最新离散数学课件第三章集合与关系-2精品文档

中A表示所有动物Animal的集合, P表示所有植物 Plant的集合。
B也可划分成 {F, L},其中F表示史前First生 物,L表示史后Last生物。
它们的交叉划分为 : D = {A∩F, A∩L, P∩F, P∩L},
其中A∩F是史前动物, A∩L是史后动物, P∩F是史前植物, P∩L是史后植物。
定义3-9.2 若S1={A1…Am},S2={B1…Bn}是A的二个划
分,则
S={Ai∩Bj|AiS1∧BjS2}
称为A的交叉划分。
定理3-9.1 设 {A1,A2,…,Am}与{B1,B2,…,Bn}为同 一集合A的两个划分。则其交叉划分Ai∩Bj亦是原 集合的一种划分。
交叉划分举例
例：设B是所有生物的集合, 可划分成{A, P}, 其
② 因为 R s(R),故 st( R ) st(s( R )) 而st(s( R ))= sts(R) = s(ts( R )) = ts( R )
st( R ) ts( R ).
注： st(R)ts(R)未必成立。 反例：设R={ <a,b>,<c,b> }
则s(R)={ <a,b>,<b,a>,<c,b>,<b,c> } t(s(R))={ <a,b>,<b,a>,<c,b>,<b,c>,
离散数学课件第三章集合与关 系-2
复合关系举例
例：A={1，2，3，4}，B={3，5，7}，C={1，2，3} R={<2,7>，<3,5>，<4,3>}，S={<3,3>，<7,2>} 则 R◦S={<2，2>，<4，3>} 如图所示：
逆关系
定义3-7.2 设R是A到B的二元关系，则R的逆是B到A 的二元关系，记为Rc，其中Rc ={<y,x>|<x,y>R}。
例 2 A={0,1,2,3} ， R={<0,0>,<0,3>,<3,2>,<1,3>} 则 Rc = { <0,0>,<3,0>,<2,3>,<3,1> }
定理
定理：设R,R2,R1是A到B的关系，则 a） (Rc)c=R b） (R1∪R2)c = R1c∪R2c c） (R1∩R2)c = R1c∩R2 d） (~R)c = ~(Rc), ~R=AB-R 即R的补 的逆等于逆的补 e） (R1-R2)c =R1c -R2c f) (AB)c = BA
② ∵ t(R)是包含R的最小传递关系
∴t(R)
Ri
i1
由（1），（2）得 t(R) = R i
i1
闭包运算举例
题：设A={a,b,c}, R是A上的二元关系，且给定 R={<a,b>,<b,c>,<c,a>}, 求r(R),s(R),t(R)。 解：r(R)= R ∪IA
= {<a,b>,<b,c>,<c,a>,<a,a>,<b,b>,<c,c>} s(R)= R ∪Rc
练习： 3-9（2）
证明： 1. aA，a与a在同一分块中，故必有aRa。
故R是自反的。 2. 若a与b在同一分块中，b与a也必在同一分
块中，即 aRb bRa，故R是对称的。 3. 若a与b在同一分块中，b与c在同一分块中，
根据划分的定义，b属于且仅属于一个分块，故a与 c必在同一分块中。
即 aRb ∧ bRc aRc，故R是传递的。
③ 传递闭包 t(R)= R i = R∪R2∪R3∪… i1
证明 r(R)=R∪IA
证：设R’ = R∪IA ∵ ① xA,<x,x>R’ ∴R’具有自反性 ② RR’ ③ 设R”是自反的，且RR” ∵R’’是自反的，∴IAR” 又∵RR” ∴R’=IA∪RR” 综上所述，R’满足自反闭包定义的三个条件， ∴ r(R)= R’= R∪IA
等价关系。
等价关系举例
例： 设A={1,2,…,8}，如下定义A上的关系R： R={<x，y>|x，y∈A∧x≡y(mod 3)}
t(Ｒ)= R R2 R3 ... Rk
例：P123例题2
求R+的算法——Warshall算法
A←M i=1
对i列中出现1的各行，分别被‘或’上i行
i=i+1 Y
i≤n 结束
例：P124例题3
P125例题4
设有一字母表V={A,B,C,D,e,d,f}并给定下面 六条规则：
A->Af, B->Dde, C->e, A->B, B->De, D->Bf R为定义在V上的二元关系且xiRxj，即是从xi出
定义3-9.1 设A为非空集，S={S1…Sm},SiA，Si (i=1…m)且S1∪S2∪...∪Sm=A，称S是A的覆盖. 若再加Si∩Sj= (i,j=1…m,i<>j)则称S是A的划 分,m称为划分的秩。
集合的划分和覆盖举例
例1 设A={1,2,3,4,5}，下面哪些是覆盖，哪些是 划分：
定理
定理3-7.2 设R、S分别是A到B、B到C的关系， 则(R◦S)c=Sc ◦ Rc
证：设 <c,a>是(R◦S)c 的任一元素， 则 <c,a>(R◦S)c <a,c> R◦S b(<a,b>RΛ<b,c>S) b(c,b>ScΛ<b,a>Rc) <c,a> Sc ◦ Rc
定理
定理3-7.3 R是A上的二元关系 (a) R是对称的 R=Rc (b) R是反对称的 R∩RcIA
∵由归纳假设和基础步骤知
<a,c>∈t(R) ，<c,b>∈t(R）
∵ t(R)是传递的，
∴<a,b>∈t(R) 即 Rn+1 t(R) ∴对一切n， Rn t(R)
② 根据①的结论，证 R i t(R)：
i1
任取 <a,b>∈ R i
∴存在一个n，i 使 1 <a,b>∈Rn t(R)
= {<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>,<c,a>,<a,c>} t(R)=R∪R2∪R3 ∪…
= R∪R2∪R3 （因为R4=R,R5=R2,R6=R3,…) = { <a,a>,<b,b>,<c,c>,<a,b>,<b,c>,<c,a>,
<a,c>,<b,a>,<c,b> }
定理3-8.5 设R为X上二元关系，X=n，那么，存 在一个正整数k≤n，使得
证明 rs(R)=sr(R)
证：
rs(R)= r(s(R))
= r(R∪Rc)
= Ix∪R∪Rc = Ix∪R∪Rc∪Ix = (Ix∪R)∪(Rc∪Ixc) = (Ix∪R)∪(R∪Ix)c = s(Ix∪R) = sr(R)
证明 rt(R)=tr(R)
证：rt(R) = r(R∪R2∪…) = IX∪R∪R2∪…
加细
定义3-9.3 设S,S’是集合A的二个划分，若S的每 一块均是S’中某块的子集，S是S’的加细。
例:A=正整数集 S={{1,3,5,7…},{2,4,6…}} S’={{1,5,9…},{3,7，11…},{2,4,6…}} 则 S’是S的细分
定理3-9.2 任何两种划分的交叉划分，都是原来各 划分的一种加细。
证：(a)‘’：任取<a,b>R，因为R是对称的， 所以<a,b>R<b,a>R<a,b>R c
‘’：任取<a,b>R ， 则<b,a>Rc ∵R=Rc ∴<b,a>R ∴ R是对称的
(b)略
3-8 关系的闭包运算
设R是A上的关系，我们希望R具有某些有用的 性质，比如说自反性。如果R不具有自反性，我们 通过在R中添加一部分有序对来改造R，得到新的关 系R’，使得R’具有自反性。但又不希望R’与R相 差太多，换句话说，添加的有序对要尽可能的少。 满足这些要求的R’就称为R的自反闭包。通过添加 有序对来构造的闭包除自反闭包外还有对称闭包和 传递闭包。
发用一条规则推出一串字符，使其第一个字符恰为 xj 。说明每个字母连续应用上述规则可能推出的 头字符。
闭包运算的性质
设R为集合X上的任一二元关系，那么 a)rs(R)=sr(R) 自反对称闭包等于对称自反闭包 b)tr(R)=rt(R) 传递自反闭包等于自反传递闭包 c)ts(R)st(R) 传递对称闭包包含对称传递闭包
tr(R) = t( R∪IX) = IX∪R∪(IX∪R)2∪…∪(IX∪R)n∪… = IX∪R∪R2∪…∪Rn∪…
∴ rt(R)=tr(R)
注：以上证明引用了公式：（证明略） ( R∪IX)n = IX∪R∪R2∪…∪Rn∪…
证明 st(R) ts(R)
证：① 先证 R对称t( R )对称 t( R )-1 = (RR2R3…)-1 = R-1(R2)-1(R3)-1… = R-1(R-1)2(R-1)3… ((F◦G)-1=G-1◦F-1，定理3-7.2 ) = R R2 R3 … = t( R ) t( R )对称.
注 ：（1）xRyyRcx （阵。 即 MRc＝MRT
（3）颠倒R的关系图中每条弧线的箭头方向， 即得Rc的关系图。
逆关系举例
例1 整数集上的 ‘<’ 关系的逆是 ‘>’ 关系 集合族上的 ‘’ 关系的逆是 ‘’ 空关系的逆是空关系 AB的全域关系的逆是BA的全域关系
<a,a>,<a,c>,<b,b>,<c,a>,<c,c>…} s(t(R))= s{ <a,b>,<c,b> }
= { <a,b>,<b,a>,<c,b>,<b,c> } t(s(R))
注意：先做传递，再做对称，有可能破坏传递性。
3-9 集合的划分和覆盖
除了把两个集合相互比较外，还常把一个集合 分成若干子集讨论。
∴<a,b>∈t(R)
∴ R i t(R) i1
(2) 证 t(R) R i
i1
① 设<a,b>,<b,c>是 R i 的任意元素
i1
必s,t,使得<a,b>∈Rs,<b,c>∈Rt
∴<a,c>∈ Rt◦Rs = Rt+s R i
∴<a,c>∈ R i
∴
i1
R i 是传递的
i1
i1
证明 s(R)=R∪Rc
证明：设 R’= R∪Rc ① R’c=(R∪Rc)c=Rc∪(Rc)c= Rc∪R=R’ ， 所以R’是对称的 ② R’=R∪RcR ③ 设R”是对称的，且RR” ，要证 R’R” 任取<a,b>∈R∪Rc<a,b>∈R∨<a,b>∈Rc <a,b>∈R”∨<b,a>∈R <a,b>∈R”∨<b,a>∈R” <a,b>∈R”∨<a,b>∈R” <a,b>∈R” ∴R’=R∪RcR”
综上所述，由定义知道，R’即R∪Rc为R的对称闭包。
证 t(R)= R i = R∪R2∪R3∪…(R为A上的二元关系） i1
证：(1)证 R i t(R)：
① 先用i 1 归纳法证，对n>0, Rn t(R) a)由定义 R t(R) b)设Rn t(R)成立，要证Rn+1 t(R) 任取<a,b>∈Rn+1=Rn◦R， ∴存在c∈A,使<a,c>∈Rn,<c,b>∈R
注： ➢ R的自反闭包记为r(R),若R是自反的，则R=r(R), 反之也成立。 ➢ R的对称闭包记为s(R),若R是对称的，则R=s(R), 反之也成立。 ➢ R的传递闭包记为t(R),若R是传递的，则R=t(R), 反之也成立。
构造闭包的方法
下面的定理给出了构造闭包的方法：
① 自反闭包 r(R)=R∪IA <用关系图解释> ② 对称闭包 s(R)=R∪Rc
各种闭包的定义
定义3-8.1 设R是非空集合A上的关系，R的自反 （对称或传递）闭包是A上的关系R’，使得R’满 足以下条件：
（1）R’是自反的（对称的或传递的） （2）R R’ （3）对A上任何包含R的自反（对称或传递） 关系R”，有 R’ R”。
一般将R的自反闭包记作r(R)，对称闭包记作 s(R)，传递闭包记作t(R)。
(1) X = {{1,2},{3},{4,5}} (2) Y = {{1,2},{2,3},{4,5}} (3) Z = {{1,2,3},{4}} (4) U = {{1,2,3,4,5}} (5) V = {{1},{2},{3},{4},{5}} U称为A的最小划分，V称为A的最大划分。
交叉划分
3-10 等价关系与等价类
等价关系是一类重要的二元关系。 定义3-10.1 若集合A上的二元关系R是自反的，对 称的和传递的，称R是等价关系。若R是等价关系， aRb，可读为“a等价于b”。
例如， 数中的相等关系，是等价关系 集合中的相等关系，是等价关系 命题演算中‘’关系，是等价关系 全域关系是等价关系，空集上任何关系是