人教B版高中数学必修三《第三章 概率 3.2 古典概型 3.2.1 古典概型》_60

1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P 125～P 130，回答下列问题． 教材中的两个试验：(1)掷一枚质地均匀的硬币的试验； (2)掷一枚质地均匀的骰子的试验．
(1)试验(1)中的基本事件是什么？试验(2)中的基本事件又是什么？
提示：试验(1)的基本事件有：“正面朝上”、“反面朝上”；试验(2)的基本事件有：“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”、“6点”．
(2)基本事件有什么特点？
提示：①任何两个基本事件是互斥的；
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． (3)古典概型的概率计算公式是什么？ 提示：P (A )＝A 包含的基本事件的个数
基本事件的总数.
2．归纳总结，核心必记 (1)基本事件
①定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的随机事件称为该次试验的基本事件．
②特点：一是任何两个基本事件是互斥的；二是任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
(2)古典概型
①定义：如果一个概率模型满足：
(ⅰ)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (ⅱ)每个基本事件出现的可能性相等．
那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
②计算公式：对于古典概型，任何事件的概率为P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数
.
掷一枚质地均匀的硬币两次，观察哪一面朝上．
[思考1] 这个试验共有哪几种结果？基本事件总数有多少？ 事件A ＝{恰有一次正面朝上}包含哪些试验结果？
名师指津：共有正正、正反、反正、反反四种结果．基本事件有4个．事件A 包含的
结果有：正反、反正．
[思考2]基本事件有什么特点？
名师指津：基本事件具有以下特点：(1)不可能再分为更小的随机事件；(2)两个基本事件不可能同时发生．
讲一讲
1．先后抛掷3枚均匀的壹分，贰分，伍分硬币．
(1)求试验的基本事件数；
(2)求出现“2枚正面，1枚反面”的基本事件数．
[尝试解答](1)因为抛掷壹分，贰分，伍分硬币时，各自都会出现正面和反面2种情况，所以一共可能出现的结果有8种．可列表为：
(2)从(1)中表格知，出现“2枚正面，1枚反面”的结果有3种，即(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．所以“2枚正面，1枚反面”的基本事件数为3.
基本事件的两个探求方法
(1)列表法：将基本事件用表格的形式表示出来，通过表格可以清楚地弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数，列表法适合于较简单的试验的题目，基本事件较多的试验不适合用列表法．
(2)树状图法：树状图法是用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．树状图法适合于较复杂的试验的题目．
练一练
1．从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？
解：所求的基本事件共有6个：
即A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}，D＝{b，c}，
E＝{b，d}，F＝{c，d}．
观察图形，思考下列问题
[思考1]某射击运动员随机地向一靶心进行射击，试验的结果有：命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环(即不命中)，你认为这是古典概型吗？
名师指津：试验的所有结果只有11个，但是命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环(即不命中)的出现不是等可能的，这个试验不是古典概型．
[思考2]若一个试验是古典概型，它需要具备什么条件？
名师指津：若一个试验是古典概型，需具备以下两点：
(1)有限性：首先判断试验的基本事件是否是有限个，若基本事件无限个，即不可数，则试验不是古典概型．
(2)等可能性：其次考查基本事件的发生是不是等可能的，若基本事件发生的可能性不一样，则试验不是古典概型．
讲一讲
2．某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：
现从这6)．
(1)用表中字母列举出所有可能的结果；
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
[尝试解答](1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．
(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．
因此，事件M发生的概率P(M)＝6
15＝
2
5.
(1)古典概型求法步骤
①确定等可能基本事件总数n；
②确定所求事件包含基本事件数m ； ③P (A )＝m
n
.
(2)使用古典概型概率公式应注意 ①首先确定是否为古典概型；
②所求事件是什么，包含的基本事件有哪些． 练一练
2．一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．求：
(1)基本事件总数；
(2)事件“摸出2个黑球”包含多少个基本事件？ (3)摸出2个黑球的概率是多少？
解：由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型． (1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，所有基本事件构成集合Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中共有6个基本事件．
(2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个基本事件． (3)基本事件总数n ＝6，事件“摸出两个黑球”包含的基本事件数m ＝3，故P ＝12
.
讲一讲
3．袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a ，b 的2个黑球和编号为c ，d ，e 的3个红球，从中任意摸出2个球．
(1)写出所有不同的结果；
(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率； (3)求至少摸出1个黑球的概率．
[思路点拨] (1)可以利用初中学过的树状图写出；(2)找出恰好摸出1个黑球和1个红球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出；(3)找出至少摸出1个黑球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出．
[尝试解答] (1)用树状图表示所有的结果为
所以所有不同的结果是
ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de .
(2)记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A ，
则事件A 包含的基本事件为ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，共6个基本事件， 所以P (A )＝6
10
＝0.6，
即恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6. (3)记“至少摸出1个黑球”为事件B ，
则事件B 包含的基本事件为ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，共7个基本事件， 所以P (B )＝7
10
＝0.7，
即至少摸出1个黑球的概率为0.7.
利用事件间的关系求概率
在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式P (A 1
∪A 2∪A 3∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )求得，或采用正难则反的原则，转化为求其对立事件，再用公式P (A )＝1－P (A )(A 为A 的对立事件)求得．
练一练
3．先后掷两枚大小相同的骰子． (1)求点数之和出现7点的概率； (2)求出现两个4点的概率； (3)求点数之和能被3整除的概率．
解：如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36个．
(1)记“点数之和出现7点”为事件A ，从图中可以看出，事件A 包含的基本事件共6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)．故P (A )＝636＝16
.
(2)记“出现两个4点”为事件B ，从图中可以看出，事件B 包含的基本事件只有1个，即(4,4)．故P (B )＝1
36
.
(3)记“点数之和能被3整除”为事件C ，则事件C 包含的基本事件共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．
故P (C )＝1236＝1
3
.
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1．本节课的重点是了解基本事件的特点，能写出一次试验所出现的基本事件，会用列举法求古典概型的概率．难点是理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型．
2．本节课要掌握以下几类问题： (1)基本事件的两种探求方法，见讲1.
(2)求古典概型的步骤及使用古典概型概率公式的注意点，见讲2. (3)利用事件的关系结合古典概型求概率，见讲3. 3．本节课的易错点有两个：
(1)列举基本事件时易漏掉或重复，如讲1； (2)判断一个事件是否是古典概型易出错．。