新疆石河子第一中学2024-2025学年高二上学期8月月考(开学考试)数学试题

新疆石河子第一中学2024-2025学年高二上学期8月月考（开
学考试）数学试题
一、单选题
1．已知全集{}1,0,1,2U =-，集合{Z |21}A x x =∈-<≤，集合{}1,2B =，则()U A B =U ð（ ） A ．{}2
B ．{}1,2
C ．{}1,1,2-
D ．{}1,0,1,2-
2．已知(1i)|34i |z +=+，则z =（ ） A ．55i 22
-
B ．55i 22
+
C ．55i 22--
D ．55i 22
-+
3．在ABC V
中，π
1,,3
b C
c ==B 的大小为（ ） A ．π6
B ．π
4
C ．π6或5π6
D ．π3
4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．若n αβ=I ，//m n ，则//m α，//m β
B ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ
C ．若m α⊂，//n α，则//m n
D ．若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥
5．现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为m ，经检测现在的存量
5
m
，据此推测该生物距今约为（ ）（参考数据：()1500
1lg20.32t f t m ⎛⎫≈=⋅ ⎪⎝⎭，)
A ．2700年
B ．3100年
C ．3500年
D ．3900年
6．已知 π2sin sin 33αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则 πcos 23α⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．59-
B ．19
- C ．19
D ．5
9
7．已知ABC V
中，AC =4
C π
∠=
，AD 为BC 上的高，垂足为D ，点E 为AB 上一点，
且2AE EB =，则AD CE ⋅=u u u r u u u r
（ ）
A ．43
-
B ．43
C ．83-
D ．83
8．已知函数()f x 的定义域为R ，满足()[()()]2023f x y f x f y +-+=，则下列说法正确的是
（ ）
A ．()f x 是偶函数
B ．()f x 是奇函数
C ．()2023f x +是偶函数
D ．()2023f x +是奇函数
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A ．数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9
B ．投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上
的点数大于4”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一个发生的概率是1
2
．
C ．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是151
D ．若样本1x ，2x ，…，n x 的平均数和方差分别为2和3，则132x +，232x +，…，32n x +的平均数和方差分别为8和27 10．下列命题正确的是（ ）
A ．若R a b ∈，，且0ab >，a b +≥
B ．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y ++的最小值为92
C ．若0x >，则4
23x x
--
的最大值是2-D ．若()2x x y =-，0x >，0y >，则2x y +的最小值是9
11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11AC 的中点，Q 为线段1BC 上的动点．则下列结论正确的是（ ）
A ．若Q 为1BC 中点，则//PQ 平面11AB
B A
B ．若Q 为1B
C 中点，则PQ ⊥平面11AB C
D C ．不存在点Q ，使得PQ AC ⊥
D ．PQ 与平面11BCC B 所成角的正弦值的取值范围为
三、填空题
12．若平面向量(1,)a x =r ，(23,)b x x =+-r ，且a b ⊥r r
，则||a b -=r r .
13．如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ，平面FBC ⊥平面ABCD ，FBC V 中BC 边上的高2FH =，32
EF =．则该几何体的体积为．
14．在ABC V ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，BD BC ⊥交AC 于点D ，且1BD =，则2a c +的最小值为．
四、解答题
15．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和
195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155,160，第二组[)160,165，…，
第八组[]190,195，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
(1)求第七组的频率，并估计该校的800名男生的身高的中位数；
(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为,x y ，事件{}5E x y =-≤，求()P E ．
16．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos c b A b -=． (1)证明：2A B =；
(2)若c =3
cos 4
B =
，求a 的值． 17．已知函数()()()2
sin πcos cos 0f x x x x =-+>ωωωω，()y f x =的图象的一个对称中心到
最近的对称轴的距离为π
4
.
(1)求函数()f x 的单调递增区间：
(2)将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2
，纵坐标不变，得到函数()
y g x =的图象，求函数()y g x =在区间π0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域.
18．如图， 在三棱锥 P ABC - 中， 2,,,,PB PC BC AB AB BC BP AP BC ====⊥
的中点分别为 ,,,D E O AD =
F 在AC 上，BF AO ⊥．
(1)证明： //EF 平面ADO ； (2)证明： AO ⊥平面BEF ；
(3)求PA 长，并求直线P A 和平面BEF 所成角的正弦值．
19．“难度系数”反映试题的难易程度，难度系数越大，题目得分率越高，难度也就越小，“难度系数”的计算公式为1Y
L W
=-
，其中L 为难度系数，Y 为样本平均失分，W 为试卷总分（一
般为100分或150分）．某校高二年级的老师命制了某专题共5套测试卷（总分150分），用于对该校高二年级480名学生进行每周测试，测试前根据自己对学生的了解，预估了每套试卷的难度系数，如下表所示：
测试后，随机抽取了50名学生的数据进行统计，结果如下：
(1)根据试卷2的预估难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分；
(2)试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差，设i L '为第i 套试卷的实测难度系数，并定义统计量()()()222
1221i n n S L I L L L L n ⎡⎤'''=
-+-++-⎣
⎦L ， 若0.001S <，则认为试卷的难度系数预估合理，否则认为不合理．以样本平均分估计总体平均分，试检验这5套试卷难度系数的预估是否合理．
(3)聪聪与明明是学习上的好伙伴，两人商定以同时解答上述试卷易错题进行“智力竞赛”，规则如下：双方轮换选题，每人每次只选1道题，先正确解答者记1分，否则计0分，先多得2分者为胜方.若在此次竞赛中，聪聪选题时聪聪得分的概率为2
3
，明明选题时聪聪得分的概
率为1
2
，各题的结果相互独立，二人约定从0:0计分并由聪聪先选题，求聪聪3:1获胜的概
率 .。