，右图中有多少个三角形。
分析与解：图中的三角形形状、大小都不相同，位置也很凌乱，不好数清楚。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：枚举法
有这么一类数学问题,当题中的部分条件出现的可能情况为有限个时,我们可以把这些可能情况一一列举出来,再根据另一部分条件进行验证,这种解题的思维方法叫做枚举法。
运用枚举法解题的关键是要在列举过程中,保证既不重复,也不遗漏。
这时常常要对可能情况进行恰当的分类。
而这种正确的分类也有助手暴露问题的本质,降低问题的难度。
常用的分类方法有按数量的大小分类、按奇偶性分类等。
枚举法解题的一般步骤：(1)列出问题的可能答案；(2)逐一检验；(3)找到正确答案。
[例1] 有一类自然数,从第三个数字开始,每个数字都恰好是它前面两个数字之和,如257,1459等等,这类数共有个。
分析与解答先枚举最高位是l,且满足条件的数,共9个：10112358,112358,123581347 ,1459 ,156167 ,178 ,189再看最高位是2且满足条件的数,共8个：202246 ,21347,2246,2358 ,246 ,257268 ．279最高位是9且满足条件的数有1个：909所以,这类数共有9+8+7+…+2+1=45个。
[例2]哥德巴赫猜想说：每个大于或等于6的偶数,都可以表示成两个素(质)数之和。
问：168是哪两个两位数的质数之和,并且其中一个的个位数是17思路剖析本题可从“其中一个的个位数是1”人手。
对符合条件的两位数进行枚举,找到本题的答案。
解答要把168表示成两个两位数的质数之和,则这两个质数均大于68。
满足大于68和个位是l这两个条件的两位数是：71、81、91,其中只有71 是质数,所以另一个质数是168-71=97。
故本题所求的两个两位数的质数分别是71、97。
[例3] 从两位的自然数中,每次取两个不同的数,要使这两个数的和是三位数,有多少种取法?思Jg．剖析我们可以采用枚举的方法,按两位自然数由小到大的顺序逐个考虑, 先从最小的两位自然数10想起,它与哪些两位数的和是三位数,直到最大的两位自然数99止,然后统计一下共有多少种。
六年级奥数_简单枚举法_教师讲义
六年级奥数_简单枚举法_教师讲义简单枚举法⼀个问题中，如果有优先的⼏种可能的情况,往往需要将这些可能的情况全部列举出来，逐个进⾏讨论。
这种⽅法就称为枚举（或穷举）枚举时，应注意考虑要全⾯，不要遗漏。
枚举时，还应注意如下分类，分类的标准不同，情况也不⼀定相同，讨论的过程也会有差异。
例1 从1～50这50个⾃然数中选取两个数字，使它们的和⼤于50，共有多少种不同的取法？【分析】取法有很多，找到规律使数法简单且不重复不遗漏是解题的关键解若两数中较⼤的是50，则另⼀个可以取1,2,3，…，49，共49种取法；若两数中较⼤的是49，则另⼀个可以取1,2,3，…，48，共47种取法；若两数中较⼤的是48，则另⼀个可以取1,2,3，…，47，共45种取法；……若两数中较⼤的是26，则另⼀个只能取25，共1种取法。
因此共有1+3+5+…+47+49=625种取法。
说明在运⽤枚举法时，⼀定要找出问题的本质，按照⼀定的规律去设计枚举的形式。
【思考1】从1～50这50个⾃然数中选取两个数字，使它们的和不⼤于50，共有多少种不同的取法600种。
取法共有2+4+6+……+46+48=600.例2 求证：若整数n不是5的倍数，则n2也不是5的倍数。
【分析】不是5的倍数的数可以除以5的余数分为4类，按4类来讨论。
证明不是5的倍数的数可以除以5的余数分为4类，设为5k+1、5k+2、5k+3、5k+4（k为整数），①n=5k+1时，n2=5（5k2+2k）+1，不是5的倍数；②n=5k+2时，n2=5（5k2+4k）+4，不是5的倍数；③n=5k+3时，n2=5（5k2+6k+1）+4，不是5的倍数；④n=5k+4时，n2=5（5k2+8k+3）+1，不是5的倍数。
∴若整数n不是5的倍数，则n2不是5的倍数。
说明本题体现了在枚举法⾥常见的思路：分类考查，要注意分类的科学性。
【思考2】除以4余1的两位数共有⼏个？22个令这样的数为4k+1（k为整数），只要令其值在10到99之间就可以了。
四奥第4讲 枚举法
第四讲枚举法教学课题：枚举法教学课时：两课时教学目标：1．经历枚举的过程，让学生形成分类枚举的思维习惯。
2.通过操作发展学生的枚举能力，形成比较抽象的数学思维。
教学重难点：经历枚举过程，进行恰当的分类，做到枚举不重不漏。
教具准备：本周通知：教学过程：一、故事导入师：最近老师在看一部讲述骗子的英国电视剧《飞天大盗》，这部剧讲的是一群高智商的骗子如何去骗一些贪婪的人的钱。
昨天讲到这样一个故事，他们把一个贪婪狡诈的银行家骗上钩了，但是如何把他锁在保险箱里的钱偷到手呢？问题就来了——保险箱需要输入一个三位数的密码，密码都是由1~3这3个数字其中三个组成的。
电视放到这里就给观众留下了一个悬念，问我们，最多需要试多少次才能把密码试出来呢？那同学们你们愿意试试吗？生：（七嘴八舌）123！231！……师：同学们各有各的想法，都很棒。
但是我们想想，什么叫“最多需要试多少次”呢？生：就是看着这1、2、3能组成多少个三位数！（如果学生答不出来由老师引导）师：恩，XXX答得非常对！就是看1、2、3能组成多少个三位数！那究竟怎么去写才能够保证我没有写重复或者漏掉呢，这就是我们今天要学习的——枚举法。
二、例题精讲例1、有红、黄、蓝色的小旗各1面，我们可以把不同数量、不同顺序的旗子挂在旗杆上表示不同的信号，那么一共可以表示出多少种不同信号？【考虑顺序不同信号不同的情况】【思路点拨】和放砝码、取硬币一样，将取出小旗的面数进行分类一面：3种两面：6种三面：6种 3+6+6=15种例2、从3名男生、2名女生中选出三名升旗手，其中至少有1名男生，共有多少种不同的选法？【思路点拨】分类枚举，一个男生的情况：3 两个男生的情况：6 三个男生的情况：13+6+1=10种例3、一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？师：咱们一起来回忆一下，我们长方形的面积公式是？生：长方形的面积=长×宽师：很好，看来大家并没有因为放暑假而把知识还给老师。
六年级下册数学讲义-奥数导引：第4讲 比赛中的推理(无答案PDF)人教版
一、比赛介绍（假设有n 队参赛）（1）淘汰赛：每场淘汰一支球队，共需()1n -场才能决出冠军．（2）单循环赛：每两队比1场，无主客场之分．每队比()1n -场，共比2n C 场． （3）双循环赛：每两队比2场，有主客场之分．每队比()21n -场，共比2n A 场． （4）组合赛制：如世界杯，采用小组赛+淘汰赛赛制．注：对于小组赛，若两队同分可能需要比较其它信息来决定出线资格．二、循环赛（小组赛）积分制（1）2-1-0赛制：每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．n 场的比赛总分一定为2n 分．（2）3-1-0赛制：每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各的1分．n 场的比赛总分在2n ~3n 之间，且之间的每个分数都是可能的． 特别地，若已知共有k 场平局，则总分3n k =-．三、比分、得失球与净胜球每场结果（胜平负）是由进球数与失球数决定的，净胜球＝进球数－失球数．对于某一队： （1）当进球数大于失球数时，比赛获胜，本场净胜球数为正数；（2）当进球数等于失球数时，比赛打平，本场净胜球数为0；（3）当进球数小于失球数时，比赛告负，本场净胜球数为负数．例如，2：1获胜对应的净胜球数为+1，0：3告负对应的净胜球数为-3．第4讲比赛中的推理说明四、方法与技巧（1）通常先利用计数相关知识计算总场数，再求出总分（或其范围）．（2）在分析相互战绩、得失球数等内容时，点线图与列表是最常用方法．（3）各队总胜场数等于总负场数，总进球数等于总失球数，净胜球数之和永远为0．（4）常用方法：画图、列表、分类讨论（假设）、极端思想、整体思想等．（注：括号内数字表示题目来源，例如5.4.2.7表示五年级导引第4讲拓展篇第7题）【例1】在一次射击练习中，甲、乙、丙3位战士各打了4发子弹，全部中靶．其命中情况如下：①每人4发子弹所命中的环数各不相同；②每人4发子弹所命中的总环数均为17环；③乙有2发命中的环数分别与甲的2发一样，乙另2发命中的环数与丙其中的2发一样；④甲与丙只有1发环数相同；⑤每人每发子弹的最好成绩不超过7环．问：甲与丙命中的相同环数是几？（6.6.3.1，4星）【例2】一次象棋比赛共有10位选手参加，他们分别来自甲、乙、丙3个队．每人都与其余9人比赛一盘，每盘胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分．结果乙队平均得分为3.6分，丙队平均得分为9分，那么甲队平均得多少分？（6.6.3.2，4星）导引题目【例3】A、B、C、D、E这5支足球队进行循环赛，每两队之间比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，打平则双方各得1分．最后5支球队的积分各不相同，从高到低依次为D、A、E、B、C．又已知5支球队当中只有A没输过，只有C没赢过，而且B战胜了E．请问：战胜过C的球队有哪些？（6.6.3.3，4星）【例4】10名选手参加象棋比赛，每两名选手间都要比赛一次．已知胜一场得2分，平一场得1分，负一场不得分．比赛结果：选手们所得分数各不相同，前两名选手都没输过，前两名的总分比第三名多20分，第四名得分与后四名所得总分相等．问：前六名的分数各为多少？（6.6.3.4，5星）【例5】现有A、B、C共3支足球队举行单循环比赛，即每两队之间都要比赛一场．比赛积分的规定是胜一场积2分，平一场积1分，负一场积0分．图1是一张记有比赛详细情况的表格．但是，经过核对，发现表中恰好有4个数字是错误的，请你把正确的结果填入图2中．（6.6.3.5，4星）场数胜负平进球失球积分A 2 2 0 1 0 2 3B 2 1 1 0 3 6 2C 1 0 1 2 0 1 1图1场数胜负平进球失球积分ABC图2【例6】有A，B，C三支球队进行比赛．每一轮比赛三个队之间各赛一场．每队胜一场得2分，平一场得1分，负一场不得分．如果三支球队共比赛了7轮，最后A胜的场数最多，B输的场数最少，C的得分最高（这些都没有并列）．请问：A得了多少分？（6.6.3.7，5星）五支球队进行单循环比赛，每场胜者积3分，平局双方各积1分，负者不得分．全部比赛结束后，积分前两名出线，可进入下一阶段比赛．若积分相同，则需比较净胜球等其它数据确定名次．（1）最少积______分就有可能出线；积分达到_______分就一定可以出线．（2）最多积______分仍可能无法出线；积分不超过________分就一定无法出线．补充题目。
小学六年级数学难题思维能力题训练：枚举法(竞赛培训)
枚举法电工买回一批日光灯，在灯座上逐一试一遍，结果全部日光灯都是好的．像这样将一批事物一个一个全部列举出来的方法就是枚举法．问题44．1 小明有1 个5 分币， 4 个2 分币，8 个1 分币，要拿出8 分钱，你能找出几种拿法？分析为了不重复、不遗漏地找出所有可能的拿法，“找”就要按照一定的规则进行．先找只拿一种硬币的拿法，有两种：① 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1=8 （分）；②2 + 2 + 2 + 2=8 （分）.再找拿两种不同硬币的拿法，有四种：①1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1+2 = 8 （分）；②1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 = 8 （分）；③1 + 1+2 + 2+2 = 8 （分）；④1 + 1 + 1 + 5=8 （分）.最后找拿三种不同硬币的拿法，只有一种：⑤1+2 + 5 = 8 （分）.由此可见，共有7 种不同的拿法．在上面用枚举法寻找可能拿法的过程中，我们对全部拿法作了适当分类．合理分类是枚举法解题中力求又快又省的技巧．问题44．2 从1、2、3、4、6、8六个数字中任取两个，作为被除数与除数，问比 1 大的不同的商有多少个？问题44. 3假设有A、R C三个城市，从A到C必须经过B.已知从A到B 可以坐汽车或坐火车到达，而从B 到C 则可以坐汽车或坐火车或坐飞机到达.问：从A到C可以有多少种不同的旅行方式？分析从A到C （ZC）可分两个阶段进行：第一阶段，从A到B （A-B）; 第二阶段，从B到C （B-C）,按照第一阶段使用的交通工具不同可以分为两类：A-B B-CA一（汽J汽.向火）*鸿，飞* （火.海（火，火）*《火，飞图44-1所以，从A到C共有2X3 = 6种不同的旅行方式.上述解法中的图示叫做枝形图（图44-1）,在解不太复杂的计数问题中很有用.问题44. 4有一位小学生，从武汉出发，到a、b、c三个城市去游览.他今天到这个城市，明天就到另一个城市.现在知道这位小学生第一天到 a城，第四天仍回到a城，你能知道这位小学生有多少种旅行路线吗？分析解决这个问题的一个很自然的想法是，把旅行路线的所有可能性一一列举出来，然后从中挑选出满足要求的路线.解先用枝形图（见图44-2）表示这个小学生四天旅行的全部可能的路线：……第-乐—第二^…第三天第四天图44-2从图中明显地看出，这个小学生第四天到a城的旅行路线有两种:第一种武汉一a-b一c-a；第二种武汉一a-c一b-a.问题44. 5用0、1、2、3这四个数码可以组成多少个没有重复数字的三位数？有时枚举的对象或可能性较多，如果兼用一些推理，可变逐一列举为逐类分析，简化解题过程.问题44. 6甲、乙、丙、丁4位优秀学生坐在一张方桌的4边，等待老师向他们发奖.奖品共有5种，每种奖品都有多份.如果只给每人发一种奖品中的一份，而且要求坐在邻位上的两人所得的奖品不同，问共有多少种不同的发奖方法？分析先让甲、乙、丙、丁在方桌4边坐定，不妨设四人的座位如图44— 3所示.发给甲的奖品可以是5种奖品中的任一种，因而有5种不同取法.甲的奖品每选定一种，乙和丁只能从剩下的4种奖品中各任选一种.由于乙、丁的奖品对内取何种奖品会有影响，因此需分乙、丁奖品相同或不同两种情况加以讨论.（1）如果乙、丁所得的奖品相同，则乙只能从除甲有的奖品外剩下的4种奖品中任选一种，有4种选法.当乙选定后，丁也就相应地选定了奖品.丙与乙和丁都邻座，因此不能选与他们相同的奖品，但可与甲的奖品相同.因此丙可以从乙、丁所有的那种奖品以外的4种奖品中任选一种.从而知在这种情况下共有5X4X4=80 （种）发奖方法.（2）如果乙、丁所得奖品不同，则乙的奖品有4种不同的选法（除去甲已选的一种），而丁的奖品只能从甲、乙已选定后剩下的3种奖品中去选，有3种选法，这时内可选乙、丁选后剩下的3种奖品之一，也有3 种选法.所以在这种情况下共有5X4X3X32=180 （种）发奖方法.合起来，全部不同的发奖方法共有80+ 180= 260 （种）问题44. 7小玲的爷爷几年前逝世，逝世时的年龄是他出生的年数的小玲的父亲1955年上小竽一年级.问这一年小玲的爷爷的年龄有多大?练习441.甲、乙、丙、丁与小强一盘.到现在为止，甲已经赛了1盘.问小强已经赛了几盘？2.某校六年级有甲、乙、丙、丁四个班开展“纪律”、“卫生”评比竞赛.学校制作了“纪律优胜”和“卫生优胜”两面锦旗，奖给纪律、卫生最好的班级.想一想，可能出现多少种不同的得奖情况，并叙述你的推理方法.3,已知A、R G D为自然数，且AX B= 24, CX D= 32, BX 又48, BX C= 24 .问A、B、C、D各为多少？4.甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜头两局谁赢，如果没有人连胜头两局，谁先胜三局谁赢.问共有多少种可能的情况？5.从1至I 100的自然数中，每次取出2个数，要使它们的和大于100, 问共有多少种取法？练习44问题44. 2 8个.问题44. 5 16个.问题44. 7把小于1955的29的倍数枚举出来:1943, 1914, 1885, 1856,…在这些数中哪一个是小玲爷爷的出生年数呢？如果是1885,那么小玲爷爷1955年时的年龄就等于1955-1885=70 （岁）.而他逝世时的年龄为1885+29=65 （岁），这显然是个矛盾，也就是说小玲爷爷不能在1885年出生.同样的方法不难知道在比1885年更早的年数里出生也不行.现在，还剩下1943和1914两个数，如果在1943年出生，1955年时的年龄为1955-1943=12 （岁），这当然也是不合情理的，因为小玲的父亲不可能在他爷爷12岁时上小学.把所有不可能的情况都排除了，就不难知道小玲爷爷出生年数为1914年，1955年时的年龄为41岁.1.根据题设，已赛过的几盘棋分别如下:5位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛4盘，乙赛了3盘，内赛了2盘，丁赛了所以，小强已经赛了2盘.2.如果甲班获得“纪律优胜”锦旗，那么“卫生优胜”锦旗可能仍由甲班获得，也可能由乙班、丙班、丁班获得，共有四种不同的得奖情况.同理，当乙班、丙班、丁班分别获得“纪律优胜”锦旗时，也各有四种不同的得奖情况.所以，可能出现4X4=16 （种）不同的得奖情况.3.因为C是24、32的公约数，又24、32的最大公约数是8,所以C 是8的正约数.若C=1,贝U从CX D=32得D=32,再从BX D=48,得这与B为自然数的条件矛盾.若C=2或8,同样可导致矛盾.若C=4,可求得D=8, B=6, A=4满足题意.4,先考虑甲赢、乙输共有多少种可能性.画出下面表格，列举出所有甲麻、乙输的情况：表中表示胜一局，“X”表示输一局.从表中可以看出来，甲麻乙输共有7种不同的方法.同样，乙赢甲输也有7种不同的方法.故共有14种可能的情况.5.自1至100这100个不等的数中，每次取出2个，其中必定有一个较小的.又这两数之和大于100,我们可以枚举较小数的所有可能性来分析.较小数是1,只有1种取法，即{1 ,100};较小数是2,有2种取法，即{2, 99}和{2, 100};依此类推……；较小数是50,有50种取法，即{50, 51}和{50, 52},…，{50, 100};较小数是51,有49种取法，即{51 , 52}和{51 , 53},…，{51 , 100};依此类推较小数是99,只有1种取法，即{ 99, 100}.所以，共有取法：1+2 + 3+---+ 50 + 49+48+- + 2+1=2 X（49+；） X49 + 50 = 250。
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第四讲枚举法1.计数问题分为两个大类，一类是“计次序”的问题，一类是“不计次序”的问题。
2.枚举需要按照一定的顺序和一定的规律来进行分类，这样可以做到不重复和不遗漏。
3.枚举法的根本思想在于分类，通过分类可以将原本复杂的问题拆分成若干个比较简单的问题，然后再逐一进行分析。
分类的思想可以化繁为简，化复杂为简单。
4.可以利用“树形图”来方便的记录枚举的过程，有几类问题就分出几个分枝，逐层按照顺序不断分叉再一一筛选，留下符合条件的，去掉不符合条件的。
注意在枚举“不计次序”的问题时，只需考虑从小到大（或从大到小）排列的分枝，而不用理会其他情况。
5.计次序：不但要挑选出来，而且还需要排列顺序，不同的排列顺序认为是不同的情况或方法。
这类问题通常是“排列”的题目。
6.不计次序：只要挑选出来即可，不需要排列顺序，不同的排列顺序认为是相同的情况或方法。
这类问题通常是“选取”的题目。
1.理解“枚举法”的含义。
2.能在题目中熟练运用枚举法解题。
例1：小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。
若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。
试判断他们两人谁获胜的可能性大。
分析与解：将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。
用a＋b表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b的情况。
出现7的情况共有6种，它们是：1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。
出现8的情况共有5种，它们是：2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。
所以，小明获胜的可能性大。
注意，本题中若认为出现7的情况有1＋6，2＋5，3＋4三种，出现8的情况有2＋6，3＋5，4＋4也是三种，从而得“两人获胜的可能性一样大”，那就错了。
例2：数一数，右图中有多少个三角形。
分析与解：图中的三角形形状、大小都不相同，位置也很凌乱，不好数清楚。
为了避免数数过程中的遗漏或重复，我们将图形的各部分编上号（见右图），然后按照图形的组成规律，把三角形分成单个的、由两部分组成的、由3部分组成的……再一类一类地列举出来。
单个的三角形有6个：1 ，2，3，5，6，8。
由两部分组成的三角形有4个：（1，2），（2，6），（4，6），（5，7）。
由三部分组成的三角形有1个：（5，7，8）。
由四部分组成的三角形有2个：（1，3，4，5），（2，6，7，8）。
由八部分组成的三角形有1个：（1，2，3，4，5，6，7，8）。
总共有6＋4＋1＋2＋1=14（个）。
对于这类图形的计数问题，分类型数是常用的方法。
例3:在算盘上，用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数？分析与解：上珠一个表示5，下珠一个表示1。
分三类枚举：（1）两颗珠都是上珠时，可表示5005，5050，5500三个数；（2）两颗珠都是下珠时，可表示1001，1010，1100，2000四个数；（3）一颗上珠、一颗下珠时，可表示5001，5010，5100，1005，1050，1500，6000七个数。
一共可以表示 3＋4＋7=14（个）四位数。
由例1～3看出，当可能的结果较少时，可以直接枚举，即将所有结果一一列举出来；当可能的结果较多时，就需要分类枚举，分类枚举是我们需重点学习掌握的内容。
分类一定要包括所有可能的结果，这样才能不遗漏，并且类与类之间不重叠，这样才能不重复。
例4 有一只无盖立方体纸箱，将它沿棱剪开成平面展开图。
那么，共有多少种不同的展开图？分析与解：我们将展开图按最长一行有多少个正方形（纸箱的面）来分类，可以分为三类：最长一行有4个正方形的有2种，见图（1）（2）；最长一行有3个正方形的有5种，见图（3）～（7）；最长一行有2个正方形的有1种，见图（8）。
不同的展开图共有2＋5＋1＝8（种）。
例5：小明的暑假作业有语文、算术、外语三门，他准备每天做一门，且相邻两天不做同一门。
如果小明第一天做语文，第五天也做语文，那么，这五天作业他共有多少种不同的安排？分析与解：本题是分步进行一项工作，每步有若干种选择，求不同安排的种数（有一步差异即为不同的安排）。
这类问题简单一些的可用乘法原理与加法原理来计算，而本题中由于限定条件较多，很难列出算式计算。
但是，我们可以根据实际的安排，对每一步可能的选择画出一个树枝状的图，非常直观地得到结果。
这样的图不妨称为“枚举树”。
由上图可知，共有6种不同的安排。
例6：一次数学课堂练习有3道题，老师先写出一个，然后每隔5分钟又写出一个。
规定：（1）每个学生在老师写出一个新题时，如果原有题还没有做完，那么必须立即停下来转做新题；（2）做完一道题时，如果老师没有写出新题，那么就转做前面相邻未解出的题。
解完各题的不同顺序共有多少种可能？分析与解：与例5类似，也是分步完成一项工作，每步有若干种可能，因此可以通过画枚举树的方法来求解。
但必须考虑到所有可能的情形。
由上图可知，共有5种不同的顺序。
说明：必须正确理解图示顺序的实际过程。
如左上图的下一个过程，表示在第一个5分钟内做完了第1题，在第二个5分钟内没做完第2题，这时老师写出第3题，只好转做第3题，做完后再转做第2题。
例7：是否存在自然数n，使得n2＋n＋2能被3整除？分析与解：枚举法通常是对有限种情况进行枚举，但是本题讨论的对象是所有自然数，自然数有无限多个，那么能否用枚举法呢？我们将自然数按照除以3的余数分类，有整除、余1和余2三类，这样只要按类一一枚举就可以了。
当n能被3整除时，因为n2，n都能被3整除，所以（n2＋n＋2）÷3余2；当n除以3余1时，因为n2，n除以3都余1，所以（n2＋n＋2）÷3余1；当n除以 3余 2时，因为n2÷3余1，n÷3余2，所以（n2＋n＋2）÷3余2。
因为所有的自然数都在这三类之中，所以对所有的自然数n，（n2＋n＋2）都不能被3整除。
A1. A、B、C、D、E、F六支球队进行单循环赛，当比赛进行到某一天时，统计出A、B、C、D、E五队已分别比赛了5、4、3、2、1场，由此可知，还没有与B队比赛的球队是（）A. C队 B. D队 C. E队 D. F队答案：C由于是单循环赛，所以每个队至多赛5场。
A队已经完成了5场，则每个队均与A队比赛过。
E队仅赛一场（即与A赛过），所以E队没有与B队赛过。
2．写自然数1、2、3、…、1000，一共写了＿＿个0（）A. 90B. 171C. 189D. 192答案：D分类如下：仅各位是0的数共含90个0，仅十位是0的数共含81个0，个位、十位同时是0的共含18个0，个、十、百位同时是0的（仅1000）共含3个0，所以一共有90+81+18+3=192个03.已知x，y都有整数，且xy=6，那么适合等式的解共有＿＿8＿＿组答案：84.将6拆成两个或两个以上的自然数之和，共有多少种不同拆法？答案：10种。
解：6=1＋5=2＋4=3＋3=1＋1＋4=1＋2＋3=2+2+2=1+1+1+3＝1+1+2+2＝1+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1。
5.小明有10块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？答案：9种。
解：一天吃完有1种：（10）；两天吃完有5种：（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3）；三天吃完有3种：（3，3，4），（3，4，3），（4，3，3）。
共1+5+3=9（种）。
B6.用五个1×2的小矩形纸片覆盖右图的2×5的大矩形，共有多少种不同盖法？答案：8种。
解：如下图所示，只有1个小矩形竖放的有3种，有3个小矩形竖放的有4种，5个小矩形都竖放的有1种。
共3＋4＋1=8（种）。
7.15个球分成数量不同的四堆，数量最多的一堆至少有多少个球？答案：6个。
解：15个球分成数量不同的四堆的所有分法有下面6种：（1，2，3，9），（1，2，4，8，）（1，2，5，7），（1，3，4，7），（1，3，5，6），（2，3，4，6）。
可以看出，分成的四堆中最多的那一堆至少有6个球。
8.数数右图中共有多少个三角形？答案：10个。
提示：由一块、两块、三块、四块组成的三角形依次有4，3，2，1个，共有4＋3＋2＋1＝10（个）。
9.甲、乙比赛乒乓球，五局三胜。
已知甲胜了第一盘，并最终获胜。
问：各盘的胜负情况有多少种可能？答案：6种。
提示：将各盘获胜者写出来，可画出枚举树如下：10.经理有4封信先后交给打字员，要求打字员总是先打最近接到的信，比如打完第3封信时第4封信还未到，此时如果第2封信还未打完，那么就应先打第2封信而不能打第1封信。
打字员打完这4封信的先后顺序有多少种可能？答案：14种。
提示：按四封信的完成顺序可画出枚举树如下：C11.从1～50这50个自然数中选取两个数字，使它们的和大于50，共有多少种不同的取法？答案；取法有很多，找到规律使数法简单且不重复不遗漏是解题的关键解若两数中较大的是50，则另一个可以取1,2,3，…，49，共49种取法；若两数中较大的是49，则另一个可以取1,2,3，…，48，共47种取法；若两数中较大的是48，则另一个可以取1,2,3，…，47，共45种取法；……若两数中较大的是26，则另一个只能取25，共1种取法。
因此共有1+3+5+…+47+49=625种取法。
说明在运用枚举法时，一定要找出问题的本质，按照一定的规律去设计枚举的形式。
12.从1～50这50个自然数中选取两个数字，使它们的和不大于50，共有多少种不同的取法答案；600种。
取法共有2+4+6+……+46+48=600.13.求证：若整数n不是5的倍数，则n2也不是5的倍数。
答案；不是5的倍数的数可以除以5的余数分为4类，按4类来讨论。
证明：不是5的倍数的数可以除以5的余数分为4类，设为5k+1、5k+2、5k+3、5k+4（k 为整数），①n=5k+1时，n2=5（5k2+2k）+1，不是5的倍数；②n=5k+2时，n2=5（5k2+4k）+4，不是5的倍数；③n=5k+3时，n2=5（5k2+6k+1）+4，不是5的倍数；④n=5k+4时，n2=5（5k2+8k+3）+1，不是5的倍数。
∴若整数n不是5的倍数，则n2不是5的倍数。
说明本题体现了在枚举法里常见的思路：分类考查，要注意分类的科学性。
14.除以4余1的两位数共有几个？答案；22个令这样的数为4k+1（k为整数），只要令其值在10到99之间就可以了。
则k=3,4,5…23,24。
共22个。
15.今有一角币1张、贰角币1张、伍角币1张、一元币4张、五元币2张。
这些纸币任意付款，可以付出多少种不同数额的款？答案；本题如直接枚举，情况复杂，很难求出正确答案。
我们可以先考虑付款的数额范围，在此范围内，再考虑那些不能构成的付款数额，将其剔除。