2020届高三数学精品资料：处理三角函数易错题的六绝招

2020届高三数学精品资料：处理三角函数易错题的六绝招
第一招 三角函数中，隐含条件的挖掘
【例1】
方程2
40x ++=的两个实数根是tan ,tan αβ，且,(,)22
ππ
αβ∈-，那么αβ+等于〔 〕
A ．
23π B ．23π- C ．3
π或23π- D ．2-33ππ或 【解】
tan ,tan αβ
tan tan tan tan 4αβαβ+==∴又,(,22
ππ
αβ∈-
因此,(2
π
αβ∈-
从而0παβ-<+<，
又
tan tan tan()1tan tan 1αβαβαβ++=
==-，
23
π
αβ+=-∴
第二招 三角形中，角大正弦大
【例2】在ABC ∆中，35
sin ,cos ,513
A B =
=求cos C 的值。

【解】5cos ,sin 13B B ===∴123
sin sin ,135
B A B =>=>∴∴因此，A 一定是锐角，从而
4
cos
5
A==
因此
()()
cos cos cos
C A B A B
π
=-+=-+
⎡⎤
⎣⎦(cos cos sin sin)
A B A B
=--
16
65
=．
第三招三角函数值求角错因分析
【例3】
假设sin
510
αβ
==，且,αβ均为锐角，求αβ
+的值．【错解】α
为锐角，cos
α=
∴=。

又β为锐角，cosβ
∴=。

且sin()sin cos cos sin
αβαβαβ
+=+=
由于090,090
αβ
<<<<，
0180
αβ
<+<
∴，
故45
αβ
+=或135。

缩角是一种重要技巧
〖点拨〗因为cos
y x
=在[]
0,π上是单调函数，因此此题先求cos()
αβ
+不易出错。

正解α为锐角，
5
cosα=
∴=。

又β
为锐角，10
cos β=
∴=。

且cos()cos cos sin sin 2
αβαβαβ+=-=， 由于090,090αβ<<<<，
0180αβ<+<∴，故45αβ+=。

〖练习〗假设Ａ、B 均为锐角，且1tan ,sin 710
A B =
=，那么A+2B 的值为 ． 【解】∵sin B =
B 为锐角，∴cos B =
∴1tan ,3B = ∴22tan 3tan 2,1tan 4
B B B ==- ∴2
2tan tan(2)1,1tan B
A B B
+==- 又∵1
sin sin 30102
B =
<=，∴030B <<， ∴02150A B <+<，∴A+2B=45．
第四招 你确信会错
【例4】〔2007全国Ⅰ—理17〕设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分不为a b c ，，，2sin a b A =
〔Ⅰ〕求B 的大小；
〔Ⅱ〕求cos sin A C +的取值范畴
【解】〔Ⅰ〕由2sin a b A =，依照正弦定理得sin 2sin sin A B A =，因此1
sin 2
B =
，由ABC △为
锐角三角形得π6
B =
〔Ⅱ〕cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-
- ⎪6⎝
⎭
cos sin 6A A π⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
1cos cos sin 22A A A =++
3A π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
由ABC △为锐角三角形知：
22263A B πππππ
>>-=-=， 从而 2336
A ππ5π<+<
， 因此
1sin 232A π⎛
⎫<+<
⎪⎝
⎭ 由此有
3A π⎛
⎫<+< ⎪⎝
⎭ 因此，cos sin A C +
的取值范畴为322⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，
〖练习〗〔2018湖南—文14〕在锐角ABC ∆中，
1,2,BC B A ==那么cos AC
A
的值等于 2 ， AC 的取值范畴为 )3,2( .
〖点拨〗因为ABC ∆是锐角三角形锐角，因此2
A B π+>
，且2
B π
<
，从而有
6
4
A π
π
<<
，因此
2cos A <<
AC <<
第五招 数形结合也未见得好
【例5】在区间,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
范畴内，函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点的个数为〔 〕 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 【解】 在同一坐标系中，作出sin y x =与tan y x =，在,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭内的图象，专门难做到精确，容易误认为3个交点．联想到不等式〝sin tan x x x <<〔x 0,
2π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
〕〞，故sin y x =与tan y x =，在0,
2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
内的图象无交点，又它们差不多上奇函数，从而sin y x =与tan y x =，在,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭内的图象也无交点，因此在区间,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
范畴内，函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点的个数为1个，即坐标原点()0,0．
第六招 同角正余弦的和、差、积、倍互化中的陷阱铲除
sin cos αα+或sin cos αα-求sin α、cos α、tan α、cot α、sin 2α、cos2α的值。

【例6】 〔1994全国—理18〕()1
sin cos ,0,5
αααπ+=∈，那么tan α的值是
sinα＋cosα＝
15〉0
，两边平方得 2sinαcosα＝－2425<0 =4925 ,且2παπ<<，∴ 有sinα－cosα＝7
5
，＝15 ，联立解得 sinα＝45、 cosα ＝－3
5
，
4
3。

这类咨询题的解决第一必须对角α的范畴进行讨论，这充分表达了〝函数咨询题，范畴先行〔专门是三角函数咨询题〕〞的解题差不多原那么．。