2021年全国初中数学竞赛试题

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2021年全国初中数学联合竞赛初二年级试题及参考答案

全国初中数学联合竞赛初二说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．若0x >，0y >=）A. 1B. 2C. 3D. 4【答】 B.已知等式可化为150x y -=，即0=，所以25x y =，于是58229yy===. 2．已知△ABC 中，2AB AC ==，点D 在BC 边的延长线上，4AD =，则BD CD ⋅＝（） A ．16 B ．15 C ．13 D ．12 【答】 D.作AH BC ⊥于点H ，则H 为BC 的中点，所以22()()()()BD CD BH DH DH CH DH CH DH CH DH CH ⋅=+-=+-=-22224212AD AC =-=-=.3．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y++=--，则x y +的可能的值有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答】 C .由已知等式得2244224423x y x y x y xy x y x y++-⋅=⋅，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-. 若32()xy x y =-，则(32)(32)4x y +-=-.又,x y 为整数，可求得12,x y =-⎧⎨=⎩，或21.x y =-⎧⎨=⎩，所以1x y +=或1x y +=-.因此，x y +的可能的值有3个.4．用1g 、3g 、6g 、30g 的砝码各一个，在一架没有刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么，可以称出的不同克数的重物的种数为（）A ．21B ．20C ．31D ．30 【答】 C.可以称出的重物的克数可以为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40，共31种.5．已知实数,,x y z1()2x y z =++，则xyz 的值为（）A ．6B ．4C ．3D ．不确定【答】 A .由1()2x y z =++可得2221)1)1)0++=，所以2,3,1x y z ===，6xyz =.6．已知△ABC 的三边长分别为2，3，4，M 为三角形内一点，过点M 作三边的平行线，交各边于D 、E 、F 、G 、P 、Q （如图），如果DE FG PQ x ===，则x ＝（） A ．1813 B ．2013 C ．2213D ．2413 【答】 D.设,,BC a AC b AB c ===，,,ME m MF n MP k ===. 由平行线的性质可得DE BC AE AC =，PQ CQ AB AC =，即()x b x n a b--=，x b n c b -=，所以11)1n x a b b +=+（，1x nc b=-，两式相加，得111)2x a b c ++=（，所以222411*********x a b c ===++++.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．如果关于x 的方程|3||2||1|x x x a -+---=恰好只有一个解，则实数a ＝．【答】 1-.4,1,63,12,()|3||2||1|2,23,4,3,x x x x f x x x x x x x x -≤⎧⎪-<≤⎪=-+---=⎨-<≤⎪⎪-≥⎩结合函数的图象知：当且仅当1a =-时，关于x 的方程|3||2||1|x x x a -+---=恰好只有一个解. 2．使得不等式981715n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为．【答】144. 由条件得7889k n <<，由k 的唯一性，得178k n -≤且189k n +≥，所以2118719872k k n n n +-=-≥-=，所以144n ≤.当144n =时，由7889k n <<可得126128k <<，k 可取唯一整数值127. 故满足条件的正整数n 的最大值为144.3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心（三角形的三条内角平分线的交点），则PAC ∠= ．GP C B【答】48︒.由题意可得PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠，而180PEA PEB AED ∠+∠+∠=︒，所以60PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠=︒，从而可得30PCA ∠=︒.又108BPC ∠=︒，所以12PBE ∠=︒，从而24ABD ∠=︒. 所以902466BAD ∠=︒-︒=︒， 11()(6630)1822PAE BAD CAE ∠=∠-∠=︒-︒=︒，所以183048PAC PAE CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒.4．已知n 为正整数，且432261225n n n n ++++为完全平方数，则n ＝．【答】8.易知1n =，2n =均不符合题意，所以3n ≥，此时一定有22432432(2)2544261225n n n n n n n n n n ++=++++<++++， 22432432(4)29816261225n n n n n n n n n n ++=++++>++++，而432261225n n n n ++++为完全平方数，所以一定有43222261225(3)n n n n n n ++++=++，整理得26160n n --=，解得8n =（负根2n =-舍去）.第二试一、（本题满分20分）设b 为正整数，a 为实数，记221145224M a ab b a b =-++-+，在,a b 变动的情况下，求M 可能取得的最小整数值，并求出M 取得最小整数值时,a b 的值．解 222233(2)2(2)121(21)(1)44M a b a b b b a b b =-+-+++++=-++++，………………5分注意到b 为正整数，所以2319(11)44M ≥++=，所以M 可能取得的最小整数值为5. ……………………10分当5M =时，223(21)(1)54a b b -++++=，故2217(21)(1)4a b b -+++=.…………………15分因为b 为正整数，所以2(1)b +是整数且不小于4，所以一定有12b +=，且21(21)4a b -+=，所以1b =，12a =或32a =. ……………………20分二．（本题满分25分）在直角△ABC 中，D 为斜边AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，90EDF ∠=︒，已知4CE =，2AE =，32BF CF -=，求AB . 解延长ED 到点M ，使DM ED =，连接MB 、MF .D又因为D 为AB 的中点，所以△BDM ≌△ADE . …………5分所以AE BM =，A ABM ∠=∠，所以AC //BM ，所以18090CBM C ∠=︒-∠=︒，故△BMF 是直角三角形，于是有222BM BF MF +=. ……………………10分又在直角△CEF 中，有222CE CF EF +=.又由90EDF ∠=︒和DM ED =可得EF MF =， ……………………15分于是可得222222CE CF BM BF AE BF +=+=+，所以222212BF CF CE AE -=-=，即()()12BF CF BF CF +-=. ……………………20分又32BF CF -=，所以8BF CF +=，即8BC =. 因此2222268100AB AC BC =+=+=，所以10AB =. ……………………25分三．（本题满分25分）设不全相等的非零实数,,a b c 满足2221222bc ac aba bcb ac c ab++=+++，求a b c ++的值.解由2221222bc ac aba bcb ac c ab++=+++得2221111222111a b c bc ac ab++=+++. 设22a x bc =，22b y ac=，22c z ab =，则8xyz =，且1111111x y z ++=+++，…………………10分通分即得(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)y z x z x y x y z ++++++++=+++，展开后整理得2xyz x y z =+++，所以6x y z ++=. …………………15分即2222226a b c bc ac ab ++=，所以3333a b c abc ++=，分解因式得 222()[()()()]0a b c a b b c c a ++-+-+-=.又,,a b c 不全相等，所以222()()()0a b b c c a -+-+-≠，故0a b c ++=. ………………25分。

【初中数学竞赛】专题02 代数式竞赛综合-50题真题专项训练(全国竞赛专用)解析版

【初中数学竞赛】专题02代数式竞赛综合-50题真题专项训练（全国竞赛专用）一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）已知3a b -=，则339a b ab --的值是（）．A ．3B ．9C ．27D ．81【答案】C 【详解】3322229()()93()9a b ab a b a ab b ab a ab b ab --=-++-=++-22223(2)3()3327a ab b a b =-⨯+=-==．故选C ．2．（2021·全国·九年级竞赛）如果21x x --是31ax bx ++的一个因式，则b 的值是（）．A ．2-B ．1-C ．0D ．23．（2021·全国·九年级竞赛）若223894613M x xy y x y =-+-++（,x y 是实数），则M 的值一定是（）．A ．正数B ．负数C ．零D ．整数【答案】A 【详解】因为22222222(44)(44)(69)2(2)(2)(3)0M x xy y x x y y x y x y =-++-++++=--++≥+，并且2,2,3x y x y --+不能同时等于零，所以0M >．故选A ．4．（2021·全国·）．A ．无理数B ．真分数C ．奇数D ．偶数14=-5．（2021·全国·九年级竞赛）满足等式2003=的正整数对(),x y 的个数是（）．A ．1B ．2C ．3D ．46．（2021·全国·九年级竞赛）已知199919991999200020002000200120012001,,199819981998199919991999200020002000a b c ⨯-⨯-⨯-=-==-⨯+⨯+⨯+，则abc 的值等于（）．A ．1-B ．3C ．3-D ．1故选：D ．二、填空题7．（2021·全国·九年级竞赛）若3233x x x k +-+有一个因式是1x +，则k =_______．【答案】-5【详解】解法一依题意，原多项式当=1x -时，其值等于0，即32(1)3(1)3(1)0k -+---+=，从而5k =-．解法二依题意1x +也是多项式332(1)(33)6(1)x x x x k x k +-+-+=+-的因式，故16k -=，即5k =-．解法三依题意可设()3223233(1)()(1)x x x k x x ax b x a x a b x b+-+=+++=+++++比较同次幂系数得13,2,3,5,, 5.a a a b b k b k +==⎧⎧⎪⎪+=-∴=-⎨⎨⎪⎪==-⎩⎩故5k =-．注：虽然解法三计算量较大，但它的好处是同时求出了原多项式的另一个因式为225x x +-．若题目还要求对原多项式进行因式分解，则解法三是可取的好方法之一．8．（2021·全国·九年级竞赛）设x =，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则333a b ab ++=__________．9．（2021·全国·九年级竞赛）已知x 、y 为正偶数，且2296x y xy +=，则22x y +=__________.【答案】40【分析】根据22x y xy 96+=可知xy(x+y)=96，由x 、y 是正偶数可知xy≥4，x+y≥4，进而可知96可分解成3种乘积的形式，分别计算即可得只有一种情况符合题意，即可求出x 、y 的值，根据x 、y 的值求得答案即可.【详解】∵22x y xy 96+=，∴xy(x+y)=96，∵x 、y 为正偶数，xy≥4，x+y≥4，∴96=2⨯2⨯2⨯2⨯2⨯3=6⨯16=8⨯12=4⨯24当xy(x+y)=4⨯24时，无解，当xy(x+y)=6⨯16时，无解，当xy(x+y)=8⨯12时，x+y=8，xy=12，解得：x=2，y=6，或x=6，y=2，∴x 2+y 2=22+62=40.故答案为40【点睛】本题考查因式分解，把96分解成所有约数的积再分情况求解是解题关键.10．（2021·全国·九年级竞赛）已知对任意正整数n 都有312n a a a n +++= ，则11111111a a a a ++++=---- ___________．三、解答题11．（2021·全国·九年级竞赛）分别在有理数范围内和实数范围内分解因式：4662248365427a a b a b b -+-．12．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：()22223()(2)6()(2)3()2x y a b m n xy a b m n xy a b m n ++-++++⋅+．【答案】()()()32421xy a b m n ax bx my ny +++--+【详解】解原式()()()()32221xy a b m n x a b y m n =+++-++⎡⎤⎣⎦()()()32421xy a b m n ax bx my ny =+++--+．13．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：54323331x x x x x -+---+．【答案】42(31)(1)x x x -+-【详解】解法一原式5432(3)(3)(31)x x x x x =-+---4(31)(31)(31)x x x x x =-+----42(31)(1)x x x =-+-．解法二原式5342(333)(1)x x x x x =+-+--+42423(1)(1)x x x x x =+--+-42(31)(1)x x x =-+-．14．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2222x yz axyz yz xy xz az ++---．【答案】()()xy z ax xz y -+-【详解】解法一原式2222()()()axyz az x yz xz yz xy =-+-+-()()()az xy z xz xy z y xy z =-+---()()xy z ax xz y =-+-．解法二原式2222()()x yz axyz xy yz xz az =+-+--()()xy xz az y z xz az y =+--+-()()xy z xz az y =-+-．15．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：3223x x xy y y ----．【答案】22()(1)x xy y x y ++--【详解】解原式3322()()x y x xy y =--++2222()()()x y x xy y x xy y =-++-++22()(1)x xy y x y =++--．16．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2()4()()c a b c a b ----．【答案】2(2)a c b +-【详解】解法一原式222(2)4()c ca a ab b ac bc =-+---+222(2)(44)4c ca a ab bc b =++-++22()4()(2)a c b a c b =+-++2(2)a c b =+-．解法二原式2[()()]4()()c b a b c b a b =---+--22()2()()()4()()c b c b a b a b c b a b =----+-+--22()2()()()c b c b a b a b =-+--+-2[()()]c b a b =-+-2(2)a c b =+-．17．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：222222()()x x a a x a x a ++++．【答案】222()x ax a ++【详解】解法一原式222222[()()]x x a a x a a x =++++22222()()x a x a a x ++=+222222()(2)x a x ax a a x =++++222222()2()()x a ax x a ax =++++222()x a ax =++222()x ax a =++．解法二原式22222[()]()x x a a a x a =++++22222(22)()x x ax a a x a =++++2222()2()[()]x x a x a a x a =++++⋅22[()]x a x a =++222()x ax a =++．18．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：3333a b c abc ++-．【答案】222()()a b c a b c ab ac bc ++++---【详解】解原式33()3()3a b ab a b c abc=+-++-33()3()a b c ab a b c =++-++3[()]3()()3()a b c a b c a b c ab a b c =++-+++-++2()[()3()3]a b c a b c a b c ab =++++-+-222()(222333)a b c a b c ab ac bc ac bc ab =+++++++---222()()a b c a b c ab ac bc =++++---．19．（2021·全国·九年级竞赛）若238x ax bx +++有两个因式1x +和2x +，求a b +的值．所以21a b +=．20．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式333(2)()()a b c a b b c ++-+-+．【答案】3()()(2)++++a b b c a b c 【详解】设,A a b B b c =+=+，则原式33333()()[()3()]3()3()()(2)A B A B A B A B AB A B AB A B a b b c a b c =+--=+-+-+=+=++++．21．（2021·全国·九年级竞赛）在实数范围内分解因式：423344x x x x +---．22．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2()()()()abc bcd cda dab ab cd bc ad ca bd +++----．【答案】2()+++abcd a b c d 【详解】原式是关于a b c d ,,,的对称多项式．若视a 为主元，并以0a =代入得原式0=，故原式有因式a ，由对称性知原式有因式abcd ．又原式是六次齐次多项式，而abcd 是四次齐次多项式，故还有一个关于a b c d ,,,的二次齐次对称多项式因式，所以可设2()()()()abc bcd cda dab ab cd bc ad ca bd +++----2222[()()]abcd A a b c d B ab bc cd da ac bd =+++++++++．令1,1a b c d ====-，得44A -=-；令1a b c d ====，得4616A B +=．所以1,2A B ==．原式2222[()2()]abcd a b c d ab bc cd da ac bd =+++++++++22[()()2()()]abcd a b c d a b c d =++++++2()abcd a b c d =+++23．（2021·全国·九年级竞赛）若122122(1025)(1025)10n +--=，求n 的值．【答案】14【详解】()()()()()()22121212121212102510251025102510251025⎡⎤⎡⎤+--=++-+--⎣⎦⎣⎦12142105010=⨯⨯=，所以41010n =，故14n =．24．（2021·全国·九年级竞赛）设a b c d ,,,是四个整数，且使得2222221()()4m ab cd a b c d =+-+--是一个非零整数，求证：||m 一定是合数．25．（2021·全国·九年级竞赛）若2221995199519961996a ⨯=++，证明：a 是一个完全平方数（即a 等于另一个整数b 的平方）．【答案】见解析【详解】设1995x =，则222222(1)(1)(1)2(1)2(1)a x x x x x x x x x x ⎡⎤=++++=+-+++++⎣⎦2222222(1)[(1)]2(1)(1)12(1)[(1)][1(1)]x x x x x x x x x x x x x x +=+-++++=++++=++=22(119951996)3982021+⨯=，故a 是一个完全平方数．26．（2021·全国·九年级竞赛）设,a b 是实数且422223a b a b =，求22222010a b a b -的值．27．（2021·全国·九年级竞赛）已知a 是正整数，且3221215a a a +-+表示质数，求这个质数．【答案】7【详解】解3221215a a a +-+3225315315a a a a a =+--++2(5)3(5)3(5)a a a a a =+-+++2(5)(33)a a a =+-+．要使2(5)(33)a a a +-+为质数，必须2331a a -+=，即()()210a a --=，故1a =或2．但1a =时，56a +=是合数．只有2a =时，57a +=才是质数．故所求的质数是7．28．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2(25)(9)(27)91a a a +---．29．（2021·全国·九年级竞赛）证明：对任何整数x 和54322345,3515412y x x y x y x y xy y +--++的值都不等于33．【答案】见解析【详解】解法一原式54322345(3)(515)(412)x x y x y x y xy y =+-+++4224(3)5(3)4(3)x x y x y x y y x y =+-+++4224(3)(54)x y x x y y =+-+2222(3)()(4)x y x y x y =+--()()()()()322x y x y x y x y x y =+-+-+．当0y =时，原式533x =≠；当0y ≠时，3,,,2,2x y x y x y x y x y +-+-+互不相等，而33不可能分解为4个以上不同因数之积，所以0,y x ≠为整数时，原式33≠，所以对,x y 取任何整数值，原式的值都不等于33．解法二将原式看成x 的多项式，y 当成常数，用综合除法有所以，原式()()()()()223x y x y x y x y x y =-+-++．下同解法一．30．（2021·全国·九年级竞赛）设,,a b c 互不相等，且0a b c ++=，化简222222222a b c a bc b ca c ab++．31．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：222222444222a b b c c a a b c ++---．【答案】()()()()a b c b c a c a b a b c+++-+-+-【详解】解法一以a 为主元降幂排列，再配方得：原式422244222()(2)a b c a b c b c -++-+=-4222222222222[2()()]()()a b c a b c b c b c =--+++++--222222222222[()][()()][()()]a b c b c b c b c b c =--++++-+--22222(2)()bc a b c =---222222[2()][2()]bc a b c bc a b c =---+--2222[()][()]b c a a b c =+---()()()()b c a b c a c a b a b c =+++-+-+-．解法二原式42244222(2)2()a a b b c a b c =--+-++222222222222[()2()]2()2()a b a b c c a b c a b c '=--+-++-++222222()4a b c a c =--++222222(2)(2)ac a b c ac a b c =+-+-+-2222[()][()]a cb b ac =+---()()()()a c b a c b b a c b c a =+++-+-+-．解法三注意到下列公式：2222444222222()222a b c a b c a b a c b c +-=+++--，为了完成整个式子的直接配方，应将222a b 拆成222242a b a b -．原式224442222224(222)a b a b c a b a c b c =-+++--22222(2)()ab a b c =-+-22222(2)(2)ab a b c ab a b c =++---+2222[()][()]a b c c a b =+---()()()()a b c a b c c a b c a b =++-+--+＋()()()()a b c b c a c a b a b c =+++-+-+-．32．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：22242(1)2(1)(1)y x y x y +-++-．【答案】()()()()1111x x xy x y xy x y +--++---【详解】解法一添加22(1)(1)y x y +-，再减去同一项得：原式2242222[(1)2(1)(1)(1)]2(1)(1)2(1)y y x y x y y x y x y =+++-+--+--+22222[(1)(1)]2[(1)(1)]y x y x y y =++---++2222(1)(2)x x y y x =-++-2222(12)(12)x x y y x x x y y x =-+++-++-2222[(1)(1)][(1)(1)]x y x x y x =+-----()()()()()111111x x y x x x y x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦=++-----+⎣⎦()()()()1111x x x y xy x y xy =+-++--+--()()()()1111x x x y xy x y xy =+-++--++．解法二以y 为主元降幂排列．原式422442(21)2(1)(21)x x y x y x x =-+--+-+222222(1)2(1)(1)(1)x y x x y x =---++-22222(1)[(1)2(1)1]x x y x y x =---++-222(1)(1)[(21)(21)]x x x y y y y =+--+-++222(1)(1)[(1)(1)]x x x y y =+---+()()()()()111111x x x y y x y y ⎡=+--++--⎤⎦+⎡⎤⎣⎣⎦()()()()1111x x xy x y xy x y =+--++---．33．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：4444444()()()()a b c a b b c c a a b c ++-+-+-++++．【答案】4444444()()()()12()a b c a b b c c a a b c abc a b c ++-+-+-++++=++【详解】解设4444444(,,)()()()()f a b c a b c a b b c c a a b c =++-+-+-++++．因为444444(0,,)0()()0f b c b c b b c c b c =++--+-++=，所以(),,f a b c 有因式a ．由(),,f a b c 是,,a b c 的四次对称多项式知(),,f a b c 有因式abc ，而(),,f a b c 与abc 分别是四次、三次对称多项式，所以(),,f a b c 还含有,,a b c 的一个一次对称多项式()k a b c ++，即4444444(,,)()()()()f a b c a b c a b b c c a a b c =++-+-+-++++()kabc a b c =++．令1a b c ===，得444444*********k ++---+=，所以12k =，故4444444()()()()12()a b c a b b c c a a b c abc a b c ++-+-+-++++=++．34．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：444()()()a b c b c a c a b -+-+-．【答案】444()()()a b c b c a c a b -+-+-222()()()()a b b c c a a b c ab bc ca =----+++++．【详解】解设444(,,)()()()f a b c a b c b c a c a b =-+-+-．因为()(),,,,f a b c f b c a =，所以(),,f a b c 是轮换对称多项式．又a b =时，444(,,)()()()0f b b c b b c b c b c b b =-+-+-=，所以(),,f a b c 有因式a b -．又(),,f a b c 是轮换对称多项式，故(),,f a b c 有因式()()()a b b c c a ---．因(),,f a b c 与()()()a b b c c a ---分别是齐五次与齐三次轮换对称多项式，所以(),,f a b c 的另一个因式应是齐二次轮换对称多项式：222()()A a b c B ab bc ca +++++，即444222()()()()()()[()()]a b c b c a c a b a b b c c a A a b c B ab bc ca -+-+-=---+++++．令2,1,0a b c ===及1,0,1a b c ===-，分别得到16202(52),1012(2),A B A B -+=-+⎧⎨++=--⎩即527,21,A B A B +=-⎧⎨-=-⎩解得1A B ==-，故444()()()a b c b c a c a b -+-+-222()()()()a b b c c a a b c ab bc ca =----+++++．35．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：()()()()23222336x y x y y x y x x y -++---+．【答案】()()3221x y x --【详解】解因为()()22,3632y x x y x y x y -=---+=--，所以原式()()()()()23222332x y x y x y y x x y =-+-----()()()232233x y x y y x =-+---⎡⎤⎣⎦()()263x y x =--()()3221x y x =--．36．（2021·全国·九年级竞赛）已知2410a a ++=，且42321322a ma a ma a-+=，求m 的值．37．（2021·全国·九年级竞赛）已知322210a a a +++=，求200920102011a a a ++的值．【答案】-1【详解】()()()32322222112(1)12(1)(1)(a a a a a a a a a a a a a a +++=+++=+-+++=+-+212)(1)(1)0a a a a +=+++=，38．（2021·全国·九年级竞赛）计算444444444411111135989944444111112469910044444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅++ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅++ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．39．（2021·全国·九年级竞赛）若0a b c abc ++=≠，计算222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)b c c a a b bc ca ab------++的值．40．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：555()()()x y y z z x -+-+-．【答案】2225()()()()x y y z z x x y z xy yz zx ---++---【详解】因x y =时，原式0=，故原式有因式x y -．又原式是关于,,x y z 的五次齐次轮换对称多项式，故原式有因式()()()x y y z z x ---，并可设()555222()()()()()()()x y y z z x x y y z z x A x y z B xy yz zx ⎡⎤-+-+-=---+++++⎣⎦．令0,1,1x y z ===-，得()3022A B =-，即215A B -=，再令0,1,2x y z ===，得()30252A B =+，即5215A B +=，解出5,5A B ==-．所以，原式2225()()()()x y y z z x x y z xy yz zx =---++---．41．（2021·全国·九年级竞赛）计算：()()()()222220012007200220082003200920042010(199920035)(199820045)(200120055)(200020065)----⨯-⨯+⨯-⨯+．42．（2021·全国·九年级竞赛）计算：()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++⨯43．（2021·全国·九年级竞赛）计算+44．（2021·全国·九年级竞赛）计算：()()()()()()()()()()44444444441032422324343244632458324432416324283244032452324++++++++++．45．（2021·全国·九年级竞赛）把()()()()16a b c d b c a d c a b d a b c d abcd ++++--+--+--+分解因式．【答案】()()()()a b c d b c d a c d a b d a b c ------------【详解】解法一原式2222[()()][()()]16b c a d a d b c abcd=++---+-22222222(22)(22)16b c a d bc ad a d b c ad bc abcd=+--+-+---++22222222[2()()][2()()]16bc ad b c a d bc ad b c a d abcd =-++----+--+2222224()()16bc ad b c a d abcd=--+--+2222224()()bc ad b c a d =+-+--2222222[2()()][2()()]z bc ad b c a d bc ad b c a d =+++--+-+--2222[()()][()()]b c a d a d b c =+--+--()()()()b c a d b c a d a d b c a d b c =++-+-+++-+-+．解法二把原式看成a 的多项式，当a b c d =++时，原式()()()()()2222160b c d d c b b c d bcd =++-+++=，所以原式有因式a b c d ---．又原式是a b c d ,,,的对称多项式，由对称性知原式有因式()()()()a b c d b c d a c d a b d a b c ------------．又此式和原式都是四次齐次多项式，故()()()()16a b c d b c a d c a b d a b c d abcd++++--+--+--+()()()()k a b c d b c d a c d b a d a b c =------------，其中k 是常数．上式中令1,0a b c d ====得1k -=-，即1k =，所以原式()()()()a b c d b c d a c d a b d a b c =------------．46．（2021·全国·九年级竞赛）已知,b c 是整数，二次三项式2x bx c ++既是42625x x ++的一个因式，也是4234285x x x +++的一个因式，求1x =时2x bx c ++的值．【答案】4【详解】解依题意，2x bx c ++应是424223(625)(34285)14(25)x x x x x x x ++-+++=-+的一个因式，所以2225x bx c x x ++=-+，故当1x =时，22251254x bx c x x ++=-+=-+=．47．（2021·全国·九年级竞赛）把多项式322222422x x x x y xyz xy y z --++-分解因式．【答案】2(2)()x z x y --【详解】解法一原式32222(2)(42)(2)x x z x y xyz xy y z =---+-22(2)2(2)(2)x x z xy x z y x z =---+-22(2)(2)x z x xy y =--+2(2)()x z x y =--．解法二原式32222(242)(2)x x y xy x z xyz y z =-+--+22222(2)(2)x x xy y z x xy y =-+--+222()()x x y z x y =---2(2)()x z x y =--．48．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2(1)(2)(2)xy x y x y xy -++-+-．【答案】22(1)(1)x y --【详解】解法一原式是关于,x y 的对称多项式．可设,x y u xy v +==，则原式2(1)(2)(2)v u u v =-+--2221242v v u u v uv=-++-+-2222()1u uv v u v =-+--+22()2()1(1)u v u v u v =---+=--222(1)(1)(1)x y xy x y =+--=--．解法二当1x =时，原式2(1)(1)(1)0y y y =-+--=，故原式有因式1x -．又原式是关于,x y 的对称多项式，故原式又有因式1y -，且可设222(1)(2)(2)(1)(1)[()()]xy x y x y xy x y A x y Bxy C x y D -++-+-=--+++++，令0x y ==，得210D +=，得1D =．令0,2x y ==，得210(42)A C D +=-++，即4212A C D +=--=-．令0,3x y ==，得21132(93)A C D +=-++⨯，即9323A C D +=--=-．令2x y ==，得232(4)844A B C D +-=+++⨯，即84410A B C D ++=-=．从上面式子可解出0,1,1,1A B C D ===-=，于是原式()()()111x y xy x y =---++⎡⎤⎣⎦22(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y x y x y =----=--．49．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：3333()x y z x y z ++---．【答案】3()()()x y y z z x +++【详解】解法一由公式333()3()a b a b ab a b ±=±± ，得原式3333[()]()x y z z x y =++--+33()3()()[()3()]x y z z x y z z x y z z x y xy x y =++-+++++--+-+()()()33x y x y z z xy x y =+++++()()3x y x y z z xy =++++⎡⎤⎣⎦23()[()]x y z x y z xy =++++()()()3x y z x z y =+++．解法二设3333(,,)()f x y z x y z x y x =++---．将(),,f x y z 看成x 的多项式，令x y =-得3333(,,)()()0f y y z y y z y y z -=-++----=，所以(),,f x y z 有因式x y +．而(),,f x y z 是关于,,x y z 的三次齐次对称多项式，故(),,f x y z 有因式()()()x y y z z x +++，故可设3333(,,)()()()()f x y z x y z x y z k x y y z z x =++---=+++．令1,0x y z ===，得3338110211k ---=⋅⋅⋅，故3k =，所以3333()3()()()x y z x y z x y y z z x ++---=+++．50．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：()()ab bc ca a b c abc ++++-．【答案】()()()()()ab bc ca a b c abc a bb c c a ++++-=+++【详解】解设()()(),,f a b c ab bc ca a b c abc =++++-，当a b =-时，有22(,,)()()0f b b c b bc bc b b c b c -=-+--+++=，所以(),,f a b c 有因式a b +．又因为(),,f a b c 关于,,a b c 对称，故(),,f a b c 还有因式,b c c a ++，即(),,f a b c 有因式()()()a b b c c a +++，并且(),,f a b c 与()()()a b b c c a +++都是齐三次式（各项都是3次的多项式），所以()()()()()(),,f a b c ab bc ca a b c abc k a b b c c a=++++-=+++，其中k 为常数．上式中令1a b ==得3318k ⨯-=，即1k =，所以()()()()()ab bc ca a b c abc a b b c c a ++++-=+++．。

初中数学竞赛---代数式竞赛50道综合题练习(含答案解析)

16．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式： (c a)2 4(b c)(a b) ．【答案】 (a c 2b)2 【详解】解法一原式 (c2 2ca a2 ) 4(ab b2 ac bc) (c2 2ca a2 ) (4ab 4bc) 4b2 (a c)2 4b(a c) (2b)2 (a c 2b)2 ．解法二原式 [(c b) (a b)]2 4(c b)(a b) (c b)2 2(c b)(a b) (a b)2 4(c b)(a b) (c b)2 2(c b)(a b) (a b)2 [(c b) (a b)]2 (a c 2b)2 ．
17．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式： x2 (x a)2 a2x2 a2 (x a)2 ．【答案】 (x2 ax a2 )2 【详解】解法一原式 [x2 (x a)2 a2 (x a)2 ] a2x2 (x2 a2 )(x a)2 a2 x2 (x2 a2 )(x2 2ax a2 ) a2 x2 (x2 a2 )2 2ax(x2 a2 ) (ax)2 (x2 a2 ax)2 (x2 ax a2 )2 ．解法二原式 x2[(x a)2 a2 ] a2 (x a)2 x2 (x2 2ax 2a2 ) a2 (x a)2 (x2 )2 2x2 a(x a) [a(x a)]2 [x2 a(x a)]2 (x2 ax a2 )2 ．
4．（2021·全国·九年级竞赛）
1
1
的值为（）．
4 59 30 2 3 66 40 2
A．无理数【答案】D
B．真分数
C．奇数
D．偶数
【详解】原式
1
1
4 (5 2)2 25 2 3 32 3 (5 2)2 25 2 4 42

2021年全国中学生能力测评(初赛)九年级组数学真题

2021年全国中学生能力测评(初赛)九年级(初三)组数学试题(试题总分：120分答题时间：120 分钟)★温馨提示：请将答案写在答题纸上一、画龙点睛(本大题共8道小题，每小题3分，总计24分)1．定义：形如a+ bi的数称为复数(其中a和b为实数，i为虚数单位，规定i2＝－1)，a称为复数的实部，b称为复数的虛部复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如(3+4i)2＝32+2×3×4i+(4i)2＝9＋24i+ 16i2＝9+24i－16＝－7 + 24i，因此，(3+4i)2 的实部是－7，虚部是24。

已知复数(2－mi)2的虛部是16，则实部是。

2．将关于x的一元二次方程x2－px+q＝0变形为x＝px－q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x·x2＝x(px－q) ＝……我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式。

根据“降次法”，已知：x2－x－ 1＝0，则x4－ 3x + 2021的值为_ 。

3．某树木种植基地有甲、乙、丙三种景观树苗每株的销售价格分别为3元、2元、1元。

在一次出售树苗时，销售甲、乙两种树苗株数的比为2∶1；销售乙、丙两种树苗株数的比为4∶3，共获销售金额28 000元，那么，此次销售甲、乙、丙三种树苗共 _株。

5．已知x＝2021a+2 020，y＝2 021a+2 021，z＝2021a+2022，则x2+ y2+ z2－xy－yz－xz的值为。

6．如图，平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝2，∠ABC＝60°，要用一块矩形铝板切割出这样的平行四边形并使废料最少，则矩形的面积最小为。

7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(－2，0)，B(1，2)，C(1，－2)，已知N(－1，0)，作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5．．．，依此类推，则点N2021的坐标为。

数学周报杯全国初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会“?数学周报?杯〞2021年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线.3．草稿纸不上交.一、选择题〔共5小题，每题6分，总分值30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分〕1．实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，那么的值为〔〕．〔A 〕7 〔B 〕〔C 〕〔D 〕52．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，假设两个正面朝上的编号分别为m ，n ，那么二次函数2y x mx n =++的图象及x 轴有两个不同交点的概率是〔〕．〔A 〕512 〔B 〕49 〔C 〕1736 〔D 〕123．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，那么这6个点可确定的不同直线最少有( )．〔A 〕6条〔B 〕 8条〔C 〕10条〔D 〕12条4．AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，那么AE 的长为〔〕．〔A 〕2a 〔B 〕1 〔C 〕2〔D 〕a 5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之与都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有〔〕．〔A 〕2种〔B 〕3种〔C 〕4种〔D 〕5种二、填空题〔共5小题，每题6分，总分值30分〕6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*〞为：u v uv v *=+．假设关于x 的方程有两个不同的实数根，那么满足条件的实数a 的取值范围是．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度一样，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．8．如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD 是∠BAC的平分线，MF∥AD，那么FC的长为．9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别及AB，AC相交于点D，E，那么DE的长为．10．关于x，y的方程22208()+=-的所有正整数解x y x y为．三、解答题〔共4题，每题15分，总分值60分〕11.在直角坐标系xOy中，一次函数b=0kxy+（）的图象及xk≠轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于3OA OB++．（1）用b表示k；（2）求△ABC面积的最小值．12.是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程有有理数根？13.如图，△ABC的三边长BC a CA b AB c，，都是整，，，a b c===数，且a b，的最大公约数为2．点G与点I分别为△ABC的重心与内心，且90∠=︒．求△ABC的周长．GIC〔第13题〕14.从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到假设干个数〔至少一个，也可以是全部〕，它们的与能被10整除，求n 的最小值．中国教育学会中学数学教学专业委员会“?数学周报?杯〞2021年全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线.3．草稿纸不上交.一、选择题〔共5小题，每题6分，总分值30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分〕1．实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，那么的值为〔〕．〔A 〕7 〔B 〕〔C 〕〔D 〕5【答】〔A 〕解：因为20x >，2y ≥0，由条件得所以7．2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，假设两个正面朝上的编号分别为m ，n ，那么二次函数2y x mx n =++的图象及x 轴有两个不同交点的概率是〔〕．〔A 〕512 〔B 〕49 〔C 〕1736 〔D 〕12【答】〔C 〕解：根本领件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故.3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，那么这6个点可以确定的不同直线最少有( )．〔A 〕6条〔B 〕 8条〔C 〕10条〔D 〕12条【答】〔B 〕解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 及BD 的交点，那么它及A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如下图放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，那么AE 的长为〔〕．〔A 〕52a 〔B 〕1 〔C 〕32〔D 〕a 【答】〔B 〕解：如图，连接OE ，OA ，OB ．设D α∠=，那么又因为所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==． 5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之与都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有〔〕．〔A 〕2种〔B 〕3种〔C 〕4种〔D 〕5种【答】〔D 〕解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否那么，这两个之后都是偶数，及条件矛盾．又如果i a 〔1≤i ≤3〕是偶数，1i a +是奇数，那么2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数〔第4题〕是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3；4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．二、填空题〔共5小题，每题6分，总分值30分〕6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*〞为：u v uv v *=+．假设关于x 的方程有两个不同的实数根，那么满足条件的实数a 的取值范围是．【答】0a >，或1a <-．解：由，得依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，，解得，0a >，或1a <-．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度一样，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，那么每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，那么由①，②可得 x s 4=，所以．即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，那么FC 的长为．【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，那么MN ∥AB ．又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，所以．因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9． 9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别及AB ，AC 相交于点D ，E ，那么DE 的长为．【答】163．解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ，BC 边上的高为a h ，那么所以．因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此，所以 (1)(1)a a a h r r a DE a a a h h a b c -=⋅=-=-++ 〔第8题〕〔第8题答案〕〔第8题答案图〕〔第9题答案〕故．10．关于x，y的方程22208()+=-的所有正整数解x y x y为．【答】解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数．设2,2==，那么x a y b同上可知，a，b都是偶数．设2,2==，那么a cb d所以，c，d都是偶数．设2,2==，那么c sd t于是22-++＝2s t(13)(13)⨯，213其中s，t都是偶数．所以所以13s-可能为1，3，5，7，9，进而2t+为337，329，(13)313，289，257，故只能是2(13)t+＝289，从而13s-＝7．于是因此三、解答题〔共4题，每题15分，总分值60分〕11．在直角坐标系xOy中，一次函数b=0kxy+（）的图象及xk≠轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于3++．OA OB（3）用b表示k；（4）求△OAB面积的最小值．解：〔1〕令0=x，得0，；令0=y，得．=>y b b所以A，B两点的坐标分别为，于是，△OAB的面积为由题意，有解得，2b >．……………… 5分〔2〕由〔1〕知当且仅当时，有S =102+=b ，1-=k 时，不等式中的等号成立．所以，△OAB 面积的最小值为1027+．……………… 15分12．是否存在质数p ，q ，使得关于x 的一元二次方程有有理数根？解：设方程有有理数根，那么判别式为平方数．令其中n 是一个非负整数．那么……………… 5分由于1≤q n -≤q +n ，且q n -及q n +同奇偶，故同为偶数．因此，有如下几种可能情形：消去n ，解得22251222222p p p q p q q q p q =+=+===+，，，，． ……………… 10分对于第1，3种情形，2p =，从而q ＝5；对于第2，5种情形，2p =，从而q ＝4〔不合题意，舍去〕；对于第4种情形，q 是合数〔不合题意，舍去〕．又当2p =，q ＝5时，方程为22520x x -+=，它的根为，它们都是有理数．综上所述，存在满足题设的质数．……………… 15分13．如图，△ABC 的三边长BC a CA b AB c ===，，，a b c ，，都是整数，且a b ，的最大公约数为2．点G 与点I 分别为△ABC 的重心与内心，且90GIC ∠=︒．求△ABC 的周长．解：如图，延长GI ，及边BC CA ，分别交于点P Q ，．设重心G 在边BC CA ，上的投影分别为E F ，，△ABC 的内切圆的半径为r ，BC CA ，边上的高的长分别为a b h h ，，易知CP ＝CQ ，由可得 ()123a b r GE GF h h =+=+，即 222123ABC ABC ABC S S S a b c a b ⎛⎫⨯=⨯+ ⎪++⎝⎭△△△，从而可得．……………… 10分因为△ABC 的重心G 与内心I 不重合，所以，△ABC 不是正三角形，且b a ≠，否那么，2a b ==，可得2c =，矛盾．不妨假设a b >，由于()2a b =，，设()1111221a a b b a b ===，，，，于是有为整数，所以有11()12a b +，即()24a b +．于是只有1410a b ==，时，可得11c =，满足条件．因此有35a b c ++=．所以，△ABC 的周长为35．……………… 15分〔第13题〕〔第13题答案〕14．从1，2，…，9中任取n 个数，其中一定可以找到假设干个数〔至少一个，也可以是全部〕，它们的与能被10整除，求n 的最小值．解：当n ＝4时，数1，3，5，8中没有假设干个数的与能被10整除．……………… 5分当n ＝5时，设125a a a ，，，是1，2，…，9中的5个不同的数．假设其中任意假设干个数，它们的与都不能被10整除，那么125a a a ，，，中不可能同时出现1与9；2与8；3与7；4与6．于是125a a a ，，，中必定有一个数是5．假设125a a a ，，，中含1，那么不含9．于是不含4〔4＋1＋5＝10〕，故含6；于是不含3〔3＋6＋1＝10〕，故含7；于是不含2〔2＋1＋7＝10〕，故含8．但是5＋7＋8＝20是10的倍数，矛盾．假设125a a a ，，，中含9，那么不含1．于是不含6〔6＋9＋5＝20〕，故含4；于是不含7〔7＋4＋9＝20〕，故含3；于是不含8〔8＋9＋3＝10〕，故含2．但是5＋3＋2＝10是10的倍数，矛盾．综上所述，n 的最小值为5．……………… 15分。

2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛试题及解答（初赛）

2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛试题及解答（初赛）
NATIONAL DAY
共谱盛世华章
如今已然山河锦绣，国泰民安，这浩浩山河长治久安，盛世中华正如故人所想，所有风雨都同舟，所有言茶不言酒，所有故地与漂游，故事里的春与秋，都在脚下这片土地找到了。

最耀眼的星星，是五星红旗的光芒。

受疫情影响，江苏、河南2021数学高联延期到今日举行，12点30分考试结束。

在高联中取得省队的选手可以参加国决，争夺60个保送清北的国集名额，以及强基计划破格入围的资格
来段舞蹈放松一下。

2021年初三数学竞赛选拔试题(含答案)

初三数学竞赛选拔试题一、选择题: (每小题5分；共 35分)1 .2003减去它的21；再减去剩余的,31再减去剩余的,41……依次类推；一直减去剩余的,20031则最后剩下的数是（ B ）（A ）20031 （B ）1 （C ）20021（D ）无法计算2. 若 x 3+ax 2+bx+8有两个因式x+1和x+2；则a+b 的值是 ( D ) （A ） 7 （B ） 8 （C ） 15 （D ）213. ΔABC 的周长是24；M 是AB 的中点；MC=MA=5；则ΔABC 的面积是（ C ）（A ） 12 （B ） 16 （C ） 24 （D ）304. DE 为∆ABC 中平行于AC 的中位线；F 为DE 中点；延长AF 交BC 于G ；则∆ABG 与∆ACG 的面积比为 ( A )（A ）1：2（B ）2：3（C ）3：5（D ）4：75. 三角形三条高线的长为3；4；5；则这三角形是（ C ）（A ）锐角三角形（B ）直角三角形（C ）钝角三角形（D ）形状不能确定6. 已知关于x 的方程022=+++m mx x 有不同的实数根；其中m 为整数；且仅有一个实根的整数部分是2；则m 的值为（ A ）（A ）–2（B ）–3（C ）–2或–3（D ）不存在7. 在凸四边形ABCD 中；DA=DB=DC=BC ；则这个四边形中最大角的度数是（ A ）（A ） 120º （B ） 135º （C ） 150º （D ） 165ºC二、填空题: (每小题5分；共 35分)1. 若在方程 y(y+x)=z+120 中； x ；y ；z 都是质数；而z 是奇数；则x= 2 .y= 11 .z= 23 .2. 将 2003x 2-(20032-1)x-2003 因式分解得 (x-2003)(2003x+1) .3.正三角形ABC 所在平面内有一点P ；使得⊿PAB 、⊿PBC 、⊿PCA 都是等腰三角形；则这样的P 点有 10 个4.已知直角梯形ABCD 中；AD ∥BC ；AB ＝BC ；∠A ＝o 90；∠D ＝o 45；CD 的垂直_________________学区 ___________________中学姓名_________________ 准考证号码_________________………………………………装………………………………订………………………………线………………………………平分线交CD于E；交BA于的延长线于F；若AD＝9cm；则BF＝9 cm；5.已知四边形的四个顶点为A（8,8）；B（－4,3）；C（－2；－5）；D（10；－2）；856则四边形在第一象限内的部分的面积是156.小明和小刚在长９０米的游泳池的对边上同时开始游泳；小明每秒游３米；小刚每秒游２米；他们来回游了１２分钟；若不计转向的时间；则他们交汇的次数是20。

数学周报杯〞2021年全国初中数学竞赛

"<数学周||报>杯〞2021年全国初中数学竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题 (共5小题 ,每题6分 ,总分值30分．每题均给出了代号为A ,B ,C ,D的四个选项 ,其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分 )(1 )实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=， ,那么444y x+的值为 ( A )． 113+713+ (D )5 解：因为20x > ,2y ≥0 ,由条件得2124443113x ++⨯⨯+== , 21143113y -++⨯-+== , 所以444y x +=22233y x ++-2226y x=-+=7． (2 )把一枚六个面编号分别为1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次 ,假设两个正面朝上的编号分别为n m , ,那么二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是 ( C )． (A )512 (B )49 (C )1736 (D )12解：根本领件总数有6×6＝36 ,即可以得到36个二次函数.由题意知∆＝24m n -＞0 ,即2m ＞4n .通过枚举知 ,满足条件的m n ，有17对. 故1736P =. (3 )有两个同心圆 ,大圆周上有4个不同的点 ,小圆周上有2个不同的点 ,那么这6个点可以确定的不同直线最||少有( B )．(A )6条 (B ) 8条(C )10条 (D )12条解：如图 ,大圆周上有4个不同的点A ,B ,C ,D ,两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ,F 中 ,至||少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点 ,那么它与A ,B ,C ,D 的连线中 ,至||少有两条不同于A ,B ,C ,D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如下列图放置时 ,恰好可以确定8条直线．所以 ,满足条件的6个点可以确定的直线最||少有8条．(4 )AB 是半径为1的圆O 的一条弦 ,且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ,点D为圆O 上不同于点A 的一点 ,且DB AB a == ,DC 的延长线交圆O 于点E ,那么AE 的长为 ( B )． 5 (B )1 3a 解：如图 ,连接OE ,OA ,OB ．设D α∠= ,那么120ECA EAC α∠=︒-=∠．又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒-120α=︒- , 所以ACE △≌ABO △ ,于是1AE OA ==． (5 )将1 ,2 ,3 ,4 ,5这五个数字排成一排 ,最||后一个数是奇数 ,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第|一个数整除 ,那么满足要求的排法有 ( D )．(A )2种 (B )3种 (C )4种 (D )5种解：设12345a a a a a ，，，，是1 ,2 ,3 ,4 ,5的一个满足要求的排列．首||先 ,对于1234a a a a ，，， ,不能有连续的两个都是偶数 ,否那么 ,这两个之后都是偶数 ,与条件矛盾．又如果i a (1≤i ≤3 )是偶数 ,1i a +是奇数 ,那么2i a +是奇数 ,这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数 ,除非接的这个奇数是最||后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶 ,奇 ,奇 ,偶 ,奇 ,有如下5种情形满足条件：2 ,1 ,3 ,4 ,5； 2 ,3 ,5 ,4 ,1； 2 ,5 ,1 ,4 ,3；4 ,3 ,1 ,2 ,5； 4 ,5 ,3 ,2 ,1．二、填空题 (共5小题 ,每题6分 ,总分值30分 )(6 )对于实数u ,v ,定义一种运算 "*〞为：u v uv v *=+．假设关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根 ,那么满足条件的实数a 的取值范围是．【答】0a > ,或1a <-．解：由1()4x a x **=- ,得21(1)(1)04a x a x ++++= , 依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，，解得 ,0a > ,或1a <-．(7 )小||王沿街匀速行走 ,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同 ,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车 ,那么发车间隔的时间是分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分 ,小||王行走的速度是y 米/分 ,同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车 ,那么s y x =-66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车 ,那么s y x =+33． ② 由① ,②可得 x s 4= ,所以 4=xs ．即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．(8 )如图 ,在△ABC 中 ,AB =7 ,AC =11 ,点M 是BC 的中点 , AD 是∠BAC 的平分线 ,MF ∥AD ,那么FC 的长为．【答】9．解：如图 ,设点N 是AC 的中点 ,连接MN ,那么MN ∥AB ．又//MF AD ,所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠ ,所以 12FN MN AB ==．因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9． (9 )△ABC 中 ,AB ＝7 ,BC ＝8 ,CA ＝9 ,过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ,分别与AB ,AC 相交于点D ,E ,那么DE 的长为．【答】163．解：如图 ,设△ABC 的三边长为a ,b ,c ,内切圆I 的半径为r ,BC 边上的高为a h , 那么11()22a ABC ah S abc r ==++△ , 所以 a r a h a b c=++．因为△ADE ∽△ABC ,所以它们对应线段成比例 ,因此 a a h r DE h BC-= , 所以(1)(1)a a a h r r a DE a a a h h a b c -=⋅=-=-++()a b c a b c +=++ , 故879168793DE ⨯+==++（）． (10 )关于x ,y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，解：因为208是4的倍数 ,偶数的平方数除以4所得的余数为0 ,奇数的平方数除以4所得的余数为1 ,所以x ,y 都是偶数．设2,2x a y b == ,那么22104()a b a b +=- ,同上可知 ,b a ,都是偶数．设2,2a c b d == ,那么2252()c d c d +=- ,所以 ,c ,d 都是偶数．设2,2c s d t == ,那么2226()s t s t +=- ,于是22(13)(13)s t -++＝2213⨯ ,其中s ,t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<．所以13s -可能为 1 ,3 ,5 ,7 ,9 ,进而2(13)t +为337 ,329 ,313 ,289 ,257 ,故只能是2(13)t +＝289 ,从而13s -＝7．有62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；，故481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，三、解答题 (共4题 ,每题15分 ,总分值60分 )(11 )在直角坐标系xOy 中 ,一次函数b kx y +=0k ≠（）的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ,B 两点 ,且使得△OAB 的面积值等于3OA OB ++．(Ⅰ )用b 表示k ；(Ⅱ )求△OAB 面积的最||小值．解： (Ⅰ )令0=x ,得0y b b =>，；令0=y ,得00b x k k=-><，．所以A ,B 两点的坐标分别为0)(0)bAB b k-（，，， , 于是 ,△OAB 的面积为)(21kb b S -⋅=．由题意 ,有 3)(21++-=-⋅b k b k b b , 解得 )3(222+-=b b b k ,2b >． …………………… 5分 (Ⅱ )由 (Ⅰ )知21(3)(2)7(2)10()222b b b b b S b k b b +-+-+=⋅-==--21027)72b b =-++=++-1027+ , 当且仅当1022b b -=-时 ,有S =即当102+=b ,1-=k 时 ,不等式中的等号成立．所以 ,△OAB 面积的最||小值1027+． ……………… 15分(12 )一次函数12y x = ,二次函数221y x =+．是否存在二次函数23y ax bx c =++ ,其图象经过点 (－5 ,2 ) ,且对于任意实数x 的同一个值 ,这三个函数所对应的函数值1y ,2y ,3y ,都有1y ≤3y ≤2y 成立 ?假设存在 ,求出函数3y 的解析式；假设不存在 ,请说明理由．解：存在满足条件的二次函数．因为 2122(1)y y x x -=-+221x x =-+-2(1)x =--≤0 ,所以 ,当自变量x 取任意实数时 ,1y ≤2y 均成立．由 ,二次函数23y ax bx c =++的图象经过点 (－5 ,2 ) ,得2552a b c -+=． ①当1x =时 ,有122y y == ,3y a b c =++．由于对于自变量x 取任意实数时 ,1y ≤3y ≤2y 均成立 ,所以有2 ≤a b c ++≤2 ,故2a b c ++=． ②由① ,② ,得 4b a = ,25c a =- ,所以234(25)y ax ax a =++-．……… 5分当1y ≤3y 时 ,有 2x ≤24(25)ax ax a ++- ,即 2(42)(25)ax a x a +-+-≥0 ,所以二次函数2(42)(25)y ax a x a =+-+-对于一切实数x ,函数值大于或等于零 ,故20(42)4(25)0a a a a >⎧⎨---≤⎩，．即20(31)0,a a >⎧⎨-≤⎩，所以13a =．……………… 10分当3y ≤2y 时 , 有 24(25)ax ax a ++-≤21x + ,即2(1)4(51)a x ax a --+-≥0 ,所以二次函数2(1)4(51)y a x ax a =--+-对于一切实数x ,函数值大于或等于零 , 故210(4)4(1)(51)0a a a a ->⎧⎨----≤⎩，．即21(31)0,a a <⎧⎨-≤⎩，所以 13a =．综上 ,13a = ,443b a == , 1253c a =-=．所以 ,存在二次函数23141333y x x =++ ,在实数范围内 ,对于x 的同一个值 ,都有1y ≤3y ≤2y 成立． ……………… 15分(13 )是否存在质数p ,q ,使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+= 有有理数根 ?解：设方程有有理数根 ,那么判别式为平方数．令2224q p n ∆=-= ,其中n 是一个非负整数．那么2()()4q n q n p -+=． ……………… 5分由于1≤q n -≤q +n ,且q n -与q n +同奇偶 ,故同为偶数．因此 ,有如下几种可能情形：222q n q n p -=⎧⎨+=⎩，， 24q n q n p -=⎧⎨+=⎩，， 4q n p q n p -=⎧⎨+=⎩，， 22q n p q n p -=⎧⎨+=⎩，， 24.q n p q n ⎧-=⎨+=⎩，消去n , 解得22251222222p p p q p q q q p q =+=+===+，，，，． ……………… 10分对于第1 ,3种情形 ,2p = ,从而q ＝5；对于第2 ,5种情形 ,2p = ,从而q ＝4 (不合题意 ,舍去 )；对于第4种情形 ,q 是合数 (不合题意 ,舍去 )．又当2p = ,q ＝5时 ,方程为22520x x -+= ,它的根为12122x x ==， ,它们都是有理数．综上所述 ,存在满足题设的质数． ……………… 15分 (14 )如图 ,△ABC 的三边长BC a CA b AB c ===，， ,a b c ，，都是整数 ,且a b ，的最||大公约数为2．点G 和点I 分别为△ABC 的重心和内心 ,且90GIC ∠=︒．求△ABC 的周长．解：如图 ,延长GI ,与边BC CA ，分别交于P Q ，．设重心G 在边BC CA ，上的投影分别为E F ， ,△ABC 的内切圆的半径为r ,BC CA ，边上的高的长分别为a b h h ， ,易知CP ＝CQ ,由PQC GPC GQC S S S =+△△△ , 可得()123a b r GE GF h h =+=+ , 即 222123ABC ABC ABC S S S a b c a b ⎛⎫⨯=⨯+ ⎪++⎝⎭△△△ , 从而可得 6ab a b c a b++=+． ……………… 10分因为△ABC 的重心G 和内心I 不重合 ,所以 ,△ABC 不是正三角形 ,且b a ≠ ,否那么 ,2a b == ,可得2c = ,矛盾．不妨假设a b > ,由于()2a b =， ,设()1111221a a b b a b ===，，， ,于是 ,有1111126a b ab a b a b =++为整数 , 所以有11()12a b + ,即()24a b +．于是只有1410a b ==，时 ,可得11c = ,满足条件．因此有35a b c ++=．所以 ,△ABC 的周长为35． ……………… 15分。

初中数学竞赛试题.

中国教育学会中学数学教学专业HY 会“?数学周报?杯〞2021年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题〔一共5小题，每一小题7分，一共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或者错填都得0分〕1．非零实数a ，b 满足 2242(3)42a b a b a -++-=，那么a b +等于〔〕．〔A 〕－1 〔B 〕0 〔C 〕1 〔D 〕2 【答】C ．解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为22(3)0b a b ++-=，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，那么a 等于〔〕．〔A 〕512〔B 〕512 〔C 〕1 〔D 〕2【答】A ．解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以BO BCAB AC =，即11a a a =+，所以， 210a a --=．由0a >，解得152a +=． 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，那么使关于x ，y的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，只有正数解的概率为〔〕．〔A 〕121 〔B 〕92 〔C 〕185 〔D 〕3613 【答】D ．解：当20a b -=时，方程组无解．当02≠-b a 时，方程组的解为62,223.2b x a ba y ab -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226b a a b a b即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或者⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2345612a b =⎧⎨=⎩，，，，，，，一共有 5×2＝10种情况；或者1456a b =⎧⎨=⎩，，，，一共3种情况．又掷两次骰子出现的根本领件一共6×6＝36种情况，故所求的概率为3613． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y .〔第2题〕把y 看作x 的函数，函数的图像如图2所示，那么△ABC 的面积为〔〕．〔A 〕10 〔B 〕16 〔C 〕18 〔D 〕32【答】B ．解：根据图像可得BC ＝4，CD ＝5，DA ＝5，进而求得AB ＝8，故S △ABC ＝12×8×4＝16. 5．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解〔x ，y 〕的组数为〔〕．〔A 〕2组〔B 〕3组〔C 〕4组〔D 〕无穷多组【答】C ．解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为 22(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根，那么判别式∆≥0，且是完全平方数．由 2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0，解得 2y ≤11616.577≈．于是 2y0 1 4 9 16 ∆11610988534显然，只有216y =时，4∆=是完全平方数，符合要求．当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-；当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x ==．所以，原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩ 223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩ 二、填空题〔一共5小题，每一小题7分，一共35分〕6．一个自行车轮胎，假设把它安装在前轮，那么自行车行驶5000 km 后报废；假设把它安装在后轮，那么自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．假如交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,那么安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k.又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kx ky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 〔第4题〕图1图2两式相加，得()()250003000k x y k x y k +++=，那么 237501150003000x y +==+．7．线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，那么AHAB的值是．解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ．由题设知13AC AD =，13AB AE =，在△FHA 和△EFA 中， 90EFA FHA ∠=∠=︒，FAH EAF ∠=∠所以 Rt △FHA ∽Rt △EFA ，AH AFAF AE=.而AF AB =，所以AH AB 13=.8．12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，假设b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，那么b 的值是．【答】 10．解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯，所以1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=．由123459a a a a a ++++=，可得10b =．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．假设AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，那么CE 的长等于．【答】6027．解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ．故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形，且90ACB ∠=︒．作EF ⊥BC ，垂足为F ．设EF ＝x ，由1452ECF ACB ∠=∠=︒，得CF ＝x ，于是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以EF BFAC BC =，即 201520x x -=，解得607x =．所以60227CE x ==．10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规那么是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的〔第9题〕〔第7题〕两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．假设报出来的数如下图，那么报3的人心里想的数是．【答】2-．解：设报3的人心里想的数是x ，那么报5的人心里想的数应是8x -．于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x --=+，报9的人心里想的数是16(4)12x x -+=-，报1的人心里想的数是 20(12)8x x --=+，报3的人心里想的数是4(8)4x x -+=--．所以 4x x =--，解得2x =-．三、解答题〔一共4题，每一小题20分，一共80分〕11．抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公一共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x . 〔1〕务实数t 的取值范围；〔2〕当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值. 解：〔1〕联立2y x =与c x t y --=)12(，消去y 得二次方程2(21)0x t x c --+= ①有实数根1x ，2x ，那么121221,x x t x x c +=-=．所以2221212121[()()]2c x x x x x x ==+-+=221[(21)(23)]2t t t --+-＝21(364)2t t -+． ② ………………5分把②式代入方程①得221(21)(364)02x t x t t --+-+=． ③………………10分t 的取值应满足2221223t t x x +-=+≥0， ④且使方程③有实数根，即22(21)2(364)t t t ∆=---+＝2287t t -+-≥0， ⑤解不等式④得 t ≤-3或者t ≥1，解不等式⑤得22-≤t≤22+所以，t 的取值范围为22-≤t≤22+. ⑥ ………………15分(2) 由②式知22131(364)(1)222c t t t =-+=-+. 由于231(1)22c t =-+在22-≤t≤22+所以，当22t =- 时,2min 3111(21)2224c -=--+=. ………………20分12．正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和．解：由3192191a +可得31921a -．619232=⨯，且()[]311(1)1(1)(1)(1)a a a a a a a a -=-++=-++-．………………5分因为()11a a ++是奇数，所以6321a -等价于621a -，又因为3(1)(1)a a a -+，所以331a -等价于31a -．因此有1921a -，于是可得1921a k =+．………………15分又02009a <<，所以0110k =，，，．因此，满足条件的所有可能的正整数a 的和为11＋192〔1＋2＋…＋10〕＝10571． ………………20分13．如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比拟线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．解法1：结论是DF EG =．下面给出证明． ………………5分因为FCD EAB ∠=∠，所以Rt △FCD ∽ Rt △EAB ．于是可得CDDF BE AB =⋅．同理可得 CEEG AD AB=⋅．………………10分又因为tan AD BEACB CD CE∠==，所以有BE CD AD CE ⋅=⋅，于是可得 DF EG =． ………………20分解法2：结论是DF EG =．下面给出证明．……………… 5分连接DE ，因为90ADB AEB ∠=∠=︒，所以A ，B ，D ，E 四点一共圆，故CED ABC ∠=∠． (10)分又l 是⊙O 的过点C 的切线，所以ACG ABC ∠=∠． ………………15分所以，CED ACG ∠=∠，于是DE ∥FG ，故DF ＝EG ．………………20分14．n 个正整数12n a a a ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<=；且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．解：设12n a a a ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ，12i n =，，，．即 12()1n ii a a a a b n +++-=-．于是，对于任意的1≤i j <≤n ，都有〔第13A 题〕〔第13A 题〕1j i i j a a b b n --=-，从而 1()j i n a a --． ………………5分由于 11200811n n a a b b n n --==--是正整数，故 312251n -⨯． ………………10分由于 ()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++-≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=-，所以，2(1)n -≤2021，于是n ≤45.结合312251n -⨯，所以，n ≤9． ………………15分另一方面，令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+，…，8871a =⨯+，982511a =⨯+，那么这9个数满足题设要求．综上所述，n 的最大值为9. ………………20分励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

2021年初三数学竞赛试卷(有答案)

初三数学竞赛试卷(时间100分钟：满分100分)一. 填空:（每小题2分：共30分）1.)2(2301300-+=____________.2.比较2100与375的大小________________.3.已知y 1=x 2-7x+6,y 2=7x-3,且y=y 1+xy 2,当x=2时,y=________.4.如图(1)已知AB ∥DE,则∠B+∠C+∠D=___________.5.一个角比它的补角的一半还小18º24’36’’,则这个角是_________.7.如果4x 2-axy+9y 2是一个完全平方式,则a 的值是________. 8.已知1+x+x 2+x 3=0,则x+x 2+x 3+……+x 2004的值是_________. 9.a,b,c 是ΔABC 的三边,且满足a 2+b 2=25,a 2-b 2=7,c=5, 则ΔABC 最大边上的高是_________. 10.如图(2)矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于E,设∠ADE=α, 且53cos =α,AB=4,则AD=_______. 11.如图(3)有一个圆柱形的油桶,它的高是80,底面直径是50. 在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁,它想吃到上底面与A 点在同侧的B 点处的食物,但由于A,B 两点间有障碍,不能直接到达,蚂蚁只能沿桶壁爬行,则蚂蚁需要爬行的最短路程是_________(π取整数3).12.如果方程x 2+px+1=0(p>0)的两根之差是1,则p=________.13.若a 为整数,且点M(3a-9,2a-10)在第四象限,则a 2+1的值是_______.14.如图(4)在正方形ABCD 中,点E 在AB 边上,且AE ∶EB=2∶1, AF ⊥DE 于G,交BC 于F,则ΔAEG 的面积与四边形BEGF的面积比是_________.15.已知圆内接四边形ABCD 中,对角线AC ⊥BD,AB>CD,若CD=4,则AB 的弦心距是____. 二. 选择:(每小题3分,共15分)( )1.一辆汽车在广场上行驶,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,这两次拐弯的角度可能是A.第一次向右拐50º,第二次向左拐130º;B.第一次向左拐30º,第二次向右拐30º;C.第一次向右拐60º,第二次向右拐120º; D .第一次向左拐40º,第二次向左拐40º. ( )2.在M 1=2.02⨯10-6, M 2=0.0000202, M 3=0.00000202, M 4=6.06⨯10-5四个数中,存在两个数,其中一个数是另一个数的3倍,这两个数为A.M 2与M 4,且M 4=3M 2;B.M 1与M 3,且M 3=3M 1;C.M 1与M 4,且M 4=3M 1;D.M 2与M 3,且M 3=3M 2. ( )3.无论m 为何值时,二次函数y=x 2+(2-m)x+m 的图象总过的点是 A (1,3) B (1,0) C (-1,3) D (-1,0).( )4.关于x 的方程(m-2)x 2-2x+1=0有实根,则m 的取值范围是A.m<3;B.m ≤3;C.m<3且m ≠2;D.m ≤3且m ≠2.( )5.如图(5)在Rt ΔABC 中,∠C=90º,AC=4,BC=3,以BC 上一点O 为圆心作⊙O 与AC,AB 相切,又⊙O 与BC 的另一交点为D,则线段BD 的长为A BCD E 图（1）A BCDE 图（2）AB图（3）A B C DEF G 图（4）A B CDE O图（5）A. 1;B.21; C. 31; D. 41. 三. 解答:(每小题4分,共20分)1.已知,231-=m 231+=n ,求1)2(22222-⋅-+-+--n mn n m n mn n mn m n m 的值.2.某市为了改变市容市貌,提高人民的生活水平,市政府投入巨额资金拆掉大批小平房,建成风景秀丽的无业小区,如图(6)所示是四个物业小区,分别用A,B,C,D 表示.为了使四个小区中的孩子能就近上学,市政府准备修建一所小学H,问H 应建在何处,才能使四个小区的孩子上学走路的总和最小,请你找出H 的位置,并说明理由.3.如图(7)A 市气象站测得台风中心在A 市的正东方向300千米的B 处,以710千米/时的速度向北偏西60º的BF 方向移动.距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域. (1) A 市是否会受到这次台风的影响?请你写出结论并给以证明; (2) 如果A 市受这次台风影响,那么受台风影响的时间有多长?4.计算:.60sin 30tan 45cot 140cos 50sin 222︒-︒︒++︒︒5.已知b a ,是整数,032=-+-b ax x 有两个不相等的实数根,07)6(2=-+-+b x a x 有两个相等的实数根,05)4(2=-+-+b x a x 没有实数根,求b a ,的值.AB C D 图（6）四.(1小题5分,2小题6分,共11分) 1. 解方程01)1(3)1(222=-+-+x x x x2.如图(8)在ΔABC 中,D 是BC 边上的中点,且AD=AC,DE ⊥BC,DE 与AB 相交于点E,EC 与AD 相交于点F.(1)求证:ΔABC ∽ΔFCD;(2)若S ΔFCD =5,BC=10,求DE 的长.图（8）ABCDE五.应用题(7分)根据有关信息,有一批货物,如果本月出售,可获利100元,然后可将本利都存入银行,已知银行每月利率是0.5%;如果下月初出售,可获利120元,但要付5元的保管费,试问这批货物何时出售好?六.(8分)如图(9)已知⊙O 1和⊙O 2外切于点P,AB 是两圆的外公切线,A,B 为切点,AP 的延长线交⊙O 1于C 点,BP 的延长线交⊙O 2于D 点,直线O 1O 2交⊙O 1于M,交⊙O 2于N,与BA 的延长线交于点E.求证:(1)DA BC AB ⋅=2;(2)线段BC,AD 分别是两圆的直径;(3)AE BE PE ⋅=2.ABC D EPNOO M图（9）七.(9分)如图(10)正方形OABC 的顶点O 在坐标原点,且OA 与边AB 所在直线的解析式分别为x y 43=和32543+-=x y ,D,E 分别为边OC 和AB 的中点,P 为OA 边上的一动点(点P 与点O 不重合),连结DE 和CP,其交点为Q. (1) 求证:点Q 为ΔCOP 的外心; (2) 求正方形OABC 的边长;(3) 当ΔCOP 的外接圆⊙Q 与AB 相切时,求点P 的坐标.A BC D E O xy PQ图（10）参考答案:一.填空:1.-2300;2.2100<375;3.18;4.360º;5.47º43’36’’;6.(1)(5);(2)(3)(4)(6);7.±12;8.0;9.512; 10.316; 11.170; 12.5; 13.17; 14.4∶9; 15.2. 二.选择: 1.B; 2.A; 3.A; 4.D; 5.C.三.1.原式化简为n m mn--;);32(231+-=-=m 32231-=-=n ; 原式=.41)32()32()32)(32(-=--+--+--2.学校应建在AC,BD 的交点处.理由:任取一点H ’,用三角形两边之和大于第三边易证.3.(1)过A 作AE ⊥BF,垂足是E,在Rt ΔABE 中,∠ABE=90º-60º=30º,AB=300,AE=21AB=150<200,A 市将受到这次台风影响. (2)以点A 为圆心,以200千米长为半径作弧,交BF 于点C,D,在Rt ΔACE 中,AE=150, AC=200,,75022=-=∴AE AC EC ;71002==EC CD∴=÷∴,107107100A 市受这次台风影响的时间达10小时. 4.519-;5.设已知三个方程的判别式依次是Δ1,Δ2,Δ3;由题意:⎪⎩⎪⎨⎧---=∆=---=∆--=∆)3(0)5(4)4()2(0)7(4)6()1(0)3(4232221 b a b a b a解之得:335a ,又a 是整数,2=∴a ,代人得3=b ,.3,2==∴b a四. 1设y xx =+1,则原方程化为013)2(22=---y y ,即:05322=--y y解之得:25;121=-=y y .分别代人得:21;221==x x ,经检验都是原方程的根.2.(1)易证∠B=∠BCE,∠ADC=∠ACB,得证ΔABC ∽ΔFCD;(2)过点A 作AM ⊥BC,垂足是M, ΔABC ∽ΔFCD,BC=2CD,∴4=∆∆FCDABCS S , ∵S ΔFCD =5,∴S ΔABC =20,又BC=10,∴AM=4;∵DE ∥AM,∴BMBDAM DE =∵DM=21CD=25,BM=BD+DM,BD=21BC=5,∴2/5554+=DE ,∴DE=38.五. 设这批货物的成本价为a 元,赢利分情况考虑如下:若本月出售,那么到下月初共赢利5.10010005%5.0)100(100+=⨯++a a 元;若下月初出售,共赢利120-5=115元.(1) 当1155.10010005+a ,即a >2900时,本月初出售最好. (2) 当1155.10010005=+a 即a =2900时,本月初或下月初出售都行.(3) 当1155.10010005+a 即a <2900时,下月初出售最好.六.(1)∵BA 切⊙O 1于B,∴∠ABP=∠C,∵BA 切⊙O 2于A,∴∠BAP=∠D,∴ΔABC ∽ΔDAB,DA BC AB ABDABC AB ⋅=∴=∴2,; (2)过P 作两圆的内公切线交AB 于F,由切线长定理得:BF=PF,PF=AF,∴PF=BF=AF=21AB ∴∠BPA=90º,∴BP ⊥AP,∴∠BPC =∠APD=90º,∴BC,AD 分别是⊙O 1,⊙O 2的直径. (3)∵PF 是⊙O 1和⊙O 2的公切线,∴PF ⊥O 1O 2,∴∠APF=∠APE=90º,∵∠APB=90º,∴∠ABP+∠BAP=90º,又∵PF=AF,∴∠BAP=∠APF,∴∠ABP=∠APE,∵∠E=∠E∴ΔEPB∽EAP,EPEBEA EP =∴,∴AE BE PE ⋅=2. 七.(1)∵D,E 分别为OC,AB 的中点,∴DE∥OA,Q 是CP 的中点,又∵CP 是Rt ΔCOP 的斜边,∴点Q 是ΔCOP 的外心;(2)由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==3253443x y x y 解得:⎩⎨⎧==34y x .∴点A 的坐标为(4,3),∴OA=5,正方形的边长是5.(3)当ΔCOP 的外接圆⊙Q 与AB 相切时,E 是切点,∵AE 和APO 分别是⊙Q 的切线和割线,AO AP AE ⋅=∴2,即AP 5)25(2=,∴AP=45,∴OP=5-41545=.分别作PH ⊥x 轴,AF ⊥y 轴,垂足是H,F,则PH ∥AF.∴AFPHOF OH OA OP == ∴.354415=⨯=⋅=OA OF OP OH PH=.4953415=⨯=⋅OA AF OP ∴点P 的坐标是(3,49).。

2021年初中数学竞赛预选赛试题(有答案)

初中数学竞赛预选赛试题(初二)(考试时间：120分钟：满分140分)一、选择题：(每小题7分：共42分)1、已知实数a 满足：|2004-a|+2005-a ＝a ：那么a-20042＝………… ( )A 、2003B 、2004C 、2005D 、20062、如图：在△ABC 中：∠C ＝Rt ∠：CD ⊥AB 于D ：在(1) DC ·AB ＝AC ·BC ： (2)BD AD BC AC 22= (3)222111CD BC AC =+ (4)AC+BC ＞CD+AB中正确的个数是 …………………………………………………… ( )A 、4B 、3C 、2D 、13、实数a ：b ：c ：d 满足：a ＋b ＋c ＋d ＝1001：ac ＝bd ＝4：则： ))()()((a d d c c b b a ++++= ………………………………………… ( )A 、1001B 、2002C 、2003D 、20044、在△ABC 中：∠A ＞∠B ＞∠C ：∠A ≠90°：画直线使它把 △ABC 分成两部份：且使其中一部分与△ABC 相似：这样的互不平行的直线有( )条……………………………………………………………（）A 、3B 、4C 、5D 、65、已知二次函数y=ax 2+c ,且当x ＝1时：－4≤y ≤－1：当x ＝2时,－1≤y ≤5：则当x ＝3时：y 的取值范围是…………………………………………( )A 、－1 ≤y ≤20B 、－4 ≤ y ≤15C 、7 ≤y ≤26D 、328-≤ y ≤335 6、n 是一个两位数：它的十位数字与个位数字之和为a ：当n 分别乘以3：5：7：9后得到四个乘积：如果其每个乘积的各位数的数字之和仍为a ：那么这样的两位数有( )个。

…………………………………………（）A 、3B 、5C 、7D 、9二、填空题：（每小题7分：共28分）7、某电影院的票价是：个人每张6元：每10人一张团体票为40元：学生享受九折优惠：某校1258名学生看电影(教师免票)：学校应向电影院至少付 _________________元钱。

2021年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准(1)

全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7 分和0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1．已知实数a, b, c 满足2a +13b +3c =90 ，3a +9b +c = 72 ，则3b +c a +2b＝（）A. 2．B. 1．C. 0．D.【答】B.已知等式可变形为2(a + 2b) + 3(3b +c) = 90 ，3(a + 2b) + (3b +c) = 72 ，解得a + 2b =18 ，3b +c3b +c =18 ，所以a + 2b2．已知△ABC 的三边长分别是a,b, c ，有以下三个结论：（1）以a, b,c ac 为边长的三角形一定存在；（2）以a 2 ,b 2 , c 2 为边长的三角形一定存在；（3）以| a - b | +1,| b - c | +1,| c - a | +1 为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为（） A ．0． B ．1． C ．2． D ．3．【答】C.不妨设a ≥ b ≥ c ，则有b + c > a .（1）因为b + c > a ，所以b + c + 2 边长的三角形一定存在； bc>a ，即( b +c)2 （a）2，即b+>，故以a, b, c 为（2）以a = 2,b = 3, c = 4 为边长可以构成三角形，但以a2 = 4,b2 = 9, c2 = 16 为边长的三角形不存在；（3）因为a ≥b ≥c ，所以| a -b | +1 =a -b +1,| b -c | +1 =b -c +1,| c -a | +1 =a -c +1 ，故三条边中| c -a | +1 大于或等于其余两边，而（|a-b|+1）+（|b-c|+1）=（a-b+1）+（b-c+1）=a-c+1+1>a-c+1=|c-a|+1，故以| a -b | +1 ，| b -c | +1，| c -a | +1 为边长的三角形一定存在.3．若正整数a, b, c 满足a ≤b ≤c 且abc = 2(a +b +c) ，则称(a,b, c) 为好数组.那么，好数组的个数为（）A. 1．B．2．C．3．D．4．【答】C.若(a,b, c) 为好数组，则abc = 2(a +b +c) ≤ 6c ，所以ab ≤ 6 .显然，a 只能为 1 或 2.若a＝2，由ab≤6可得b=2或3，b=2时可得c=4，b=3时可得c =5（不是整数）；2若a ＝1，则bc = 2(1 +b +c) ，于是可得(b - 2)(c - 2) = 6 ，可求得(a,b, c) ＝（1，3，8）或（1，4，5）.综合可知：共有3 个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.4．设O是四边形ABCD的对角线AC 、BD的交点，若DO∠BAD+∠ACB=180︒，且BC = 3，AD = 4 ，AC = 5 ，AB = 6 ，则OB＝（）10A. ．B.98． C. 714 A F B D E C= ∠ = A = = = 64． D. ． 5 3 DE 【答】A. 过 B 作 BE // AD ，交 AC 的延长线于点 E ，则 ∠ABE =180︒ -∠BAD CAC BC ACB ，所以△ ABC ∽△ AEB ，所以，所以 AB EB AB ⋅ BC 6⨯3 18 B EB . AC 5 5 DO AD 4 10 再由 BE // AD ，得 = = = . OB BE 18 955．设 A 是以 BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥ BC 于点 D ，点 E 在线段 DC 上，点 F 在CB 的延长线上，满足∠BAF = ∠CAE .已知 BC = 15 ， BF = 6 ， BD = 3 ，则 AE ＝（）【答】B. B. 2 13 ． D. 2 15 ．OC. 2 ．如图，因为∠BAF =∠CAE ，所以∠BAF +∠BAE =∠CAE +∠BAE ，即∠FAE =∠BAC = 90︒.又因为 AD ⊥BC ，故 AD2 =DE ⋅DF =DB ⋅DC .而 DF =BF +BD = 6 + 3 = 9 ，DC =BC -BD = 15 - 3 = 12 ，所以 AD2 =DE ⋅9 = 3⋅12 ，所以 AD = 6 ，DE = 4 .从而 AE = 62 + 42AD2 +DE2 =12 13 . 6．对于正整数n ，设a 是最接近 n1的整数，则+1+ +1（）191n192a 1 a2a3a200193 194A.．B.7． C. 7． D. ．7 7【答】A.对于任意自然数k ，(k +1)2 =k 2 +k +1不是整数，所以，对于正整数n ，2 4n 1一定不是整数. 2设m 是最接近n的整数，则| mn |<1，m ≥ 1.2易知：当m ≥ 1时，| m -n |<1⇔ (m -1)2 <n < (m +1)2 ⇔m2 -m +1<n <m2 +m +1.2 2 2 4 4于是可知：对确定的正整数m ，当正整数n 满足m2 -m +1 ≤n ≤m2 +m 时，m 是最接近即a n =m .所以，使得an＝m 的正整数n 的个数为2m .的整数，注意到132 +13 =182 < 200 <142 +14 = 210 ，因此， a , a , , a n1 2 200中，有：2 个 1，4 个 2，6 个 3，8 个 4，……，26 个 13，18 个 14.1 1 1 1 1 1 1 1 1 191所以+++ += 2⨯+ 4⨯+ 6⨯+ + 26⨯+18⨯=.a 1 a2a3a 2001 2 3 13 14 7二、填空题：（本题满分28 分，每小题7 分）1．使得等式【答】8 .由所给等式可得(13 a1+ a =成立的实数a 的值为．1+ a )3 = a 2 .令 x = ，则 x ≥ 0 ，且 a = x 2-1 ，于是有 (1+ x )3= (x 2-1)2，整理后因式分解得 x (x - 3)(x +1)= 0 ，解得 x = 0 ， x = 3 ， x = -1 （舍去），所以a = -1或 a = 8 .123 验证可知： a = -1是原方程的增根， a = 8 是原方程的根.所以， a = 8.2．如图，平行四边形 ABCD 中，∠ABC = 72︒ ， AF ⊥ BC 于点 F ， AF 交 BD 于点 E ，若 DE = 2AB ，则∠AED ＝．M【答】66︒ .E取 DE 的中点 M ，在Rt △ ADE 中，有 AM = EM =1+ 1+ a1DE AB . 2B F C设∠AED =α，则∠AME =180︒- 2α， ∠ABM =α-18︒.又∠ABM =∠AMB ，所以180︒- 2α=α-18︒，解得α= 66︒.3．设m, n 是正整数，且m >n .若9m 与9n 的末两位数字相同，则m -n 的最小值为．【答】10.由题意知，9m - 9n = 9n ⋅ (9m-n -1) 是100 的倍数，所以9m-n -1是100 的倍数，所以9m-n的末两位数字是01，显然，m-n是偶数，设m-n=2t（t是正整数），则9m-n =92t =81t .计算可知：812 的末两位数字是61，813 的末两位数字是41，814 的末两位数字是21，815 的末两位数字是01.所以t 的最小值为5，从而可得m -n 的最小值为10.4．若实数x, y 满足x3 +y3 + 3xy =1，则x2 +y2 的最小值为．1【答】.2因为0 =x3 +y3 + 3xy -1 = (x +y)3 + (-1)3 - 3x2 y - 3xy2 + 3xy= (x +y -1)[(x +y)2 -(x +y) ⋅(-1) + (-1)2 ] - 3xy(x +y -1)= (x +y -1)(x2 +y2 -xy +x +y +1) =1(x +y -1)[(x -y)2 + (x +1)2 + ( y +1)2 ]，2所以 x =y =-1或 x +y = 1.若x =y =-1，则x2 +y2 ＝2.若x +y = 1，则x2 +y2 =1[(x +y)2 + (x -y)2 ] =1[1+ (x -y)2 ] ≥1，当且仅当x =y =1时等号成立.1 222 2所以， x 2+ y 2的最小值为 1.2第一试(B)一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1．已知二次函数 y = ax 2 + bx + c (c ≠ 0) 的图象与 x 轴有唯一交点，则二次函数 y = a 3 x 2 + b 3 x + c 3的图象与 x 轴的交点个数为（） A ．0． B ．1． C ．2． D ．不确定．【答】C.因为二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴有唯一交点，所以∆ = b 2 - 4ac = 0 ，所以b 2= 4ac ≠ 0 . 故二次函数 y = a 3 x 2+ b 3x + c 3的判别式 ∆ = (b 3 )2- 4a 3c 3= b 6- 1(4ac )3 = b 6- 1(b 2 )3=15b62> 0 ，所以，二次函数y =a3 x2 +b3 x +c3 的图象与x 轴有两个交点.2．题目和解答与（A）卷第1 题相同.3. 题目和解答与（A）卷第3 题相同.16 16 164．已知正整数a, b, c 满足a2 -6b -3c +9 = 0 ，-6a +b2 +c = 0 ，则a2 +b2 +c2 ＝（）A. 424．B. 430．C. 441．D. 460．【答】C.由已知等式消去c 整理得(a - 9)2 + 3(b -1)2 = 75 ，所以3(b -1)2 ≤ 75 ，又b 为正整数，所以1 ≤b ≤ 6 .若b ＝1，则(a - 9)2 = 75 ，无正整数解；若b ＝2，则(a - 9)2 = 72 ，无正整数解；若b ＝3，则(a - 9)2 = 63 ，无正整数解；若b ＝4，则(a - 9)2 = 48 ，无正整数解；若b ＝5，则(a - 9)2 = 27 ，无正整数解；若b ＝6，则(a - 9)2 = 0 ，解得a = 9 ，此时c = 18 .因此，a = 9 ，b ＝6，c = 18 ，故a2 +b2 +c2 =＝441.5．设O是四边形ABCD的对角线AC 、BD的交点，若DO∠BAD+∠ACB=180︒，且BC = 3，AD = 4 ，AC = 5 ，AB = 6 ，则OB＝（）4A. ．B.36． C. 58 10． D. ．7 9【答】D.解答过程与（A）卷第4 题相同.6．题目和解答与（A）卷第5 题相同.二、填空题：（本题满分28 分，每小题7 分）1．题目和解答与（A）卷第1 题相同.2 ．设O 是锐角三角形ABC 的外心，D, E 分别为线段BC, OA的中点，∠ACB =7 ∠OED，∠ABC = 5∠OED ，则∠OED ＝.【答】10︒.如图，设∠OED =x，则∠A B=C5A，∠ACB = 7x ，∠DOC =∠BAC =180︒-12x ，∠AOC =10x ，所以∠AOD =180︒- 2x1 1∠ODE =180︒-x - (180︒-2x) =x ，所以OD =OE =以∠DOC = 60︒，从而可得 x = 10︒.3.题目和解答与（A）卷第3 题相同.4.题目和解答与（A）卷第4 题相同.OA 2 2OC ，所第二试（A）1一、（本题满分 20 分）已知实数x, y 满足x +y = 3 ，1x y2 1+x2 +y=1，求x5 +y5 的值.21 解由x +y2+x2 +y=1可得2(x +y +x2 +y2 ) =x3 +y3 +x2 y2 +xy .2设xy =t ，则x2 +y2 = (x +y)2 - 2xy = 9- 2t ，x3 +y3 = (x +y)[(x +y)2 -3xy] = 3(9 -3t) ，代入上式可得2(3 +9 -2t) = 3(9 -3t) +t2 +t ，解得t =1或t = 3 . ……………………10 分当t = 3 时，xy = 3 ，又x +y = 3 ，故x, y 是一元二次方程m2 -3m + 3 = 0 的两实数根，但易知此方程没有实数根，不合题意. ……………………15 分当t = 1时，xy = 1，又x +y = 3 ，故x, y 是一元二次方程m2 - 3m +1 = 0 的两实数根，符合题意. 此时x5 +y5 = (x2 +y2 )(x3 +y3 ) -(x +y)x2 y2 = (9 - 2t) ⋅[3(9 - 3t)] - 3t2 = 123 .（本题满分25 分）如图，△ABC中，AB>AC，∠BAC=45︒，E是∠BAC的外角平分线与△ ABC 的外接圆的交点，点 F 在 AB 上且 EF ⊥AF = 1，BF = 5，求△ABC 的面积.。

2021年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题

2021年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题2021年“truly?信利杯”全国初中数学竞赛试题一、多项选择题（共5个子题，每个子题6分，满分30分。

下面每个子题只有一个结论是正确的。

请在问题后的括号中填写正确结论的代码）5x2?2y2?z21．若4x－3y－6z=0，x+2y－7z=0(xyz≠0)，则2的值等于().2倍？3y2？10z2（a）？119（b）？（c） ?？15（d）？13222.在本港投递的普通信件，每封质量不超过20克的邮资为0.80元，每封质量超过20克但不超过40克的邮资为1.60元，以此类推。

每增加20克，邮资增加0.80元（信件质量在100克以内）。

如果发送的信件质量为72.5g，则应支付的邮资（）(a)2.4元(b)2.8元(c)3元(d)3.2元3．如下图所示，∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f+∠g=（）.（a）360°（b）450°（c）540°（d）720°cdebagafdcob（第3题图）（图4）四．四条线段的长分别为9，5，x，1（其中x为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且ab与cd是其中的两条线段（如上图），则x可取值的个数为（）.（a） 2（b）3（c）4（d）65．某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有().（a） 1种（b）2种（c）4种（d）0种二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6.知道x吗？1.3.那么7．若实数x，y，z满足x?111?2??.x?2x?4x?21171?4，y??1，z??，则xyz的值为.zx3y8.观察以下数字：①②③④根据数字法则①, ② 和③, 图中三角形的数量④ 是9．如图所示，已知电线杆ab直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面cd和地面bc上，如果cd与地面成45o，∠a=60ocd=4m，bc=46?22m，则电线杆ab的长为_______m.bcda？？2（第9题图）10.已知的二次函数y？斧头？bx？C的图像（其中a是正整数）经过点a（-1,4）和点B（2,1），与x轴有两个不同的交点，那么B+C的最大值是3，回答问题（总共4个问题，每个小问题15分，满分60分）11．如图所示，已知ab是⊙o的直径，bc是⊙o的切线，oc平行于弦ad，过点d作de⊥ab于点e，连结ac，与de交于点p.问ep与pd是否相等？证明你的结论.解决方案：bcep(第11题图)oda12.有人从a市租了一辆车到B市。

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2021年全国初中数学竞赛试题
一、选择题:
1、已知实数a≠b，且满足(a+1)2
=3-3(a+1),3(b+1)=3-(b+1)2。

则b
a b +a b
a 的值为（）
A 、23;
B 、-23; C-2; D-13
2、若直角三角形的两条直角边长为a 、b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有（） A 、ab=h ; B 、
a 1+
b 1=h 1 ; C 、21a +21b =21h
; D 、a 2 +b 2=2h 2
3、一条抛物线y=ax 2
+bx+c 的顶点为（4，-11），且与x 轴的两个交点的横坐标为一正一负，
则a 、b 、c 中为正数的（）
A 、只有a;
B 、只有b;
C 、只有c;
D 、只有a 和b
4、如图所示，在△ABC 中，DE∥AB∥FG，且FG 到DE 、AB
的距离之比为1：2。

若△ABC 的面积为32，△CDE 的面
积为2，则△CFG 的面积S=（）
A 、6;
B 、8;
C 、10;
D 、12 5、假如x
和y 是非零实数，使得∣x∣+y=3和∣x∣y+x 3
=0，那么x+y 等于（） A 、3; B 、13; C 、
2
13
1 ; D 、4-13
二、填空题:
6、如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAD=600
，则∠EDC=_____________（度）。

7、据有关资料统计，两个都市之间每天的通话次数T 与这两个都市的人口数m 、n （单
位：万人）以及两个都市间的距离d （单位：km ）有T=2d
kmn
的关系（k 为常数）。

现测
得A 、B 、C 三个都市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A 、B 两个都市间每天的通话次数为t ，那么B 、C 两个都市间每天的次数为次（用t 表示）。

8、已知实数a 、b 、x 、y 满足a+b=x+y=2 ，ax+by=5 ，则(a 2+b 2)xy+ab(x 2+y 2
)= 。

9、如图所示，在梯形ABCD 中，AD∥BC（BC ＞AD ），∠D=900
， BC=CD=12，∠ABE=45，若AE=10，则CE 的长度为。

10、实数x 、y 、z 满足x+y+z=5 ，xy+yz+zx=3 ，则z 的最大值是 .
D E C B A F D E G C
B A D E
C B A
320km 人口100万
人口80万A
三、解答题:
11、通过实验研究，专家们发觉，初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时刻的变化而变化的，讲课开始时，学生的爱好激增，中间有一端时刻，学生的爱好保持平稳的状态，随后开始分散，学生注意力指标数y 随时刻x （分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示学生注意力越集中）。

当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分，当10≤x≤20和20≤x≤40时，图象是线段。

（1）当0≤x≤10时，求注意力指标数y 与时刻x 的函数关系式；
（2）一道数学竞赛题，需讲解24分钟，问老师能否通过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36。

12、已知a 、b 是实数，关于x 、y 的方程组{
bx ax x y b
ax y --=+=23 有整数解，求a 、b 满足的关系式。

13、D 是△ABC 的边AB 上的一点，使得AB=3AD ， P 是△ABC 外接圆上一点，使得 ∠ADP=∠ACB，求PD
PB
的值。

14、已知a ＜0 , b≤0 ,c＞0 , 且ac b 42- =b-2ac , 求b 2
-4ac 的最小值。

O
D P
C
B
A。