高中数学 第二章 平面向量 232、3平面向量的正交分解

(2)联系： ①向量 a 的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的 具体位置没有关系，只与其相对位置有关系． ②把坐标原点作为表示向量 a 的有向线段的始点，这时向 量 a 的坐标就由表示向量 a 的有向线段的终点唯一确定，即终 点的坐标就是向量 a 的坐标．
2．相等向量坐标之间的关系 由向量的坐标定义知，两向量相等等价于它们的坐标相等， 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＝b⇔x1＝x2 且 y1＝y2. 3．平面向量坐标的线性运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量 数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐 标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
第二章 平面向量
§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2．3.3 平面向量的坐标运算
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示． 2．掌握两个向量的和、差及向量数乘的坐标运 把一个向量分解为两个________的向量，叫做把向量正交 分解．
解 ∵O→A＝(－1，－1)，∴A(－1，－1)． 由正方形的对称性得B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)， ∴O→B＝(1，－1)，O→C＝(1,1)，O→D＝(－1,1).
二 平面向量的坐标运算
【例2】 已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求 A→B，A→C，A→B＋A→C，A→B－A→C，2A→B＋12A→C.
【分析】 本题涉及向量的坐标表示，向量的加法、减 法、实数与向量的积的坐标运算，关键是正确使用运算法则．
【解】 ∵A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)， ∴A→B＝(7－4,5－6)＝(3，－1)， A→C＝(1－4,8－6)＝(－3,2)， A→B＋A→C＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)， A→B－A→C＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)， 2A→B＋12A→C＝2(3，－1)＋12(－3,2) ＝(6，－2)＋－32，1＝92，－1.
解 ∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)， ∴A→B＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)， A→C＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)． 又D是B→C的中点， ∴A→D＝12(A→B＋A→C)＝(－3.5，－4)． ∵M，N分别为AB，AC的中点， ∴F为AD的中点． ∴D→F＝－12A→D＝(1.75,2)．
名师点拨 1.点的坐标与向量的坐标的区别和联系 (1)区别： ①意义： 点的坐标反映点的位置，它由点的位置决定；向量的坐标 反映的是向量的大小和方向，与位置无关．
②表示形式． 如点 A(x，y)，向量 a＝O→A＝(x，y)．当平面向量O→A平行移 动到O→1A1时，向量不变，即O→1A1＝O→A＝(x，y)，但O→1A1的起点 O1 和终点 A1 的坐标都发生了变化．
(3)若 A 点坐标为(x1，y1)，B 点坐标为(x2，y2)，O 为坐标原 点，则O→A＝________，O→B＝________，A→B＝O→B－O→A＝(x2，y2) －(x1，y1)＝________.
即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐 标减去始点的坐标.
1.互相垂直 自 2.(x，y) (x，y) x y (1,0) 我 (0,1) (0,0) 校 3.(1)(x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) 对 (2)(λx1，λy1)
3．平面向量的坐标运算 已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a＋b＝________，a－b＝________，即两个向量和(差) 的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)． (2)λa＝________(λ∈R)，即实数与向量的积的坐标等于用 这个实数乘原来向量的相应坐标．
(3)(x1，y1) (x2，y2) (x2－x1，y2－y1)
思考探究 1 i，j，0 的坐标分别是什么？ 提示 i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． 思考探究 2 一个向量平移后，始点坐标和终点坐标发生 了变化，该向量的坐标变化吗？ 提示 一个向量平移后，该向量的坐标不变，因为向量坐 标是终点坐标与始点坐标的差.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析 一 向量的坐标表示
【例1】 在直角坐标系xOy中，向量a，b如图所示，分别 求它们的坐标．
【解】 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，由图知|a|＝4，|b|＝ 3.
则a1＝|a|cos45°＝4× 22＝2 2， a2＝|a|sin45°＝4× 22＝2 2. 向量b相对于x轴正方向的夹角为120°，
2．平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个 单位向量 i，j 作为基底，对于平面内的一个向量 a，由平面向 量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y 使 a＝xi＋yj，我们把 有序数对________叫做向量 a 的坐标，记作 a＝________，其 中________叫做 a 在 x 轴上的坐标，________叫做 a 在 y 轴上 的坐标．显然，i＝________，j＝________，0＝________.
误区警示 在书写向量的坐标时，注意与点的坐标的区别 与联系，向量a＝(x，y)中间用等号连接，而一个点的坐标 A(x，y)，中间没有等号；相等的向量的坐标是相同的，而它 们的起点，终点的坐标可以不同．
变式训练2 如图所示，在△ABC中，A(7,8)，B(3,5)， C(4,3)．M，N是AB，AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交 于点F，求D→F.
∴b1＝|b|cos120°＝3×－12＝－32，
b2＝|b|sin120°＝3× 23＝32 3.
∴a＝(2
2，2
2)，b＝－32，32

3.

误区警示 公式a1＝|a|cosθ，a2＝|a|sinθ中的θ是指a的方向 相对于x轴正方向的夹角，此点不容忽视.
变式训练1 如图所示，在正方形ABCD中，O为中心，且 O→A＝(－1，－1)，试求O→B，O→C，O→D的坐标．