《2021数学》第二章考研讲义

《2021数学》
第二章 实数、绝对值、比和比例
一、实数
1．实数的分类
⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎭⎪⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩
正整数整数零负整数有理数有限小数或无限循环小数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数
负无理数
2．数的概念与性质 （1）整数与自然数
整数Z ：…，-2，-1，0，1，2，… 自然数N ：0，1，2，… （2）奇数与偶数
奇数：不能被2整除的整数．
偶数：能被2整除的整数，0是属于偶数．
如果n ∈Z （Z 代表整数），那么2n 是偶数，2n -1或2n+1是奇数。

显然有：整数{奇数
偶数
奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±偶数=偶数； 奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数； 奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数. （3）质数与合数
质数：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质
数也称素数）．
合数：如果一个大于1的正整数除了能被1和它本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数．
最小的质数是2，质数中为偶数的数是2，最小的合数是4，1既不是质数也不是合数。

互质数：公约数只有1的两个数称为互质数。

（4）分数与百分数
分数：将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。

百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，通常用百分号“％”来表示。

3．数的整除
数的整除：当整数a除以非零整数b，商正好是整数而无余数时，则称a能被b整除或b能整除a.
倍数，约数：当a能被b整除时，称a是b的倍数，b是a的约数.
4．常见整除的特点
能被2整除的数：个位0，2，4，6，8.
能被3整除的数：各数位数字之和必能被3整除.
能被4整除的数：末两位（个位和十位）数字必能被4整除.
能被5整除的数：个位为0或5.
能被6整除的数：同时满足能被2和3整除的条件；
能被8整除的数：末三位（个位、十位和百位）数字必能被8整除；
能被9整除的数：各数位数字之和必能被9整除.
5．重要结论：连续K个整数的乘积能被K！整除.
【练习】
1.3m+n为奇数，n为奇数，则m是奇数还是偶数？
【答案及解析】偶数奇+偶=奇，n是奇数，所以3m是偶数.
2.若m是一个大于2的正整数，则必有约数（）
A.7
B.6
C.8
D.4
E.5
【答案及解析】B m3-m=(m-1)m(m+1)，m＞2，m是正整数，所以该式是由三个连续的自然数相乘而得来的，故一定可以被3!=6整除.（连续n个自然数相乘，结果一定可以被n!整除.
3.|m−n|=5.
（1）m和n都是正整数，m和n的最大公约数为15，且3m+2n=180.（2）质数m和n满足5m+7n=129.
A.条件(1)充分，但条件(2)不充分
B.条件(2)充分，但条件(1)不充分；
C.条件(1)和(2)单独都不充分，但条件(1)和(2)联合起来充分
D.条件(1)充分，条件(2)也充分
E.条件(1)和(2)单独都不充分，条件(1)和(2)联合起来也不充分
本题选择（）
【答案及解析】E
条件（1），可设m=15k1，n=15k2，其中k1与k2互质.则
3m+2n=45 k1+30k2=180,
两边约分15，得
3k1+2k2=12
所以k1=2，k2=3，则
m=30,n=45,|m−n|=15≠5.
条件（1）不充分；
由条件（2），5m+7n=129,m,n都是质数，则
{m=23
n=2或{m=2
n=17
|m−n|≠5，不充分；
联合条件（1）和条件（2），是空集（满足条件（1），必须m=30，n=45，此时并不满足条件（2），所以也不充分.）
二、绝对值
▲考试要求：理解绝对值定义及其几何意义，掌握其性质及其运算法则，会求解含有绝对值的等式或不等式的计算问题.
1.定义
正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它相反数；零的绝对值还是零.
2.数学描述
实数a 的绝对值定义为：,0,
,0,
a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩其几何意义是一个实数a 在数轴上所对应的
点到原点的距离值.
几何意义：
实数a 的绝对值|a |的几何意义：数轴上a 对应的点A 到原点O 的距离，即|a |=|AO |. 两个实数a,b 差的绝对值|a −b |的几何意义：数轴上a,b 对应的点A 、B 间的距离，即|a −b |=|AB |．如下图所示：
3.绝对值的性质：
(1)非负性：即，任何实数a 的绝对值非负．
(2)对称性：，即互为相反数的两个数的绝对值相等． (3)自比性：，即任一实数都在其绝对值和绝对值的相反数之间.
(4) 平方性：，即实数平方与它绝对值的平方相等(可以利用平方去绝对值)
(5) 等价性：，即实数平方的算术根等于它的绝对值. (6) 运算性质： 4.基本不等式△
适合不等式()0x a a <>的所有实数所对应的就是全部与原点距离小于a 的点，即：
()0x a a x a a <⇔-<<>.同理可得， )
0(>>-<⇔>a a x a x a x 或
【练习】
，求x 的取值范围。

【答案及解析】
0a ≥b a a b -=-a a a -≤≤2
2
a a =a =(),0a
a a
b a b b b b
⋅=⋅=≠⋅2112x x -=-2112210
12
x x x x -=-∴-≤≤
三、比和比例
1、两个数相除，又称为这两个数的比，即:a
a b b
=。

其中a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

相除所得的商叫做比值，记作:a
a b k b
==。

在实际应用中，常将比值表示成百分数，称为百分比。

2、比例：相等的比称为比例，::a c
a b c d b d
==记作或。

其中a 和d 称为比例外项，b 和c 称为比例内项。

当::a b b c =时，称b 为a 和c 的比例中项，显然当a ，b ，c 均为正数时，b 是a 和c 的几何平均值。

3、正比：若y kx =(k 不为零)，则称y 与x 成正比，k 称为比例系数。

4、反比：若k
y x
=
(k 不为零)，则称y 与x 成反比，k 称为比例系数。

5、比例的基本性质：
(1)::a c
a b c d ad bc b d =⇔
=⇔= (2)合比性质：a c a b c d
b d b d
++=⇔=
(3)合比性质推论：a c a b c d
b d b d
--=⇔=
(4)等比性质：a c e a c e
b d f b d f
++===++
【练习】
1.已知 x 3 = y 5,则 x+y
x−y 的值是（ ）
A.5
B.-5
C.4
D.-4
E.1
【答案及解析】D 本题类型为 x a = y b （a 、b 为非零常数），可以设x 3 = y 5 =k,所以 x+y x−y = 8k
−2k =-4. 2.若实数a:b:c =1:2:5，且a+b+c=24，则a 2
+b 2
+c 2
=（ ） A.30 B.90 C.120 D.240 E.270
【答案及解析】E 设a
1 = b
2 = c
3 =k ，则a=k ，b=2k,c=5k ，则a+b+c=8k=24，得k=3，
因此
a 2+
b 2+
c 2=k 2+(2k)2+(5k)2=30k 2
=270.
四、平均值
1.算术平均值 设n 个正数12,,
,n x x x ，称12n
x x x x n
++
+=
为这n 个数的算术平均值，简记为
1
n
i
i x
x n
==
∑.
2.几何平均值 设n 个正数12,,
,
n x x x ，称g x 为这n 个正数的几何平均值，简记为
n
n
i i
g x
x ∏==1
.
3，平均值定理
①当12,,,n x
x x ⋅⋅⋅为n 个正数时，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即：
12n x x x n
++⋅⋅⋅+≥12n x x x ==⋅⋅⋅=时，等号成立。

②当n=2时，
a+b 2
≥√ab ，当且仅当a=b 时，等号成立。

常用a+b ≥2√ab .
【注意】几何平均值是对于正数而言.
【练习】把自然数1，2，3，4，5，…，98，99分成三组，如果每组数的平均数刚好相等，那么此平均数为（ ）
A.55
B.60
C.45
D.50
E.40
【答案及解析】D 设平均分3组，每组都是33个数，平均数相等意味着每组数的总和也相等，都等于99个数之和 1
3
，即每组数的总和为1
3
×
(1+99)×99
2
=50×33，每组数有33个、
则平均数为50×33÷33=50.
练习题
1.若a为整数，则a2+a一定能被( )整除。

A.2
B.3
C.5
D.8
E.7
2.设n为整数，则(2n+1)2-25一定能被( )整除。

A.5
B.6
C.7
D.8
E.9
3.四个各不相等的整数a，b，c，d，它们的积abcd=9，那么a+b+c+d的值是( )
A. -1
B.0
C.1
D.3
E.5
4.已知a与b以及a与c的最大公约数分别是12和15，且a，b，c的最小公倍数是120，则a+ b+c=（）
A.99
B.147
C.99或147
D.109
E.177
5.如果x1，x2，x3三个数的算术平均值为5，则2x1+2，2x2-3，2x3+6与9的算术平均值
是( ).
A.7
B.9
C.11
D.13
E.15
6.一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是( )
A.55
B.65
C.75
D.100
E.70
7.已知关于x的二次三项式ax2+bx+c(a，b，c为整数)，如果当x=0与x=1时，二次三项式的值都是奇数，那么a( )
A.不能确定是奇数还是偶数
B.必然是偶数
C.必然是奇数
C.必然是零 E.必然是非零偶数
8.已知n是偶数，m是奇数，方程组{x−2021y=n
11x+27y=m 的解{x=p
y=q 是整数，那么( )
A.p是奇数，q是偶数
B.p，q都是奇数
C.p是偶数，q是奇数
D.p，q都是偶数
E.p是质数，q是偶数
9.有一个四位数，它被131除余13，被132除余130，则该四位数的各位数字之和为（）
A.23
B.24
C.25
D.26
E.27
10.每一个合数都可以写成k个质数的乘积，在小于100的合数中，k的最大值为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
E.7
11. 11+221
2+331
4
+⋯+771
64
=( )
A.3061
64B.30763
64
C.308
D.308 1
64E.30863
64
12.若
3−√7
的整数部分是a，小数部分是b，则a2+(1+√7)ab的值等于（）A.6 B.7 C.8
D.9
E.10
13.设m=√5+1，则m+1
m
的整数部分为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
E.5
14.已知x1，x2，x3的算术平均值为a；y1，y2，y3的算术平均值为b.则2x1+3y1，2x2+3y2，2x3+3y3的算术平均值为( )
A 2a+3b B. 2
3
a+b C.6a+9b
D.2a+b
E.a+2b
15.已知x>0，函数y=2
x
+3 x2的最小值是( ).
A. 2√6
B.3 √3
3 C.6
D. 4√2
E. 6√2
16.已知a，b，c，d均为正数，且a
b =c
d
,则√a2+b2
√c2+d2
的值为（）
A. a+b
c+d B.c2
d2
C.1
D.b2
d2E.a2
d2
17.已知非零实数a，b满足|2a−4|+|b+2|+√(a−3)b2+4=2a，则a+b等于( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
E.3
18.已知|a−b|=3，|b|=4，b>ab，则|a−1−b|=( ).
A.1
B.7
C.5
D.16
E.9
19.若x
|x|−1=1，则|x|+1
2x
的值为（）
A. 1
B.1
2C.3
2
D.−1
2E.− 3
2
20.已知x
3=y
4
=z
5
，x+y+z=48，那么x的值是（）
A.12
B.16
C.20
D.24
E.28
答案及解析
1.A 连续n个自数的乘积一定可以被n!整除.因为a2+a=a(a+1)，且a为整数，所以a2+a 可以看作a，a+1这两个连续整数的乘积，故一定可以被2整除.
2.D (2n+1)2-25=(2n+1+5)(2n+1-5)= 4(n+3)(n=2),因为n为整数，所以n+3和n-2一定有一个是奇数一个是偶数，故4(n+3)(n-2)一定是8的倍数
3.B 本题主要考查9的约数，确定满足abcd=9的四个互不相等的整数即可.abcd=9=3×(-3) ×1×(=1)，故a+b+c+d=0
4.C ①因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即[12，15]=60的倍数.再由[a，b,c]=120可知，a只能是60或120.(a，c)=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15
②因为a 是c 的倍数，所以求a ，b 的问题可以简化为“a 是60或120，(a ，b)=12，[a ，b]=120，求a,b ”
当a=60时，b=(a ，b)×[a ，b]÷a=12×120÷60=24； 当a=120时，b=(a ，b)×[a ，b]÷a=12×120÷120=12.
所以a ，b ，c 为60，24，15或120，12，15.故a+b+c=99或1475.
5.C x 1，x 2，x 3三个数的算术平均值为5，由此，x 1+x 2+x 3=15，则2x 1+2，2x 2-3，2x 3+6与9的算术平均值是:
2x 1+2+2x 2−3+2x 3+6+9
4
=11
6.C 因为相邻两个奇数相差2，所以150是这个要求的数的2倍.那么这个数就是150÷2=75
7.A 当x=0时，ax 2
+bx+c=c 为奇数，故c 为奇数；
当x=1时，ax 2
+bx+c=a+b+c 为奇数，由于c 为奇数，故a+b 为偶数，则a 的奇偶性无法判断.
8.C 由于2021y 是偶数，由第一个方程知p=x=n+2021y ，所以p 是偶数;
将其代入第二个方程中，于是11x=11p 也为偶数，从而27y=m-11x 为奇数，所以y=q 是奇数.
9.C 设所求四位数为n ，由已知{n =131x +13 n =132y +130,因此0<y<131,且
n=(131+1)y+130=131y+y-1+131=131(y+1)+y-1,由带余除法商和余数的唯一性可得{y −1=13 y +1=x
,因此，所求四位数为n=132×14+130=1978，从而1+9+7+8=25. 10.D 若a 是合数，则a=P 1P 2…P k ,这里P 1，P 2…P k 都是质数，且k ≥2.要使k 最大，只要P 1，P 2…P k 取最小质数P=2即可，故2×2×2×2×2×2=26
=64<100，即k=6为最大值.
11.E 11+221
2
+331
4
+⋯+77
164
=(11+22+⋯+77)+(12
+14
+⋯+
1
64
)
=11×(1+2+3+⋯+7)+12(1−12
6)1−12
=11×
7×(1+7)
2
+1−1
64
=30863
64
12.E 3−√
7
=3+√72
,由于2<√7，所以整数部分为a=2，那么它的小数部分就是b =
3+√72
−
2=
√7−12,代入表达式即可求出答案，a 2+(1+√7)ab=4+(1+√7)×2×√7−12
=4+6=10.
13.C m=√5+1，所以m+1
m =√5+1+√
5+1
=5√5+3
4
，由于√121<5√5=√125<√144,所以11<5√5<12，14
4<
5√5+34
<
15
4
，故m+1
m 的整数部分是3. 14.A 由已知，得{x 1+x 2+x 3
3
=a
y 1+y
2+y 3
3
=b
,即{x 1+x 2+x 3=3a
y 1+y 2+y 3=3b ，
则
2x 1+3y 1+2x 2+3y 2+2x 3+3y 3
3
=
2(x 1+x 2+x 3)+3(y 1+y 2+y 3)
3
=
6a+9b 3
=2a +3b.
15.B 根据平均值定理，有1x +1
x
+3x 23
≥√1x 1
x 3x 23
=√33
，所以y =2
x +3x 2≥3√33
.
16.A 令a
b =
c d
=k (k ≠0),则a=bk,c=dk,代入算式中，得
√a 2+b 2√c 2+d 2
=
√b 2k 2+b 2√d 2k 2+d 2
=
√k 2+1∙b √k 2+1∙d
=
b d =(1+k)b (1+k)d =a +b
c +d
17.C |2a −4|+|b +2|+√(a 2+4=2a ,简化后得|2a −4|+|b +2|+√(a −3)b 2=2a −4，所以2a-4≥0，即|b +2|+√(a −3)b 2=0，故b+2=0且(a-3)b 2
=0，
所以a=3，b=-2，代人a+b=1
18.B b>ab ，则(a-1)b<0，所以161=23故a 7.方法二:直接讨论法.0b=4，则a<1，则a=-2，所以|a −1−b |∙|b |=|(a −1)b −b 2|=|−12−16|=28,故|a −1−b |=28
|b |=7.
19.E 因为x
|
x |−1
=1，所以x =|x |−1,若x ≥0，则x =x −1，出现矛盾，所以x <0.
故x =−x −1，则x =−1
2 ，代入得
|x |+12x
=−3
2
20.A 设x
3=
y 4
=z 5
=a ,可得x =3a,y =4a,z =5a ，则x +y +z =12a =48,a=4，故
x =3a =12.。