【优选】小升初数学专项训练+典型例题分析-工程篇(教师版) 12页

小升初专项训练 工程篇
一、小升初考试热点及命题方向
罗巴切夫斯基是俄国数学家。

曾经有一位承包商向他请教过一个工程问题：
某项工程，若甲、乙单独去做，甲比乙多用4天完成；若甲先做2天后，再和乙一起做，则共用7天可完成，问甲、乙两人单独做此工程各需多少天完成？ 答案：
设甲、乙两人每人完成该项工程的一半，以题意，甲、乙两人单独完成，甲比乙多用4天，所以每人单独完成一半时，甲比乙多用2天。

另外，已知甲先做2天，然后与乙合作，7天完成，这就是说，甲、乙共同完成全部工作时（每人做一半），相差刚好2天，那么很明显，甲在7天中正好完成了工程的一半，而乙在5天中也完成了工程的一半。

这样，甲单独完成要14天，乙单独完成要10天。

工程问题在历届考试中之所以难，是因为工程问题中比例和单位“1” 综合。

还有就是学生欠缺一些固定的条件的理解和转化能力。

二、2013年考点预测
13年的这一题型必然将继续出现，题型的出题热点在利用通项表达式（即字母表示）总结出已知条件中等式的内在规律和联系，这一类题型主要考察学生根据已有条件进行归纳与猜想的能力，希望同学们多加练习。

三、知识要点
在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）。

【基本公式】：这三个量之间有下述一些关系式：
工作效率×工作时间＝工作总量； 工作总量÷工作时间＝工作效率； 工作总量÷工作效率＝工作时间。

为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工效。

【规律总结】：不要求记忆，但要求能够理解和运用。

（1）工效提高了a%,工作总量不变的前提下，工时则变为原的100/(100+a)。

时间缩短了a/(100+a)。

（2）工效降低了a%,工作总量不变的前提下，工时则变为原的100/(100-a)。

时间延长了a/(100-a)。

(3)工效提高了a/b, 工作总量不变的前提下，工时则变为原的a/(a+b)。

时间缩短了b/(a+b)。

(4)工效降低了a/b,工作总量不变的前提下，工时则变为原的b /（b-a ）。

时间延长了a/(b-a)。

(5)当出现甲工作了一段时间a ，乙工作了一段时间b ，则通常是把条件处理为甲乙和干了a （或b 时
间）后甲单干（a-b ）（或乙单干（b-a ）段时间）
1 涉及二者的工程问题
【例1】（★★）一项工程，甲单独做6天完成，乙单独做12天完成。

现两人合作，途中乙因病休息了几天，这样用了4.5天才完成任务。

乙因病休息了几天？
【解】：方法一：4.5天甲完成了4.5÷6=3/4，乙完成了1/4，需要（1/4）÷（1/12）=3天，所以乙
休息了4.5-3=1.5天。

方法二：假设乙没休息，这样两人4.5天总共完成4.5×（12161+）=8
9
，而总工作量只有1，所以多出的
81就是乙休息时间里做的，所以乙休息了81÷12
1
=1.5天。

【答】：乙休息了1.5天。

【例2】（★★）有240个零件，平均分给甲、乙两个车间加工。

乙车间有紧急任务，因此在甲车间开始加工了4小时之后才开始加工这批零件，而且比甲车间晚40分钟才完成任务。

已知乙车间的效率是甲车间的3倍，那么甲车间每小时能加工多少个零件？
【解】：40分钟＝
32小时，乙车间一共比甲车间少用了31
3小时，乙车间的效率是甲车间的3倍，乙比甲少工作4－32＝33
1
小时，但都完成了120个零件。

如果乙和甲的时间是一样的话，那么乙就会
多完成240个零件，也就是说乙在33
1
小时内可做240个零件，所以乙每小时完成的零件个数为240
÷33
1
＝72个，甲每小时完成72÷3＝24个零件。

【答】：甲每小时能加工24个零件。

2 涉及三者的工程问题
【例3】（★★★）一项工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成。

现在甲、乙两队先合做8天，剩下的由丙队单独做了6天完成了此项工程。

如果从开始就由丙队单独做，需要几天？
【解】：方法一：设工作总量为[24，30]＝120单位，则甲队每天完成240÷24=5单位，乙队每天完成240÷30=4单位。

前8天，甲、乙两队共完成（5＋4）×8＝72单位，则丙6天完成120－72＝48单位，丙每天完成48÷6＝8单位。

那么，如果从开始就让丙队单独做，需要120÷8＝15天。

方法二：甲工作效率为1/24，乙的工作效率为1/30，这样甲乙合作8天完成的工作量为（1/24+1/30）×8=9/15，所以剩下的1-9/15=6/15由丙做6天，所以丙的工作效率为6/15÷6=1/15，所以丙要做15天。

【答】：如果从开始让丙队独做，需要15天。

【例4】（★★★）某工程由甲、乙两个工程队合作需要12天完成。

甲工程队工作3天后离开，同时乙、丙两个工程队加入，又工作了3天后，乙工程队离开，此时刚好完成工程的一半，那么剩下的工程如果由丙工程队单独完成，还需要几天？
【解】：可以看作是甲、乙、丙三个工程队合作了3天，干完了工程的一半。

因为甲乙合作需要12天完成，所以甲乙两队合作3天共完成了全部工程的4
112
3＝。

可以算出丙队3天完成的工作量是4
14121＝-。

则剩下的一半工程，丙队需要独做6天才能完成。

【答】：还需要6天。

【例5】（★★★）马师傅和张师傅合伙加工一批零件，原计划马师傅每天比张师傅多加工8个零件，共用了15天完成。

张师傅为了赶上马师傅的效率，叫了一个徒弟从一开始就帮忙，结果师徒俩每天反比马师傅还多加工4个零件，这样用了12天就完成了，那么马师傅每天加工多少个零件？
【解】：由题意知徒弟每天加工零件8＋4＝12个。

设工作总量为[12，15]＝60份，这样原张、马二人的工效之和为60÷15=4份，现在加上张师傅的徒弟后三人的工效之和为60÷12=5份，相差1份，表明1份为12个零件。

原两位师傅每天一共加工零件12×4＝48个，马师傅又比张师傅每天多8个，则他每天加工（48＋8）÷2＝28个。

【答】：马师傅每天加工28个零件。

【例6】（★★★）有甲、乙、丙三组工人，甲组4人的工作，乙组需要5人完成；乙组的3人工作，丙组需要8人完成。

一项工作，需要甲组13人完成，乙组15人3天完成。

如果让丙组10人去做，需要多少天完成？ 【解】：设甲组每人每天的工作量为1，则乙组每人每天的工作量为4/5，丙组每人每天的工作量为：4/5×3/8=3/10。

这项工作的总工作量为：（1×13+4/5×15）×3=75 丙组10人需要干：75÷3/10÷10=25（天）。

3 涉及多者的工程问题
【例7】（★★）一项工程，45人可以若干天完成。

现在45人工作6天后，调走9人干其他工作。

这样，完成这项工程就比原计划多用了4天。

原计划完成这项工程用多少天？
【解】：前6天的工作可看作是按原计划进行，设原计划还需要a 天完成。

剩余的工作按照45人进行和实际的36945=-人进行相差4天，表明36人最后4天的量相当于调走的那9个人a 天的工作量。

则a 为36×4÷9＝16天。

原计划用16＋4＝20天。

【答】：原计划用20天完成。

【例8】（★★★）A 、B 、C 、D 、E 五个人干一项工作，若A 、B 、C 、D 四人一起干需要6天完成；若四人干，需要8天完工；若A 、E 两人一起干，需要12天完 工。

那么，若E 一人单独干需要几天完工？
【解】：可设工作总量为[6，8，12]＝24单位，则A 、B 、C 、D 四人每天完成4单位，B 、C 、D 、E 四人完成3单位，表明A 每天比E 多做1单位；由题意又可知A 、E 两人一天完成2单位，则A 每天完成（2＋1）÷2＝1.5单位，E 每天完成（2－1）÷2＝0.5单位。

那么，如果由E 一人单独做需要24÷0.5＝48天。

【答】：如果由E 一人单独做需要48天。

【例9】（★★★★）某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天都能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天都能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天都能完成。

那么这五个小队一起合作需要多少天才能完成这项工程？
【思路】：我们注意到，在题目中二、四、五每支队都恰出现两次，一、三两支小队恰出现三次，因此题目中四种方式的效率总和为5个小队效率和的2倍再加上一、三两支小队的效率和．因此，再加上一个二、四、五3支小队效率和，得到的结果就应该是5个小队效率的3倍． 【解】：通过条件，我们有以下公式：
（一＋二＋三＋四＋五）×3=(一＋二＋三)+(一＋三＋五)+(二＋四＋五)×2+(一＋三＋四)．
所以，5支小队效率和为： 6
13)42128171121(
=÷+⨯++
4 水箱注水的工程问题
【例10】（★★★）水池安装A 、B 、C 、D 、E 五根水管，有的专门放水，有的专门进水。

如果每次用
答：D 。

提示：由题中的表可以看出注水的速度的大小。

比较第一列与第三列得B ＞E ，比较第一列与第五列得A ＞C ，比较第二列与第五列得D ＞B ，比较第二列与第四列得E ＞C ，比较第三列与第四列得D ＞A 。

【例11】（★★★）有甲、乙两根水管，分别同时给两个大小相同的水池A 和B 注水，在相同时间内甲、乙两管注水量之比7：5。

经过3
1
2时，A 、B 两池中已注入水之和恰好是一池水。

此后，甲管的注水速度提高25％，乙管的注水速度降低 30％。

当甲管注满A 池时，乙管还需多长时间注满B 池？ 【解】：因为相同时间内甲、乙两管注水量之比7：5不变，所以经过3
12恰好是一池水时，甲乙水管分别注入一池水的
127、12
5。

如果注水速度不变，那么注满一池水甲、乙管分别还需
注水速度变化后，注满一池水甲、乙水管分别还需
所以，当甲水管注满A 池时，乙水管注满B 池还需
5 较复杂的工程问题
【例12】（★★★★）一项工程，乙单独做需要17天完成；如果第一天由甲作，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，这校交替轮流做，那么比上次轮流的做法要多半天才能完成。

甲单独做这项工作要多少天完成？ ：人大附测试题
【解】：如果两人轮流做完的天数是偶数，那么不论甲先还是乙先，两种轮流做的方式完成的天数必定相同。

现在乙先比甲先要多用半天，说明甲先时，完成的天数一定是奇数。

于是可表示为：
竖线左边的工作量相同，右边的工作量也相同，说明乙做一天等于甲做半天，乙做17天相当于甲做8.5天。

【例13】（★★★★）有甲乙两个工程，现分别由A 、B 两个施工队完成。

在晴天A 队完成工程需要8天，B 队完成工程需要12天，在雨天，A 施工队的工作效率下降60﹪，B 施工队的工作效率下降20﹪。

最后两个施工队同时完成这两项工程，问施工的日子里雨天有多少天？
【解】：10天。

晴天时，A施工队比B的工作效率高：1/8－1/12=1/24
雨天时，B施工队比A的工作效率高：
1/12（1－20﹪）－1/8（1－60﹪）=1/60
要想两队同时完成，则由1/24：1/60=5/2可知，必须是每2个晴天有5个雨天，而此时完成工程的：1/8×2+1/8×0.4×5=1/2，故整个工程共有4个晴天，10个雨天。

【教师选讲】：
有一个蓄水池装有9根水管，其中一根为进水管，其余8根为相同的出水管。

进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池注水。

后有人打开出水管，使池内的水全部排光（这时池内已经注入了一些水）。

如果把8根进水管全部打开，需要3小时把池内的水全部排出；如果仅打开5根出水管，需要6小时把池内的水全部排光。

问要想在4.5小时内把池内的水全部排出，需要同时打开几根出水管？【解】：这道题是“牛吃草”问题与工程问题的综合。

设每根出水管1小时的排水量为单位“1”。

8根出水管3小时共排水24单位，5根出水管6小时共排除水30小时，表明进水管6－3＝3小时进水30－24＝6单位，则进水速度为每小时2单位，池中原有水24－2×3＝18或30－2×6＝18单位。

如果要在4.5小时内将水全部排出，池中原有的水加上这段时间内进水管注入的水一共为18＋2×4.5＝27单位，每小时排水27÷4.5＝6单位，则需要同时打开6根出水管。

【拓展】“牛吃草”问题
例题选讲：有一片牧场，草每天匀速生长，如果牧民在此放24只羊，则6天吃完草；如果放牧21只羊，则8天吃完，每天吃草的量都是相等的．问：
1、如果放牧16只羊，则几天可以吃完牧草？
2、要是牧草永远吃不完，最多放几只羊？
【解】：1、设草每天吃1份。

24只羊，则6天吃完草,说明6天长的草+原的草共24×6=144; 21只羊，8天吃完,说明8天长的草+原的草共21×8=168份; 所以两天长的草168-144=24份，即每天长12份,
这样原草为144-6×12=72份，那么草地每天长的草够12头羊吃一天.如果放16头羊，那么12头够吃长出的草，还剩下4头吃原的72份，这样可以吃18天。

2、若要牧草永远吃不完,羊只能吃新长的草,所以最多只能放12头羊.
[补充试题]：一块1500平方米的牧场上长满牧草，每天都匀速生长。

可供18头牛吃16天，或是供27头牛吃8天。

如果这片牧场有6000平方米，6天中最多可供几头牛吃？
【解】：设每天吃1份，这样18头牛吃16天共18×16=288份，供27头牛吃8天共216份，多出288-216=72份就是8天多长出的，所以每天草长9份，这样原草总共是288-9×16=144份，现在牧场有6000平方米，所以是原的4倍，所以现在草有144×4=576，每天长36份，这样每天新长的草要36头牛吃，而原的草要吃6天，要576÷6=96头牛，所以总共要132头牛。

【课外知识】
牛吃草问题
由于打字员的辞职，一个公司积压下一批需要打印的材料，而且每天还要新增加固定数量需要打印的材料。

假设材料以页计数，每个打字员的打字速度是相同的、固定的（单位是负／天）。

如果公司聘任5名打字员，24天就恰好打完所有材料；如果公司聘任9名打字员，12天就恰好打完所有材料。

公司聘任了苦干名打字员，工作8天之后，由于业务减少，每大新增的需要打印的材料少了一半，结果这些打字员共用40天才恰好完成打字工作。

问：公司聘任了多少名打字员？
【分析】
解这类型题的关键需要了解打印材料的有关情况：积压下的材料数量和每天增加的材料数量。

其解法和解决牛吃草问题类似。

【解】设每个打字员1天打字为1，则5名打字员24天打了5×24＝120，
9名打字员12天打了9×12＝108。

材料每天增加（120－108）÷（24－12）＝l。

原有材料120－24×1＝96。

40天实际材料总量96＋1×8＋（40－8）×1÷2＝120。

打字员人数120÷40＝3（人）。

答：公司聘任了3名打字员。

【评注】
本例把聘任制问题迁移到牛吃草问题中，这种简便新颖的解法令人拍案叫绝！
小结
本讲主要接触到以下几种典型题型：
1）涉及二者的工程问题 参见例1，2
2）涉及三者的工程问题 参见例3，4，5，6 3）涉及多者的工程问题 参见例7，8，9 4）水箱注水的工程问题 参见例10，11 5）较为复杂的工程问题 参见例12，13，
作业题
（注：作业题--例题类型对照表，供参考）
题1，4，6，7—类型1；题2—类型4；题3，5—类型5，题8—类型2 1、（★★）某工程限期完成，甲队单独做正好按期完成，乙队单独做误期3天才能完成，现在两队合作2天后，余下的工程再由乙队独做，也正好按期完成。

那么该工程限期是多少天？ 【解】：6天。

由题可知，甲2天的工作量相当于乙3天的 工作量，所以工程期限为：2×（3÷（3－2））=2×3=6天。

2．（★★）某水池有甲、乙、丙3个放水管，每小时甲能放水100升，乙能放水125升。

现在先使用甲放水，2小时后，又开始使用乙管，一段时间后再开丙管，让甲、乙、丙3管同时放水，直到把水放完。

计算甲、乙、丙管的放水量，发现它们恰好相等。

那么水池中原有多少水？
【解】：甲开始2小时放水200升，最后3管放的水相同，而乙管每小时比甲管多放25升水，所以乙管放水的时间为200÷25＝8小时，放水量为125×8＝1000升。

因此池中原有水3000升。

3．（★★★）张师傅加工540个零件。

他前一半时间每分生产8个，后一半时间每分生产12个，正好完成任务。

当他完成任务的45％时，恰好是上午9点。

张师傅开始工作的时间是几点几分几秒？ 【解】：平均每分加工（8＋12）÷2＝10（件），加工540件共需54分。

由题意知，前27分加工了8×27＝216（件），540件的45％是243件，243－216＝27（件），这27件是以每分12件的速度加工的，所用时间为27÷12=412
（分）。

到9点时加工所用的时间为27+412=4
1
29（分）=29分15秒。

所以开始时是8时30分45秒。

4. （★★★） 甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半，甲完成任务的1/3时乙加工了50个零件，甲完成3/5时乙完成了一半。

问：这批零件共多少个？
【解】：360个。

提示：甲完成3/5时乙完成了一半，效率比为6：5。

所以乙加工50个零件的时候甲应该加工了60个。

占1/3。

所以甲的总任务180个。

这批零件为360个。

5. （★★★）李师傅加工一批零件，第一天加工了48个，第二天比第一天多加工25％，第三天比第二天多加工5％，三天共完成这批零件的95％。

这批零件共有多少个？ 解：48×[1＋125％×（1＋105％）]÷95％＝180（个）。

6. （★★★） 单独完成一件工程，甲需要24天，乙需要32天。

若甲先做若干天以后乙接着做，则共用26天时间，问：甲独做了几天？
【解】：如果26天都由乙做，他能完成的工作量为
16
133********==⨯ 可是由于有甲参与其中，所以实际上26天完成了整个工作
甲做一天比乙做一天多做96
1
321241=-
所以甲做的天数为1896
1)16131(=÷-天。

7. （★★） 修一段公路，甲队独做要用40天，乙队独做要用24天。

现在两队同时从两端开工，结果在距中点750米处相遇。

这段公路长多少米？
8. （★★★）有A ，B 两堆同样多的煤，如果只装运一堆煤，那么甲车需要20时，乙车需要24时，丙车需要30时。

现在甲车装运A 堆煤，乙车装运B 堆煤，丙车开始先装运A 堆煤，中途转向装运B 堆煤，三车同时开始，同时结束装完这两堆煤。

丙车装运A 堆煤用了多少时间？ 【解】：以装运一堆煤的工作量为1，则三车共同完成的工作量
9、（★★★）某筑路队按照旧施工方法制定了施工计划，干了4天后改用新施工方法，由于新施工方法比旧施工方法效率高50％，因此比计划提前1天完工。

如果用旧施工方法干了200米后就改用新施工方法，那么可以比计划提前2天完工。

问：原计划每天筑路多少米？几天完工？ 【解】：新、旧施工方法的效率之比为150∶100，用旧施工方法干3天等于用新施工方法干2天。

又由于用旧施工方法干4天后改用新施工方法可提前1天，所以用旧施工方法干1天后改用新施工方法可提前2天。

再由题设条件知，用旧施工方法1天筑路200米，需7天完成。

名校真题 测试卷7 （工程篇）
时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________
1 （06年三帆中学考题）
原计划18个人植树，按计划工作了2小时后，有3个人被抽走了，于是剩下的人每小时比原计划多种1棵树，还是按期完成了任务.原计划每人每小时植______棵树.
2 （05年首师附中考题）
一项工程，甲做10天乙20天完成，甲15天乙12也能完成。

现乙先做4天，问甲还要多少天完成？
3 （05年人大附中考题）
一部书稿，甲单独打字要14小时完成，乙单独打字要20小时完成。

如果先由甲打1小时，然后由乙接替甲打1小时，再由甲接替乙打1小时，……两人如此交替工作。

那么，打完这部书稿时，甲、乙二人共用了多少小时？
4 （06年西城四中考题）
如果用甲、乙、丙三那根水管同时在一个空水池里灌水，1小时可以灌满；如果用甲、乙两管，1小时20分钟可以灌满；如果用乙、丙两根水管，1小时15分钟可以灌满，那么，用乙管单独灌水的话，灌满这一池的水需要 ______小时。

5 (01年北大附中考题)
一项工程，预计15个工人每天做4个小时，18天可以完成。

为了赶工期，增加3人并且每天工作时间增加1小时，可以提前_______天完工。

【附答案】
1 【解】： 3人被抽走后，剩下15人都多植树1棵，这样每小时都总共多植树15棵树，因为还是按期完成任务，所以这15棵树肯定是3人原要种的，所以原每人要植树15÷3=5棵。

2 【解】：甲10天+乙20天=1；甲15天+乙12天=1，所以工作量：甲10天+乙20天=甲15天+乙12天，等式两端消去相等的工作量得：乙8天=甲5天，即乙工作8天的工作量让甲去做只要5天就能完成，那么整个工程全让甲做要15+12×85=22.5天。

现在乙了4天就相当于甲做了4×8
5
=2.5天，所以甲还要做20天。

3 【解】：甲的工作效率=
141，乙的工作效率= 201，合作工效=140
17
，甲乙交替工作相当于甲乙
一起合作1小时，这样1÷
14017=17140=8…174，所以合作了8小时，这样还剩下17
4就是甲做的，所以甲还要做174÷141=3175，所以两人总共作了8+8+17
5
小时。

4 【解】：方法一：（编者推荐用法）甲、乙、丙60分钟可以灌满，甲、乙两管80分钟可以灌满，乙、丙两根水管75分钟可以灌满；这样我们先找出60、80、75的最小公倍数，即1200，所以我们假设水池总共有1200份，这样甲、乙、丙每分钟灌1200÷60=20份，甲、乙每分钟灌1200÷80=15份，乙、丙每分钟灌1200÷75=16份，所以乙每分钟灌15+16-20=11份，这样乙单独灌水要1200÷11=
11
1200
分钟。

方法二：设工作效率求解，省略。

5 【解】：假设每个工人每小时做一份，这样总工程量=15×4×18=1080份，增加3人每天增加1小时，那么需要的时间=1080÷（15+3）÷(4+1)=12天，所以提前6天完成。