河南卢氏一中2022高考数学二轮专项练习--椭圆、双曲线、抛物线

河南卢氏一中2022高考数学二轮专项练习--椭圆、
双曲线、抛物线
一、选择题
1．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25
D.15
解析：由题意有2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b .又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2
＋2e －3＝0.∴e ＝3
5或e ＝－1(舍去)．
答案：B
2．(2011·新课标全国卷)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )
A. 2
B. 3 C ．2
D ．3
解析：设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1，焦点F (－c,0)，将 x ＝－
c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得y 2＝b 4
a 2， 因此|AB |＝2×
b 2
a ＝
2×2a .∴b 2
＝2a 2
.c 2
＝a 2
＋b 2
＝3a 2
，∴e ＝c
a ＝ 3.
答案：B
3．(2011·陕西高考)设拋物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则拋物线的方程是
( )
A ．y 2＝－8x
B ．y 2＝8x
C ．y 2＝－4x
D ．y 2＝4x
解析：由准线方程x ＝－2，可知拋物线为焦点在x 轴正半轴上的标准方程，同时得p ＝4，因此标准方程为y 2＝2px ＝8x .
答案：B
4．(2011·新课标全国卷)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )
A ．18
B ．24
C ．36
D ．48
解析：设抛物线方程为y 2
＝2px ，则焦点坐标为(p 2，0)，将x ＝p
2代入y 2＝2px 可得y 2＝
p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，因此p ＝6.点P 在准线上，到AB 的距离为p ＝6，因此△P AB 的面积为1
2×6×12＝36.
答案：C
5．(2011·潍坊模拟)抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y 25－x 2
4＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )
A ．x 2＝4y
B ．x 2＝－4y
C ．y 2＝－12x
D ．x 2＝－12y
解析：由题意c ＝5＋4＝3
∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)． ∴抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y . 答案：D
6．(2011·西安模拟)设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F (1,0)，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为( )
A ．(1,0)
B ．(2,2)
C ．(3,2)
D ．(2,4)
解析：依题意得，抛物线C 的方程是y 2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由⎩
⎪⎨⎪⎧
y 2＝4x y ＝x －1消去y 得(x －1)2
＝4x ，即x 2
－6x ＋1＝0，因此线段AB 的中点的横坐标是6
2＝3，纵坐标是y ＝3
－1＝2，因此线段AB 的中点坐标是(3,2)，因此选C.
答案：C
二、填空题
7．(2011·辽宁高考)已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．
解析：依照点(2,3)在双曲线上，能够专门容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a 2－9
b 2＝1，考虑到焦距为4，这也是一个关于
c 的等式，2c ＝4，即c ＝2.再有双曲线自身的一个等式a 2＋b 2＝c 2，如此，三个方程，三个未知量，能够解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，因此，离心率e ＝2.
答案：2
8．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为
2
2.过F 1的直线l 交C 于A ，
B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么
C 的方程为______________． 解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)， 因为AB 过F 1且A 、B 在椭圆上，如图，
则△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，∴a ＝4.
又离心率e ＝c a ＝2
2， ∴c ＝2 2.∴b 2＝a 2－c 2＝8. ∴椭圆C 的方程为x 216＋y 2
8＝1. 答案：x 216＋y 2
8＝1
9．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________．
解析：因为抛物线的焦点坐标为(4,0)，故在双曲线中c ＝4，因为双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x ，因此b
a ＝3，即
b ＝3a ，由a 2＋b 2＝
c 2得a 2＝4，进而求得b 2
＝12，故所求的双曲线方程是x 24－y 2
12＝1.
答案：x 24－y 2
12＝1 三、解答题
10．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.
(1)求椭圆C 的焦距； (2)假如
2
AF ＝2
2F B
，求椭圆C 的方程．
解：(1)设焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2. 因此椭圆C 的焦距为4.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0， 直线l 的方程为y ＝3(x －2)．
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝3(x －2)，
x 2a 2＋y
2
b
2＝1， 得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0.
解得y 1＝－3b 2(2＋2a )
3a 2＋b 2， y 2＝－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2. 因为
2
AF ＝2
2F B
，因此－y 1＝2y 2.
即3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2， 得a ＝3.而a 2－b 2＝4，因此b ＝ 5. 故椭圆C 的方程为x 29＋y 2
5＝1.
11．(2011·江西高考)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M 、N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC ＝λOA ＋OB ，求λ的值．
解：(1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±
a )在双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1上， 有x 2
0a 2－y 20
b 2＝1.
由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝1
5， 可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2， 则e ＝c a ＝305.
(2)联立⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－5y 2＝5b 2，
y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则⎩⎨⎧
x 1＋x 2＝5c
2，
x 1x 2
＝35b 2
4.
①
设OC ＝(x 3，y 3)，OC
＝λOA ＋OB ，即⎩
⎪⎨⎪⎧
x 3＝λx 1＋x 2，
y 3＝λy 1＋y 2. 又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2
，
有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.
化简得：λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2
， 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，因此x 21－5y 21＝5b 2， x 22－5y 22＝5b 2.
由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝ －4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2， 得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4.
12．(2011·潍坊模拟)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1的焦点在x 轴上，左、右顶点分别为A 1、A ，上顶点为B .抛物线C 1、C 2分别以A 、B 为焦点，其顶点均为坐标原点O ，C 1与C 2相交于直线y ＝2x 上一点P .
(1)求椭圆C 及抛物线C 1、C 2的方程；
(2)若动直线l 与直线OP 垂直，且与椭圆C 交于不同两点M 、N ，已知点Q (－2，0)，求
QM ·QN 的最小值．
解：(1)由题意得，A (a,0)，B (0，2)，
故抛物线C 1的方程可设为y 2＝4ax ，抛物线C 2的方程为x 2＝42y .
由⎩⎨⎧
y 2＝4ax ，
x 2
＝42y y ＝2x .
得a ＝4，P (8,82)，
因此椭圆C ：x 216＋y 2
2＝1， 抛物线C 1：y 2＝16x ， 抛物线C 2：x 2＝42y .
(2)由(1)知，直线OP 的斜率为2， 因此直线l 的斜率为－2
2.
可设直线l 的方程为y ＝－2
2x ＋b ，
由⎩⎨⎧
x 216＋y 2
2＝1，
y ＝－2
2x ＋b .
消去y ，整理得5x 2－82bx ＋(8b 2－16)＝0.
因为动直线l 与椭圆C 交于不同两点， 因此Δ＝128b 2－20(8b 2－16)>0. 解得－10<b <10.
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝82b
5，x 1x 2＝8b 2－165，
y 1y 2＝(－22x 1＋b )(－22x 2＋b )＝12x 1x 2－2b
2(x 1＋x 2)＋b 2＝b 2－85. 因为
QM ＝(x 1＋2，y 1)，QN ＝(x 2＋2，y 2)，
因此QM ·QN ＝(x 1＋2，y 1)(x 2＋2，y 2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2＝9b 2＋16b －14
5. 因为－10<b <10，
因此当b ＝－89时，
QM ·QN 取得最小值，其最小值等于95×(－89)2
＋165×(－89)－145＝－38
9.。