广东省广州市增城区官湖学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷(含解析)

2022-2023学年增城区官湖学校八年级（下）期中数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各式是最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
2．（3分）下列图形中的曲线不能表示y是x的函数的是（）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长．其中能构成直角三角形的是（）
A．，2，B．2，3，4C．6，7，8D．1，，4．（3分）下列各式计算正确的是（）
A．+＝B．4﹣3＝1C．2×2＝4D．÷＝3 5．（3分）如图，▱ABCD的顶点A（1，4），B（1，1），C（5，2），则点D为（）
A．（4，2）B．（5，6）C．（5，5）D．（5，4）6．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（）
A．B．C．1D．1﹣
7．（3分）十一假期，小明去万州桐花湾美人谷景区游玩，坐上了他向往己久的摩天轮，摩天轮上，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的部分函数关系如图所示，则下列说法错误的是（）
A．摩天轮旋转一周需要6分钟
B．小明出发后经过6分钟，离地面的高度为3米
C．小明离地面的最大高度为42米
D．小明出发后的第3和第9分钟，离地面的高度相同
8．（3分）如图，用直尺和圆规作菱形ABCD，作图过程如下：①作锐角∠A；②以点A 为圆心，以任意长度为半径作弧，与∠A的两边分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，以AD的长度为半径作弧，两弧相交于点C，分别连接DC，BC，则四边形ABCD 即为菱形，其依据是（）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
9．（3分）如图，在矩形ABCD中BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（）
A．3B．C．5D．
10．（3分）在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝（）
A．4B．5C．6D．7
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．（3分）已知直角三角形斜边上的中线长为6，斜边上的高线长为4，则该三角形的面积为．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC角平分线，DE⊥AB于点E，AC ＝6，BC＝8，则DB的值为．
14．（3分）若|a﹣2|+＝0，则ab＝．
15．（3分）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是寸．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB 于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）计算下列各式．
（1）（2）×；
（2）（）（）﹣（）2．
18．（8分）已知y+1与x﹣2成正比例，且当x＝1时，y＝﹣3．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）判断点（﹣1，﹣5）是否在该函数的图象上．
19．（8分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形．
20．（8分）已知m＞0＞n，．
（1）化简P；
（2）若点（m，n）在一次函数的图象上，求P的值．
21．（8分）城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑梯的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑梯的高AC长为2米，点D，B，C在同一水平地面上．求：
（1）改善后滑滑梯加长多少米？
（2）若滑滑梯的正前方有3米长的空地就能保证安全，原滑滑梯前有4.5米的空地，像这样的改造是否行？请说明理由．
22．（10分）如图1，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为4cm，CA与MN在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让△ABC向右移动，最后点A与点N重合．
（1）试写出两图形重叠部分的面积y（cm2）与线段MA的长度x（cm）之间的函数关系式；
（2）写出自变量x的取值范围；
（3）当点A向右移动2cm时，重叠部分的面积是多少？
（4）请在如图所示的坐标系中画出此函数的图象，并结合图象指出重叠部分面积的最大值．
23．（12分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，，点D从A出发沿AB 以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，同时，点E从B出发沿BC以每秒1个单位的速度向终点C匀速运动．设点D、E运动的时间为t，作DF⊥AC于F，连DE、EF．（1）求证：BE＝DF；
（2）当t为多少时，四边形BEFD为菱形？说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？说明理由．
24．（12分）已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE＝PF．
（1）如图，若∠EPF＝60°，EO＝1，求PF的长；
（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF＝BC+3﹣4，求BC的长．
2022-2023学年增城区官湖学校八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、＝＝2，不是最简二次根式；
B、是最简二次根式；
C、＝|a|，不是最简二次根式；
D、，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式；
故选：B．
2．解：由函数的定义，可知B选项中，存在某一些x的值，有两个y值与之对应，不符合函数定义，因此B选项中的曲线不能表示y是x的函数，故B符合题意．
而选项A，C，D中的曲线都符合函数的定义，故不符合题意；
故选：B．
3．解：A、（）2+（2）2≠（）2，故不是直角三角形，不合题意；
B、∵22+32≠42，故不是直角三角形，不合题意；
C、62+72≠82，故不是直角三角形，不合题意；
D、12+（）2＝（）2，故是直角三角形，符合题意；
故选：D．
4．解：A、+，无法合并，故此选项错误；
B、4﹣3＝，故此选项错误；
C、2×2＝12，故此选项错误；
D、÷＝3，正确．
故选：D．
5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵A（1，4）、B（1，1）、C（5，2），
∴AB＝3，
∴点D的坐标为（5，5）．
故选：C．
6．解：过E作EF⊥DC于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵CE平分∠ACD交BD于点E，
∴EO＝EF，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC＝，
∴CO＝AC＝，
∴CF＝CO＝，
∴EF＝DF＝DC﹣CF＝1﹣，
∴DE＝＝﹣1，
故选：A．
7．解：由图可知小明第一次到达最高点时间节点为3分钟，第二次到达最高点时间节点为9分钟．9﹣3＝6．
∴A选项正确．
由图可知，摩天轮旋转一周需要6分钟，摩天轮的最低点为3米，旋转一圈回到最低点．∴B选项正确．
图象的顶点对应的高度为45米．
∴C选项错误，符合题意．
第3分钟与第9分钟小明离地面的高度均为45米，高度相同．
∴D选项正确．
故选：C．
8．解：由作图过程可知，AD＝AB＝DC＝BC，
所以依据是“四条边相等的四边形是菱形”．
故选：B．
9．解：∵矩形ABCD，
∴∠BAD＝90°，
由折叠可得△BEF≌△BEA，
∴EF⊥BD，AE＝EF，AB＝BF，
在Rt△ABD中，AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，
根据勾股定理得：BD＝10，即FD＝10﹣6＝4，
设EF＝AE＝x，则有ED＝8﹣x，
根据勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
则DE＝8﹣3＝5，
故选：C．
10．解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2＝1，S2+S3＝2，S3+S4＝3，S1+S2+S3+S4＝4，故选A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．解：由题意得：6﹣3x≥0，
解得：x≤2，
故答案为：x≤2．
12．解：∵直角三角形斜边的中线为6，
∵直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，
∴该直角三角形的斜边长为6×2＝12，
∵直角三角形斜边上的高线为4，
∴直角三角形面积为：．
故答案为：24．
13．解：∵AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，
∴，
∵AD是∠CAB的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD，∠AED＝∠C＝90°，
在Rt△AED和Rt△ACD中
，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴AE＝AC＝6，
∴BE＝4，
∴设BD＝x，则CD＝DE＝8﹣x，
∴（8﹣x）2+42＝x2，
∴x＝5，即BD＝5．
故答案为：5．
14．解：∵|a﹣2|+＝0，
∴a﹣2＝0，a+b＝0，
解得：a＝2，b＝﹣2，
故ab＝2×（﹣2）＝﹣4．
故答案为：﹣4．
15．解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，
∴AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故答案为：101．
16．解：如图，连接AP，
∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴∠EAF＝90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，
∴EF，AP的交点就是M点．
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．
∵AP•BC＝AB•AC，
∴AP•BC＝AB•AC，
∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴5AP＝3×4，
∴AP＝，
∴AM＝；
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．解：（1）原式＝2+﹣6
＝6+6﹣6
＝6；
（2）原式＝5﹣2﹣（3+2+2）
＝3﹣5﹣2
＝﹣2﹣2．
18．解：（1）设y+1＝k（x﹣2），
把x＝1，y＝﹣3代入得﹣3+1＝k（1﹣2），
解得k＝2，
∴y＝2（x﹣2）﹣1＝2x﹣5，
即y与x之间的函数关系式为y＝2x﹣5；
（2）当x＝﹣1时，y＝2×（﹣1）﹣5＝﹣7，
∴点（﹣1，﹣5）不在该函数的图象上．
19．证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形．
20．解：（1）∵m＞0＞n，
∴
＝2m+n+m﹣n+n
＝3m+n；
（2）∵点（m，n）在一次函数的图象上，∴n＝﹣m，
∴P＝3m+n＝3m+×（﹣m）＝3m﹣3m＝0．
21．解：（1）∵AC⊥CD，∠D＝30°，AC＝2（米）．
在直角三角形ADC中，AD＝2×AC＝2×2＝4（米）．
在直角三角形ABC中，（米），
∴（米）．
答：改善后滑滑梯加长米．
（2）在直角三角形ADC中，∠D＝30°，AC＝2．AD＝2AC＝4（米）．
在直角三角形ABC中，∠ABC＝45°，AC＝2米，
∴BC＝2（米），
∴（米）．
那么预计滑板改善后前面留的空地的长度应该是
．
因此，此方案是可行的．
22．解：（1）由题意知，△ABC是等腰直角三角形，∠AMQ＝90°，
∴重叠部分是等腰直角三角形，
∵线段MA＝xcm，
∴y＝x2；
（2）∵开始时点A与点M重合，让△ABC向右移动，最后让点A与点N重合，
∴0≤AM≤4，即0≤x≤4，
故自变量x的取值范围是：0≤x≤4；
（3）点A向右移动2cm时，即x＝2，
∴y＝×22＝2，
∴重叠部分的面积是2cm2；
（4）由y＝x2列表得：
x024
y028
如图：
23．（1）证明：由题意得：AD＝2t，BE＝t，
∵∠C＝90°，∠B＝60°，，
∴∠A＝30°，而DF⊥AC，
∴，
∴EB＝DF；
（2）解：如图2，
∵∠C＝90°，DF⊥AC，
∴BC∥DF，
又BE＝DF，
∴四边形BEFD为平行四边形，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，，
∴AB＝2BC，，
∴BC＝5，AB＝10，
∴BD＝10﹣2t，
若使平行四边形BEFD为菱形，则需DF＝BD，即t＝10﹣2t，解得：，
即当时，四边形BEFD为菱形；
（3）△DEF为直角三角形时，要分三种情况：
①如图3，当∠EDF＝90°时，
∴∠EDF＝∠C＝∠DFC＝90°，
∴四边形ECFD为矩形，
∴DF＝CE，即t＝5﹣t，
解得：；
②如图4，∠DEF＝90°时，
由（2）四边形EFDB为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠BDE＝∠DEF＝90°，
∴∠DEB＝90°﹣60°＝30°，
∴BE＝2BD，
即t＝2（10﹣2t），解得：t＝4，
③∠EFD＝90°时，此种情况不存在；
综上所述，当秒或4秒时，△DEF为直角三角形．24．解：（1）如图，连接PO，∵PE⊥AC，∠EPF＝60°，EO＝1，∴∠EOF＝120°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EOP＝∠FOP＝60°，
∴∠EPO＝30°，
∴PF＝PE＝，
（2）如图，∵点P是AD的中点，点F是DO的中点，
∴PF为△AOD中位线，
∴PF∥AO，且PF＝AO，
∵PF⊥BD，
∴∠PFD＝90°，
∴∠AOD＝∠PFD＝90°，
又∵PE⊥AC，
∴∠AEP＝90°，
∴∠AOD＝∠AEP，
∴PE∥OD，
∵点P是AD的中点，
∴PE是△AOD的中位线，
∴PE＝OD，
∵PE＝PF，
∴AO＝OD，且AO⊥OD，
∴平行四边形ABCD是正方形，
设BC＝x，
则BF＝x+×x＝x，∵BF＝BC+3﹣4＝x+3﹣4，
∴x+3﹣4＝x，
解得x＝4，
即BC＝4．。