21-22版：3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(创新设计)

3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
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∵M 为 BC 中点，∴M(41， 43，0). ∴M→N＝(－14， 43，14)，A→B1＝(1,0,1)， ∴M→N·A→B1＝－14＋0＋14＝0. ∴M→N⊥A→B1，∴AB1⊥MN.
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规律方法 将线线垂直问题转化为向量垂直问题后，注意 选择基向量法还是坐标法，熟练掌握证明线线垂直的向量 方法是关键.
(1－t)O→A＋tO→B(A→B＝a) ，
上面三个向量等式都叫做空间直线的 向量参. 数方程
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(3)线段 AB 的中点 M 的向量表达式O→M＝ 12(O→A＋O→B) .
2.用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平 面与平面平行 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的 条件得l1∥l2或l1与l2重合⇔ v1∥v2 .
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(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值. 解 由(1)得，P→A＝(2,0，－2 3)，B→C＝(－2，－3,0)，
∴co〈s P→A，B→C〉＝2×－2＋0×4×－313＋－2
3×0 ＝－
1133，
即
PA
与
BC
所成角的余弦值为
13 13 .
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B∈l)，此方程称为直线的向量参数方程.
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(3)平面：① 空间中平面α的位置可以由α内两个不共线向量 确定.对于平面α上的任一点P，a，b是平面α内两个不共线 向量，则存在有序实数对(x，y)，使得O→P＝x a＋y b. ②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向 量表示空间中平面的位置.
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方法二 (坐标法) 设AB中点为O，作OO1∥AA1. 以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得 A(－12，0,0)，B(12，0,0)，C(0， 23，0)，N(0， 23，41)，
B1(21，0,1)，
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则 a＋c＝x(b＋c)＋yc＋12a＋b＝2ya＋x＋2yb＋(x＋y)c. ∵a，b，c不共线，
2y＝1， ∴x＋2y＝0，
x＋y＝1，
x＝－1， 解得
y＝2，
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∴C→B1＝－D→C1＋2D→O， 即向量C→B1，D→C1，D→O共面. ∵向量C→B1不在D→C1，D→O所确定的平面 OC1D 内， ∴B1C∥面OC1D.
则E→G＝E→D1＋D→1G＝12A→1D1＋21D→1C1＝12b＋21a， 而A→C＝A→B＋A→D＝a＋b，
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∴A→C＝2E→G，故A→C∥E→G，即 EG∥AC.
又E→F＝E→D1＋D→1F＝12A→1D1＋12D→1D＝12b－21c， 而B→1C＝B→1C1＋C→1C＝b－c＝2E→F， ∴E→F∥B→1C，即 EF∥B1C.
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4.向量a＝(－1,2，－4)，b＝(2，－2,3)是平面α内的两个不 共线的向量，直线l的一个方向向量m＝(2,3,1)，则l与α是否 垂直？___否___(填“是”或“否”). 解析 m·a＝(2,3,1)·(－1,2，－4)＝－2＋6－4＝0， m·b＝(2,3,1)·(2，－2,3)＝4－6＋3＝1≠0. ∴l与α不垂直.
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规律方法 证明线面平行问题，可以利用三种方法证明， 一是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，二是在平 面内找一向量与直线的方向向量共线，三是证明直线的方 向向量可以利用平面中的两不共线向量线性表示.
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跟踪演练3 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中，E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点. 求证：平面EFG∥平面AB1C. 证明 设A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，
知识探究 题型剖析 检测成效
课前预习
[知识链接]
知识探究
怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？
答案 (1)点：在空间中，我们取一定点 O 作为基点，那么
空间中任意一点 P 的位置就可以用向量O→P来表示，我们把
向量O→P称为点 P 的位置向量.
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(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非 零向量. ②对于直线 l 上的任一点 P，存在实数 t，使得A→P＝tA→B(A，
又∵EG∩EF＝E，AC∩B1C＝C， ∴平面EFG∥平面AB1C.
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29课堂反馈检测成效来自课堂达标1234
1.已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量.
若l1∥l2，则( D ) A.x＝6，y＝15
B.x＝3，y＝125
C.x＝3，y＝15
PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD
中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，
AD＝2.
(1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；
解 如图，建立空间直角坐标系.
∵∠ADC＝∠DAB＝90°，
AB＝4，CD＝1，AD＝2.
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∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0). 由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角， ∴∠PAD＝60°. 在 Rt△PAD 中，由 AD＝2，得 PD＝2 3. ∴P(0,0,2 3).
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3.用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 (1)设两条直线所成的角为θ(锐角)，则两条直线的方向向量 的夹角与θ 相等或互补 . (2)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，l1与l2的夹角为θ， 则l1⊥l2⇔ v1⊥v2 ，cos θ＝ |cos〈v1，v2〉| .
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跟踪演练1 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，若 侧棱C1C的中点为D，求证：AB1⊥A1D. 证明 设AB中点为O，作OO1∥AA1， 以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分 别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则 A1(－12，0,1)，C1(0， 23，1)，A(－12，0,0)，
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(2)已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的 一个方向向量为v，则由共面向量定理得l∥α或l⊂α⇔ 存在两个实数x，y，使v＝xv.1＋yv2
(3)已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，则由两平面平 行的判定与性质，得 α∥β或α与β重合⇔ v1∥β且v2∥β .
(2)在证明直线l∥平面α时，可转化成在平面内找一向量与直线
的方向向量共线，或找与平面α共面的两个不共线向量v1，v2证 明存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.
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线 l 的方向向量.
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3.若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b
＝(2,0,4)，则异面直线l1与l2的所成角的余弦值等于( B )
A.－52
2 B.5
C.－2 5 5
25 D. 5
解析 设l1与l2的所成角为θ， 则 cos θ＝|cos〈a，b〉|＝||aa|··|bb||＝ |5－·42| 0＝25.
∴所求值为
30 10 .
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规律方法 在解决立体几何中两异面直线所成角问题时， 若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利 用向量法求解.但应用向量法时一定要注意向量所成的角 与异面直线所成角的区别.
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跟踪演练2 在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，
D.x＝6，y＝125
解析 由 l1∥l2 得，32＝4x＝5y，解得 x＝6，y＝125.
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2.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向 量为( A ) A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) 解析 ∵A→B＝(2,4,6)，而与A→B共线的非零向量都可以作为直
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课堂互动
题型剖析
题型一 线线垂直的证明
例1 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，
M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且 CN＝14 CC1.求证：AB1⊥MN.
证明 方法一 (基向量法) 设A→B＝a，A→C＝b，A→A1＝c，
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
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[预习导引] 1.用向量表示直线或点在直线上的位置 (1)直线l的方向向量是指与直线l平行或共线 的 非零 向量.
(2)在直线 l 上给定一个定点 A 和它的一个方向向量 a，对于
直线 l 上的任意一点 P，则有A→P＝ ta 或O→P＝ O→A＋ta 或O→P＝
第三章——
3.2 空间向量在立体几何中的应用
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
学习目标 1.理解直线的方向向量，了解直线的向量方 程.2.会用向量方法证明线线、线面、面面的平行.3.会 用向量运算证线线垂直，会求两直线所成的角.
栏目索引
CONTENTS PAGE
1 课前预习 2 课堂互动 3 课堂反馈
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
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课堂小结
1.向量法证明平行关系
(1)向量法证明线线平行时，要强调基线无公共点，直线l1与l2的
方 向 向 量 为 v1 与 v2 ， 则 l1⊥l2⇔v1⊥v2. 两 直 线 所 成 的 角 θ ， θ∈[0，π2 ]，而两向量所成的角为[0，π]，一定要注意其关系为相 等还是互补.
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B1(21，0,1)，D(0， 23，12)，
∴A→1D＝(12， 23，－21)，A→B1＝(1,0,1)， ∴A→1D·A→B1＝12＋0－12＝0， ∴A→1D⊥A→B1，即 AB1⊥A1D.
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题型二 求异面直线的夹角 例2 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的 中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值. 解 不妨设正方体棱长为2，分别取DA、DC、 DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示 空间直角坐标系， 则A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(1,0,2)、F(1,1,2)，
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则A→E＝(－1,0,2)，C→F＝(1，－1,2) ∴|A→E|＝ 5，|C→F|＝ 6.A→E·C→F＝－1＋0＋4＝3.
又A→E·C→F＝|A→E||C→F|cos〈A→E，C→F〉＝ 30cos〈A→E，C→F〉
∴cos〈A→E，C→F〉＝ 1300，
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则由已知条件和正三棱柱的性质，
得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0，
A→B1＝a＋c，A→M＝12(a＋b)，
A→N＝b＋14c，M→N＝A→N－A→M＝－12a＋21b＋14c，
∴A→B1·M→N＝(a＋c)·(－21a＋12b＋14c)＝－12＋12cos 60°＋41＝0. ∴A→B1⊥M→N，∴AB1⊥MN.
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题型三 利用空间向量证明平行问题
例3 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中， O是B1D1的中点，求证：B1C∥面OC1D. 证明 设D→A＝a，D→C＝b，D→D1＝c，
则C→B1＝a＋c，D→C1＝b＋c，D→O＝D→D1＋D→1O＝c＋12(a＋b). 设存在实数 x，y，使得C→B1＝xD→C1＋yD→O成立，