C2-8量子力学

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《大学物理CII 》作业 No.08 量子力学基础
班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______
一、选择题
1．以一定频率的单色光照射在某种金属上，测出其光电流曲线在图中用实线表示。

然后保持光的频率不变，增大照射光的强度，测出其光电流曲线在图中用虚线表示，则满足题意的图是[ ]
解：光的强度I=Nhv , 其中N 为单位时间内通过垂直于光线的单位面积的光子数。

保持光的频率v 不变，增大照射光强I ，则光子数N 增加，光电子数也随之增加，电流i 也增加。

给定光材料，截止电压只与频率有关，因此本问截止电压不变。

故选B
2．用频率为ν的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为k E ；若改用频率为2ν的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为[ ]
(A) 2k E
(B) 2h ν－k E
(C) h ν－k E
(D) h ν＋k E
解：由爱因斯坦光电效应方程和题意有
k k k k
k
k E h E h E E E h h E h h +='=-'→⎪⎭
⎪
⎬⎫'+=+=νννννν,20
0 故选D
3．若外来单色光把氢原子激发至第三激发态，则当氢原子跃迁回低能态时，可发出的可见光光谱线的条数是[ ]
(A) 1 (B) 2 (C) 3
(D) 6
解：氢原子激发至第三激发态，则对应量子数为n=4，故原子跃迁可能发出的光谱线如图所示，共6条。

其中从高能级
跃迁到n ＝2能级发出的光为可见光（巴耳末系），由图可见为2条。

故选B
U
(A )
U
(B )
U
(C)
(D)
4 3 2 n
= 1
4．若α粒子（电荷为2e ）在磁感应强度大小为B 的均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是[ ]
(A)
eRB
h 2 (B)
eRB
h (C)
eRB
21 (D)
eRBh
1
解：由B v q F ⨯=和R
v m F n 2
=，有半径eB mv
qB mv R 2==， 所以德布罗意波长eBR
h mv
h 2=
=λ
5. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布概率将[ ] (A) 不变 (B) 增大D 倍 (C) 增大2D 倍 (D) 增大2D 倍 解：根据波函数的统计解释：波函数本身没有什么直观的物理意义，有意义的是波函数的平方，重要的也不是波函数的平方的绝对值大小，而是波函数的平方在空间各的比值，故波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，粒子在空间的分布概率将不变。

故选A
6．有下列四组量子数： (1) n = 3，l = 2，m l = 0，2
1=
s m
(2) n = 3，l = 3，m l = 1，
21=s m
(3) n = 3，l = 1，m l = -1，2
1-
=s m
(4) n = 3，l = 0，m l = 0，
2
1-=s m
其中可以描述原子中电子状态的[ ]
(A) 只有(1)和(3)
(B) 只有(2)和(4)
(C) 只有(1)、(3)和(4) (D) 只有(2)、(3)和(4)
解：根据四个量子数的取值原则知：(1)、(3)和(4)是正确的 故选C
二、填空题
1．以波长为207.0=λμm 的紫外光照射金属钯表面产生光电效应，已知钯的红限频率
15
010
21.1⨯=νHz ，则其a U ＝ V 。

(普朗克常量s J 1063.634⋅⨯=-h ，基本电荷 19
106.1-⨯=e C)
解：由爱因斯坦光电效应方程 a U e h h +=0νν得：
遏止电压 ()V 99.010
6.11021.11020
7.010310
63.619
1568
34
0=⨯⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛⨯-⨯⨯⨯⨯=
-=---e
h c h U a νλ
2．氢原子基态的电离能是 eV 。

电离能为 ＋0.544 eV 的激发态氢原子，其电子处在n ＝ 的轨道上运动。

解：由玻尔理论可得：氢原子基态的电离能
eV 6.13)6.13(01=--=-=∞E E E
故电离能为 ＋0.544 eV 的激发态氢原子满足 )6.13(
0544.02
n
E E n --=-=∞
所以 5544
.06.13==n
3. 德布罗意波的波函数与经典波的波函数的本质区别是 。

解：德布罗意波的波函数与经典波的波函数的本质区别是德布罗意波是概率波，波函数不表示某实在物理量在空间的波动，其振幅无实在的物理
4．静质量为e m 的电子，经电势差为12U 的静电场加速后，若不考虑相对论效应，电子的德布罗意波长λ＝ 。

解：若不考虑相对论效应，电子的动能2
122
1v m eU E e k ==，动量122eU m v m p e e =
=，
其德布罗意波长为
A 25.12212
12
U eU
m h p h e ≈
=
=
λ
5. 不确定关系式 ≥⋅∆∆x p x 表示在x 方向上 。

解：表示在x 方向上微观粒子的位置和动量不能同时准确确定。

6．设描述微观粒子运动的波函数为()t r ,
ψ，则
*
ψψ
表示 ；
()t r ,
ψ须满足的条件是 ； 其归一化条件是 。

解：*ψψ表示 粒子在t 时刻在(x , y, z )处出现的概率密度 ；
()t r ,
ψ须满足的条件是 单值、有限、连续 ；
其归一化条件是1d d d 2
=⋅⎰⎰⎰
∞
z y x ψ。

7．氢原子中处于2p 状态的电子，描述其量子态的四个量子数 (s l m m l n ,,,) 可能取的值为
解：2p 状态的电子：2=n ，1=l ，1,0±=l m ，2/1±=s m ，则可能取值为 。

(2, 1, 0, 2
1)和(2, 1,－1, －
2
1)
三、计算题
1．波长为λ的单色光照射某种金属M 表面发生光电效应，发射的光电子(电量绝对值为e ，质量
为m )经狭缝S 后垂直进入磁感应强度为B
的均匀磁场(如图示)，今已测出电子在该磁场中作圆周运动的最大半径为R 。

求
(1) 金属材料的逸出功； (2) 遏止电势差。

解：(1) 由爱因斯坦光电效应方程 A mv
h +=2
2
1ν，及洛仑兹力提供向心力R
mv evB 2
=
有金属材料的逸出功为
m
B e R hc m RBe m hc
A 221
2
2
2
2
-=
⎪⎭⎫
⎝⎛-=λλ
(2) 由遏止电势差对光电子所作功等于光电子最大初动能2
2
1mv U e a =
， 可得
⨯⨯⨯
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
⨯⨯⨯
B
遏止电势差为 m
eB R e
mv U a 22
1
2
22
=
=
2. 波长 λ = 5000 Å的光沿x 轴正方向传播，若光的波长的不确定量∆λ=103-Å，则利用不确定关系h p x x ≥∆⋅∆可得光子的x 坐标的不确定量至少为多少？ 解：由德布罗意公式p =
λ
h
，可得
沿x 轴正方向传播的光子的动量最小不确定量3
2
2
10
5000
-⨯=∆=
∆h h
p x λλ
利用不确定关系 h p x x ≥∆⋅∆，可得
光子的x 坐标最小不确定量 250cm Å10259
=⨯=∆=
∆x
p h x 故选B
3．粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：()()a x a x n a x n <<⎪⎭⎫ ⎝⎛=0sin 2
πψ
若粒子处于n ＝1的状态，在
a a ~4
3区间发现粒子的概率是多少 ?
[提示：C x x x x +-
=
⎰2sin 4
12
1d sin
2
]
解：任意位置概率密度 ()a
x
a
x πψ2
2
1s i n
2=，
所求区间发现粒子的概率
()⎰
⎰
⎰
⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅
=
=
=
a a
a a
a a
x a x a
a x a
x a
x x P 432
432
432
1a d sin
2
d sin
2d πππ
πψ %1.9091.0432sin 414322sin 41222sin 412124
3=≅⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅-⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⋅=a a a a a a a a a x a x a
a
ππππππππ。