新教材适用2024版高考数学一轮总复习第1章集合常用逻辑用语不等式第2讲充分条件与必要条件课件

方法2：集合法判断 例2 已知 p：12x<1，q：log2x<0，则 p 是 q 的( B )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 由12x <1 知 x>0，所以 p 对应的 x 的范围为(0，＋∞)，由 log2x<0 知 0<x<1，所以 q 对应的 x 的范围为(0,1)，显然(0,1) (0，＋∞)，所以 p 是 q 的必要不充分条件．
方法3 等价转化法判断 例3 (1)给定两个条件p，q，若綈p是q的必要不充分条件，则p是
綈q的( A ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( C ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解法二：由 sin x＝1，得 x＝2kπ＋π2(k∈Z)，则 cos2kπ＋2π＝cos π2＝ 0，故充分性成立；又 cos 32π＝0，sin 32π＝－1，故必要性不成立．所以 “sin x＝1”是“cos x＝0”的充分不必要条件，故选 A.
6．(2021·浙江，3)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝ b”的( B )
[解析] 当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2， 所以a>b ac2>bc2， 当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b， 所以ac2>bc2⇒a>b， 即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．
4．(必修1P23T5改编)使－2<x<2成立的一个充分条件是( B )
A．x<2
B．0<x<2
选项B，在△ABC中，△ABC是等边三角形，可得sin A＝sin B＝sin C，
当sin A＝sin B＝sin C时，因为A，B，C∈(0，π)，A＋B＋C＝π，所 以有A＝B＝C，
△ABC是等边三角形，所以P和Q互为充要条件； 选项C，数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1，当n≥2，n∈N*时，an ＝Sn－Sn－1＝4n－5， a1＝S1＝0，a2＝3，a3＝7， 可得数列不是等差数列，
C．－2≤x≤2
D．x>0
题组三 走向高考 5．(2022·浙江卷)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的( A ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 解法一：由 sin x＝1，得 x＝2kπ＋π2(k∈Z)，则 cos2kπ＋π2＝ cos π2＝0，故充分性成立；又由 cos x＝0，得 x＝kπ＋π2(k∈Z)，而 sinkπ＋π2 ＝1 或－1，故必要性不成立．所以“sin x＝1”是“cos x＝0”的充分不 必要条件，故选 A.
题组二 走进教材 2 ． (必 修 1P22 练 习 T1 改 编 )“x－ 3 ＝0” 是 “(x－ 3)(x－ 4) ＝ 0” 的 __充__分__不__必__要___ 条 件 ． ( 选 填 “ 充 分 不 必 要 ”“ 必 要 不 充 分 ”“ 充 要”“既不充分也不必要”) 3．(必修1P22习题T2改编)“a>b”是“ac2>bc2”的( B ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解法二(等价转化法)：x＝y⇒cos x＝cos y，而 cos x＝cos y x＝y，故 “x＝y”是“cos x＝cos y”的充分不必要条件，故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．
有关充要条件的判断常用的方法 (1)根据定义判断：①弄清条件 p 和结论 q 分别是什么；②尝试 p⇒q， q⇒p.若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件；若 q⇒p，则 p 是 q 的必要条件；若 p⇒q，q p，则 p 是 q 的充分不必要条件；若 p q，q⇒p，则 p 是 q 的 必要不充分条件；若 p⇒q，q⇒p，则 p 是 q 的充要条件．
[解析] (1)∵1x>1，∴x∈(0,1)．∵ex－1<1，∴x<1，即 x∈(－∞，1)， ∴“1x>1”是“ex－1<1”的充分不必要条件． 或用集合法：∵(0,1) (－∞，1)，∴“1x>1”是“ex－1<1”的充分不 必要条件． (2)选项 A，当 a＝1 时，函数 f(x)＝x2－(1－a2)x＋3 是偶函数， 函数 f(x)＝x2－(1－a2)x＋3 是偶函数， f(－x)＝f(x)⇒x2－(1－a2)(－x)＋3＝x2－(1－a2)x＋3⇒1－a2＝0， 可得 a＝±1，故 P 是 Q 的充分不必要条件；
〔变式训练 1〕
(1)“1x>1”是“ex－1<1”的( A ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2022·全国高三专题练习)下列选项中的两个条件是互为充要条件 的是( B )
A．P：a＝1；Q：函数f(x)＝x2－(1－a2)x＋3是偶函数 B．在△ABC中，P：△ABC是等边三角形；Q：sin A＝sin B＝sin C C．P：数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1；Q：数列{an}是公差为2 的等差数列 D．P：实数 x≥1；Q：x＋1x≥2
当 m＝0 时，S＝{1}，满足题意；当 m＝3 时，S＝{x|－2≤x≤4}满
足题意，故 m 的取值范围为[0,3]．
解法二：若 x∈P 是 x∈S 的必要且充分条件，则 P＝S，即
1－m＝－2， 1＋m＝10
⇒m 无解，
∴m 的取值范围是[0Байду номын сангаас3]．
(2)利用集合判断
记法
A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}
关系
AB
BA
A＝B
p 是 q 的充分不 p 是 q 的必要不 p 是 q 的充要 p 是 q 的既不充分
结论
必要条件
充分条件
条件
也不必要条件
(3)利用等价转化法：对于带有否定性词语的命题，常用此法，即要
判断 p 是 q 的什么条件，只需判断綈 q 是綈 p 的什么条件．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
[解析] 利用平面向量的数量积定义分别判断命题“若a·c＝b·c，则 a＝b”与“若a＝b，则a·c＝b·c”的真假性即可．
若c与向量a，b都垂直，则由a·c＝b·c不一定能得到a＝b； 若a＝b，则由平面向量的数量积的定义知a·c＝b·c成立，故“a·c＝ b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．故选B.
考点二
充分、必要条件的应用——师生共研
例2 (1)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1
＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围是_____[_0_,3_]_____.
(2)在(1)中若把条件“若x∈P是x∈S的必要条件”改为“若x∈P是
x∈S的必要不充分条件”，则m的取值范围是_____[_0_,3_]_____.
找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为
驾驶员座舱录音器，则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认
定”的( C ) A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因 认定，则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”； 而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”， 故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条 件，故选C.
当数列{an}是公差为2的等差数列时，因为不知道首项，所以数列 {an}的前n项和Sn不确定，
所以P是Q的既不充分也不必要条件； 选项 D，因为 x≥1，所以 x＋1x≥2 x·1x＝2 当且仅当x＝1x取等号，即x＝1时取等号， 可以推出 x＋1x≥2， 但是当 x＋1x≥2 时，显然当 x＝12时成立，不能推出 x≥1，所以 P 是 Q 的充分不必要条件．故选 B.
[解析] (4)当 α＝β＝π2时，tan α、tan β 都无意义．因此不能推出 tan α ＝tan β，当 tan α＝tan β 时，α＝β＋kπ，k∈Z，不一定 α＝β，因此是既不 充分也不必要条件．
(5)在△ABC 中，由 A>B，则 a>b，由正弦定理 sin A>sin B，反之也 成立．
考点突破 · 互动探究
考点一
充分条件与必要条件的判断——师生共研
方法1：定义法判断
例1 (2022·湖南期中)2022年3月21日，东方航空公司MU5735航
班在广西梧州市上空失联并坠毁，专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞
机自带的两部飞行记录器(黑匣子)，如果两部黑匣子都被找到，那么就
能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵
p⇒q 且 q p
p 是 q 的__必__要__不__充__分___条件
p q 且 q⇒p
p 是 q 的__充__要___条件
p⇔q
p 是 q 的__既__不__充__分__也__不__必__要___条件
p q且q p
1．若 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件； (2)若 A⊇B，则 p 是 q 的必要条件； (3)若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件； (4)若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件； (5)若 A B，则 p 是 q 的必要不充分条件；
(6)若 A⃘B 且 A⊉B，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
2．充分条件与必要条件的两个特征： (1) 对 称 性 ： 若 p 是 q 的 充 分 条 件 ， 则 q 是 p 的 必 要 条 件 ， 即 “p⇒q”⇔“q⇐p”． (2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p 是 r 的 充 分 ( 必 要 ) 条 件 ， 即 “p ⇒ q 且 q ⇒ r” ⇒ “p ⇒ r”(“p ⇐ q 且 q⇐r”⇒“p⇐r”)． 注意：不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则 q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．
题组一 走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”) (1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．( √ ) (2)已知集合A，B，则(A∪B)⊆(A∩B)的充要条件是A＝B.( √ ) (3)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．( √ ) (4)“α＝β”是“tan α＝tan β”的充分不必要条件．( × ) (5)在△ABC中，A>B是sin A>sin B的充要条件．( √ )
[解析] (1)因为綈 p 是 q 的必要不充分条件，则 q⇒綈 p，但綈 p q， 其逆否命题为 p⇒綈 q，但綈 q p，所以 p 是綈 q 的充分不必要条件．
(2)解法一(集合法)：设全集 U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合 A＝{(x， y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则 A 的补集 C＝{(x，y)|x＝y}，B 的 补集 D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然 C D，所以 B A，故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
第二讲 充分条件与必要条件
知识梳理·双基自测 考点突破·互动探究 名师讲坛·素养提升
知识梳理 · 双基自测
知识点 充分条件、必要条件与充要条件的概念
若 p⇒q，则 p 是 q 的__充__分___条件，q 是 p 的__必__要___条件
p 是 q 的__充__分__不__必__要___条件
[解析] (1)由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
所以P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P，
1－m≤1＋m，
则1－m≥－2， 1＋m≤10，
所以 0≤m≤3，
所以当 0≤m≤3 时，x∈P 是 x∈S 的必要条件，即所求 m 的取值范
围是[0,3]．
(2)解法一：由(1)若 x∈P 是 x∈S 的必要条件，则 0≤m≤3，