排列组合方法归纳大全[文摘][整理]

排列组合方法归纳大全
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
练习题：
1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法
六.环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈
七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有192 种
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？
练习题：
１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有列方式的种数为______
2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种______
十.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
练习题：
1．10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？_____
x y z w求这个方程组的自然数解的组数_____
2 .100
十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？
练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在的
抽法有多少种?
十二.平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
练习题：
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？
2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的
分组方法
3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安
排2名，则不同的安排方案种数为______
十三. 合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的
节目,有多少选派方法
练习题：
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不
同的选法共有______
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3
只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.
本题还有如下分类标准：
十四.构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）
十五.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
练习题：
1.同一寝室4人,每人写一贺年卡集中起来,然后每人各拿一别人的贺年卡，则四贺年卡不同的分配方式
有多少种？
2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有72种
十七.化归策略
例17.:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种？
十八.数字排序问题查字典策略
例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？
练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是
解决排列类应用题的主要方法
(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；
(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；
(3)捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的部排列；
(4)插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；
(5)分排问题直排处理的方法；
(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；
(7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列．
1．一位老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法( )
A．450 B．460 C．480 D．500
2．排一有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单．
(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？
(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？
[例2] 要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？
(1)至少有1名女生入选；
(2)至多有2名女生入选；
(3)男生甲和女生乙入选；
(4)男生甲和女生乙不能同时入选；
(5)男生甲、女生乙至少有一个人入选．
组合两类问题的解法
(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接
法处理．
3．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至
少选一门，则不同的选法共有( )
A．30种B．35种C．42种 D．48种
[例3] 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列的
选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文科代表；
(3)某男生必须包括在，但不担任数学科代表；
(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．
求解排列、组合综合题的一般思路
排列、组合的综合问题，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分
好的组进行排列．其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．
4．4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒．
(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？
(2)恰有1个盒有2个球，共有几种放法？
(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？
1．(2012·高考)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
A ．3×3！
B ．3×(3！)
3
C ．(3！)
4
D ．9!
2．(2012·新课标全国卷)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由
1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有
(
)
A ．12种
B ．10种
C ．9种
D ．8种
3．在“神九”航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序
A 只能出现在第
一步或最后一步，程序
B 和
C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有
(
)
A ．24种
B ．48种
C ．96种
D ．144种
4.如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中
任何一个，允许重复．若填入A 方格的数字大于
B 方格的数字，则不同的填法共有
(
)
A ．192种
B ．128种
C ．96种
D ．12种
5．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局
次的不同视为不同情形
)共有(
)
A ．10种
B ．15种
C ．20种
D ．30种
6．(2012·高考)现有16不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4．从中任取3，要
求这3卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多
1，不同取法的种数为(
)
A ．232
B ．252
C ．472
D ．484
7．12名选手参加校园歌手大奖赛，大赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖种数是
(
)
A ．12
3
B ．3
12
C ．A
3
12
D ．12＋11＋10
8．异面直线a ，b 上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是
(
)
A ．20
B ．9
C ．C
39
D ．C 24C 15＋C 25C
14
9．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的分配方案共有(
)
A ．252种
B ．112种
C ．20种
D ．56种
10．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，
则
A B C
D
不同的选法共有_种．
11．如图M，N，P，Q为海上四个小岛，现要建造三座桥，将这四个小岛连接起
来，则不同的建桥方法有________种．
12．某公司计划在、、、四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该公司不同的投资方案种数是________(用数字作答)．
13．(2013·模拟)某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必
须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字)．
14．(2013·模拟)某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中
的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加
“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为________(用数字作答)．
15．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方
法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
16．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？
(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？
17.编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小
球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，不同的放法有多少种？
18.3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体站成一排，男、女各站在一起；
(4)全体站成一排，男生不能站在一起；
(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．。