教学设计1：§11.2 平面的基本事实与推论

11.2平面的基本事实与推论
教学目标
1.理解平面的基本事实与推论.
2.能运用平面的基本事实及推论去解决有关问题．
教学知识梳理
知识点平面的基本事实及作用
1.
基本
事实
内容图形符号作用
基本事实1经过不在一条直线上的3
个点，有且只有一个平面
A，B，C三点
不共线⇒存在
唯一的平面α
使A，B，C∈α
一是确定平面；二是
证明点、线共面问题；
三是判断两个平面重
合的依据
基本事实2如果一条直线上的两个点
在一个平面内，那么这条
直线在这个平面内
A∈l，B∈l，且
A∈α，B∈α⇒l
⊂α
既可判定直线和点是
否在平面内，又能说
明平面是无限延展的
基本事实3如果两个不重合的平面有
一个公共点，那么它们有
且只有一条过该点的公共
直线
P∈α且P∈β
⇒α∩β＝l，且P
∈l
既是判定两平面相交
的依据；
也可用于判定点在直
线上
2.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：
推论1经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．
教学案例
案例一共面问题
例1如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.
证明因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面，记为β.所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，所以α与β重合，所以PQ⊂α.
反思感悟证明多线共面的两种方法
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．
(2)轴助平面法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．
跟踪训练1已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
证明方法一(纳入平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面，记为α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
方法二(辅助平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面，记为α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面，记为β.
∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
案例二共点、共线问题
例2如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点．
证明∵在梯形ABCD中，
AD∥BC，
∴AB与CD必交于一点，
设AB交CD于M.
则M∈AB，M∈CD，
又∵AB⊂α，CD⊂β，
∴M∈α，M∈β，
又∵α∩β＝l，
∴M∈l，
∴AB，CD，l共点．
反思感悟(1)点共线与线共点的证明方法
①点共线：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．
②三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其他两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．
(2)确定两平面的交线，关键是确定这两个平面的两个公共点，基本事实3是解决此类问题的主要依据．
跟踪训练2已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示．求证：P，Q，R三点共线．
证明方法一∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α.
又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴P，Q，R三点共线．
方法二∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，
∴P，Q，R三点共线．
课堂小结
1．知识清单：
(1)共面问题．
(2)共点、共线问题．
2．方法归纳：先部分再整体的思想．
3．常见误区：使用符号语言不规范．
随堂演练
1．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是()
【答案】D
【解析】画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示，并画出两平面的交线．
2．空间中，可以确定一个平面的条件是()
A．三个点B．四个点
C．三角形D．都不对
【答案】C
【解析】由平面的基本事实及推论得：在A中，不共线的三个点能确定一个平面，共线的三个点不能确定一个平面，故A错误；在B中，共线的四个点不能确定一个平面，故B错误；在C中，由于三角形的三个顶点不共线，因此三角形能确定一个平面，故C正确；D 错误．故选C.
3．(多选)空间不共线的四点可以确定平面的个数为()
A．1 B．3 C．4 D．5
【答案】AC
【解析】若四点共面，则可确定1个平面；若四点不共面，则可确定4个平面．
4．若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则()
A．C∈αB．C∉α
C．AB⊄αD．AB∩α＝C
【答案】A
【解析】因为A∈平面α，B∈平面α，所以AB⊂α.又因为C∈直线AB，所以C∈α.
5．如图，已知D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．
【答案】P∈直线DE
【解析】因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.
又P∈α，平面ABC∩α＝DE，
所以P∈直线DE.。